Подпишитесь на наши новости
Вернуться к началу с статьи up
 

МАТЕМАТИ́ЧЕСКИЕ ЗНА́КИ

  • рубрика

    Рубрика: Математика

  • родственные статьи
  • image description

    В книжной версии

    Том 19. Москва, 2011, стр. 353-355

  • image description

    Скопировать библиографическую ссылку:




МАТЕМАТИ́ЧЕСКИЕ ЗНА́КИ, ус­лов­ные обо­зна­че­ния, пред­на­зна­чен­ные для за­пи­си ма­те­ма­тич. по­ня­тий, пред­ло­же­ний и вы­кла­док. Раз­ви­тие М. з. (ма­те­ма­тич. сим­во­ли­ки) свя­за­но с об­щим раз­ви­ти­ем по­ня­тий и ме­то­дов ма­те­ма­ти­ки. Пер­вы­ми М. з. бы­ли зна­ки для изо­бра­же­ния чи­сел – циф­ры, воз­ник­но­ве­ние ко­то­рых, по-ви­ди­мо­му, пред­ше­ст­во­ва­ло по­яв­ле­нию пись­мен­но­сти. Наи­бо­лее древ­ние сис­те­мы ну­ме­ра­ции и счис­ле­ния – ва­ви­лон­ская и еги­пет­ская – поя­ви­лись ещё за 2500–3000 лет до н. э.

Пер­вые М. з. для про­из­воль­ных ве­ли­чин поя­ви­лись в 5–4 вв. до н. э. в Гре­ции. Ве­ли­чи­ны (пло­ща­ди, объ­ё­мы, уг­лы) изо­бра­жа­лись в ви­де от­рез­ков, а про­из­ве­де­ние двух од­но­род­ных ве­ли­чин – в ви­де пря­мо­уголь­ни­ка, по­стро­ен­но­го из от­рез­ков, со­от­вет­ст­вую­щих этим ве­ли­чи­нам. В «На­ча­лах» Евк­ли­да ве­ли­чи­ны обо­зна­ча­лись дву­мя бу­к­ва­ми, со­от­вет­ст­вую­щи­ми на­ча­лу и кон­цу от­рез­ка, а ино­гда и од­ной бу­к­вой. У Ар­хи­ме­да по­след­ний спо­соб стал обыч­ным. Та­кие обо­зна­че­ния со­дер­жа­ли в се­бе воз­мож­но­сти раз­ви­тия бу­к­вен­но­го ис­чис­ле­ния, од­на­ко в ан­тич­ной ма­те­ма­ти­ке бу­к­вен­ное ис­чис­ле­ние не бы­ло соз­да­но, толь­ко в по­зд­не­эл­ли­ни­стич. эпо­ху в ре­зуль­та­те ос­во­бо­ж­де­ния ал­геб­ры от гео­мет­рич. фор­мы поя­ви­лись на­ча­ла бу­к­вен­но­го изо­бра­же­ния ве­ли­чин и опе­ра­ций над ни­ми.

Соз­да­ние совр. ал­геб­ра­ич. сим­во­ли­ки от­но­сит­ся к 14–17 вв.; оно свя­за­но с по­треб­но­стя­ми прак­тич. ариф­ме­ти­ки и уче­ния об урав­не­ни­ях. В разл. стра­нах не­за­ви­си­мо друг от дру­га по­яв­ля­лись М. з. для дей­ст­вий над ве­ли­чи­на­ми. Про­хо­ди­ли мн. де­ся­ти­ле­тия и да­же ве­ка, пре­ж­де чем вы­ра­ба­ты­вал­ся тот или иной удоб­ный М. з. Так, в кон. 15 в. франц. учё­ный Н. Шю­ке и итал. ма­те­ма­тик Л. Па­чо­ли упот­реб­ля­ли зна­ки сло­же­ния и вы­чи­та­ния $\widetilde{p}\: и\: \widetilde{m}$ (от лат. plus и minus), нем. ма­те­ма­тик Я. Вид­ман ввёл зна­ки + и –. В 17 в. ис­поль­зо­ва­лось око­ло де­сят­ка М. з. для обо­зна­че­ния ум­но­же­ния (сре­ди них бы­ли · и ×). Из совр. зна­ков де­ле­ния ста­рей­шим яв­ля­ет­ся го­ри­зон­таль­ная чер­та, ко­то­рая встре­ча­лась у Ле­о­нар­до Пи­зан­ско­го. Раз­лич­ны­ми бы­ли М. з. для обо­зна­че­ния не­из­вест­ной и её сте­пе­ней. Так, в 16 – нач. 17 вв. кон­ку­ри­ро­ва­ло бо­лее де­ся­ти обо­зна­че­ний для квад­ра­та не­из­вест­ной, в чис­ле ко­то­рых бы­ли $A(2), a^{ii}, aa\: и\: a^2$. Ис­поль­зо­ва­ние бу­к­вы $x$ для не­из­вест­ной ве­ли­чи­ны, ве­ро­ят­но, про­изош­ло от араб. сло­ва shei – вещь, ко­то­рое в сред­ние ве­ка пи­са­лось по ла­ты­ни xei, а за­тем со­кра­ти­лось до $x$.

В 16 и нач. 17 вв. во­шли в упот­реб­ле­ние зна­ки ра­вен­ст­ва у англ. учё­но­го Р. Ре­кор­да (1557), квад­рат­ные скоб­ки у итал. ма­те­ма­ти­ка Р. Бом­бел­ли (1550), круг­лые скоб­ки у Н. Тар­та­льи (1556), фи­гур­ные скоб­ки у Ф. Вие­та (1593).

Ша­гом впе­рёд в раз­ви­тии ма­те­ма­тич. сим­во­ли­ки яви­лось вве­де­ние Вие­том (1591) М. з. для по­сто­ян­ных ве­ли­чин в ви­де про­пис­ных со­глас­ных букв лат. ал­фа­ви­та и про­пис­ных глас­ных букв для не­из­вест­ных, что да­ло ему воз­мож­ность за­пи­сы­вать ал­геб­ра­ич. урав­не­ния с про­из­воль­ны­ми ко­эф­фи­ци­ен­та­ми и опе­ри­ро­вать с урав­не­ния­ми. Р. Де­карт (1637) при­дал зна­кам ал­геб­ры совр. вид, обо­зна­чая не­из­вест­ные по­след­ни­ми строч­ны­ми бу­к­ва­ми лат. ал­фа­ви­та $х$, $у$, $z$, а по­сто­ян­ные ве­ли­чи­ны – на­чаль­ны­ми бу­к­ва­ми $а$, $b$, $с$. Ему же при­над­ле­жит совр. за­пись сте­пе­ни. Обо­зна­че­ния Де­кар­та об­ла­да­ли су­ще­ст­вен­ны­ми пре­иму­ще­ст­ва­ми по срав­не­нию со все­ми пре­ды­ду­щи­ми, по­это­му они по­лу­чи­ли все­об­щее рас­про­стра­не­ние.

Даль­ней­шее раз­ви­тие М. з. свя­за­но с соз­да­ни­ем ана­ли­за бес­ко­неч­но ма­лых, для раз­ра­бот­ки сим­во­ли­ки ко­то­ро­го ос­но­ва бы­ла уже под­го­тов­ле­на в ал­геб­ре. И. Нью­тон (1666) ввёл зна­ки для по­сле­до­ва­тель­ных про­из­вод­ных функ­ции $y$ в ви­де $\dot{y},\:\ddot{y},\:\dddot{y}$. Дж. Вал­лис (1655) пред­ло­жил знак бес­ко­неч­но­сти $∞$.

Соз­да­те­лем совр. сим­во­ли­ки диф­фе­рен­ци­аль­но­го и ин­те­граль­но­го ис­чис­ле­ний яв­ля­ет­ся Г. В. Лейб­ниц. Он пер­вым по­нял ог­ром­ное зна­че­ние М. з. и ста­рал­ся най­ти наи­бо­лее удоб­ные сим­во­лы для за­пи­си по­ня­тий ма­те­ма­ти­ки. Ему, в ча­ст­но­сти, при­над­ле­жат упот­реб­ляе­мые ны­не М. з. диф­фе­рен­циа­лов $dx,\: dy,\: d2y,\: d^3y$ и ин­те­гра­ла $\int ydx$.

Важ­ная роль в соз­да­нии сим­во­ли­ки совр. ма­те­ма­ти­ки при­над­ле­жит Л. Эй­ле­ру. Он ввёл (1734) в об­щее упот­реб­ле­ние пер­вый знак пе­ре­мен­ной опе­ра­ции, а имен­но – знак функ­ции $f(x)$. И. Бер­нул­ли (1718) для обо­зна­че­ния функ­ции при­ме­нял знак $φx$. По­сле ра­бот Эй­ле­ра зна­ки для мн. ин­ди­ви­ду­аль­ных функ­ций, напр. три­го­но­мет­ри­че­ских, при­об­ре­ли вид, ко­то­рый со­хра­нил­ся до на­стоя­ще­го вре­ме­ни. Эй­лер ввёл обо­зна­че­ния по­сто­ян­ных $e$ (ос­но­ва­ние на­ту­раль­ных ло­га­риф­мов, 1736), $π$ (1736), мни­мой еди­ни­цы $i = \sqrt{-1}$ (1777, опубл. в 1794), ко­то­рые ста­ли об­ще­упот­ре­би­тель­ны­ми.

В 19 в. роль сим­во­ли­ки воз­рас­та­ет и на­ря­ду с соз­да­ни­ем но­вых М. з. ма­те­ма­ти­ки стре­ми­лись к стан­дар­ти­за­ции осн. сим­во­лов. Не­ко­то­рые ши­ро­ко упот­ре­би­мые ны­не М. з. поя­ви­лись в это вре­мя, напр. зна­ки аб­со­лют­ной ве­ли­чи­ны $|x|$ (К. Вей­ер­шт­расс, 1841), оп­ре­де­ли­те­ля и мат­ри­цы (А. Кэ­ли, 1841), век­то­ра $\overline{r}$ (О. Ко­ши, 1853), диф­фе­рен­ци­аль­ных опе­ра­ций rot и div (англ. ма­те­ма­тик У. Клиф­форд, 1878). Мн. тео­рии, воз­ник­шие в 19 в., напр. тен­зор­ное ис­чис­ле­ние, не мог­ли быть раз­ви­ты без под­хо­дя­щей сим­во­ли­ки. Да­ты воз­ник­но­ве­ния не­ко­то­рых совр. М. з. см. в таб­ли­це.

 Математические знаки

ЗнакНазваниеКем и когда введёнЗнакНазваниеКем и когда введён
Знаки индивидуальных объектов$\frac{\partial }{\partial x}$частная производнаяА. Лежандр, 1786
$\infty $бесконечностьДж. Валлис, 1655
$\int_{a}^{b}f(x)dx$определённый интегралЖ. Фурье, 1819-22
$\pi$отношение длины окружности к диаметруУ. Джонс, 1706; Л. Эйлер, 1736
$e$основание натуральных логарифмовЛ. Эйлер, 1736$\sum$суммаЛ. Эйлер, 1755
 $i$квадратный корень из -1Л. Эйлер, 1777 (опубл. в 1794)$\prod $произведениеК. Гаусс, 1812
$!$факториалК. Крамп, 1808
$i, j, k$единичные векторыУ. Гамильтон, 1853
$[x]$целая частьК. Гаусс, 1808
Знаки переменных объектов   
$\mid x\mid$модульК. Вейерштрасс, 1841
$x, y, z$неизвестные или переменные величины Р. Декарт, 1637 
$\parallel x \parallel $нормаС. Люилье, 1786; Э. Шмидт, 1908
$\overrightarrow{r} $ вектор О. Коши, 1853 
$$\lim_{} , \lim_{n\rightarrow \infty }$$пределУ. Гамильтон, 1853
Знаки индивидуальных операций
$+, -$сложение, вычитаниеЯ. Видман, 1489$\Gamma$гамма-функцияА. Лежандр, 1808
$\times$умножениеУ. Оутред, 1631$\mathbf{B}$бета-функцияЖ. Бине, 1839
$\cdot $умножениеГ. В. Лейбниц, 1698$\zeta $дзета-функцияБ. Риман, 1857
$: $делениеГ. В. Лейбниц, 1684$\Delta $дельта (оператор Лапласа)Р. Мёрфи, 1833
$a^2, a^3,...,a^n$степениР. Декарт,1637; И. Ньютон, 1676$\bigtriangledown $набла (оператор Гамильтона)У. Гамильтон, 1853
$\ce{div, rot}$дивергенция, вихрь (ротор) векторного поляУ. Клиффорд, 1878
$\sqrt{} $, $\sqrt[3]{},...$корниК. Рудольф, 1525
Знаки переменных операций
$\ce{Log, log}$логарифмИ. Кеплер, 1624; Б. Кавальери, 1632
$\varphi x;  f(x)$функцияИ. Бернулли, 1718; Л. Эйлер, 1734
$\ce{ln}$натуральный логарифмА. Принсхейм, 1893
$\ce{sin, cos; tg}$синус, косинус; тангенсЛ. Эйлер, 1748; 1753Знаки индивидуальных отношений
$\ce{arcsin}$арксинусЖ. Лагранж, 1772$=$равенствоР. Рекорд, 1557
$\ce{Sh, Ch}$гиперболический синус, гиперболический косинусВ. Риккати, 1757 $\approx $приблизительно равноА. Гюнтер, 1882
$> , <$больше, меньшеТ. Гарриот, 1631
$dx,dy, d^2y,...$дифференциалыГ. В. Лейбниц, 1675 (опубл. в 1684)
$\equiv $ сравнимостьК. Гаусс, 1801
$\int ydx$неопределённый интегралГ. В. Лейбниц, 1675 (опубл. в 1686)$\equiv $ тождествоБ. Риман, 1857
$\parallel $параллельностьУ. Оутред (опубл. в 1677)
$\frac{d}{dx}$дифференцированиеГ. В. Лейбниц, 1675
$\perp $перпендикулярностьП. Эригон, 1634
$\dot{y}, \ddot{y}, \dddot{y}$производныеИ. Ньютон, 1666
$\cup ,\cap $объединение,пересечениеДж. Пеано, 1888
$f'(x); y’$производнаяЖ. Лагранж, 1770; 1779
$\subset ,\supset $содержится, включаетсяЭ. Шрёдер, 1890
$\Delta x$разность, приращениеЛ. Эйлер, 1755$\in $принадлежностьДж. Пеано, 1895
  

Сре­ди М. з. мож­но вы­де­лить сле­дую­щие осн. груп­пы: а) зна­ки объ­ек­тов, б) зна­ки опе­ра­ций, в) зна­ки от­но­ше­ний. Напр., зна­ки 1, 2, 3, 4 обо­зна­ча­ют объ­ек­ты, яв­ляю­щие­ся чис­ла­ми. Знак опе­ра­ции сло­же­ния $+$ сам по се­бе не обо­зна­ча­ет ни­ка­ко­го объ­ек­та; он по­лу­ча­ет пред­мет­ное со­дер­жа­ние, ко­гда ука­за­но, ка­кие чис­ла скла­ды­ва­ют­ся, напр. 1+3. Знак $>$ (боль­ше) есть знак от­но­ше­ния ме­ж­ду чис­ла­ми. Знак от­но­ше­ния по­лу­ча­ет оп­ре­де­лён­ное со­дер­жа­ние, ко­гда ука­за­но, от­но­ше­ние ме­ж­ду ка­ки­ми объ­ек­та­ми рас­смат­ри­ва­ет­ся. К пе­ре­чис­лен­ным трём осн. груп­пам М. з. при­мы­ка­ет чет­вёр­тая груп­па г) вспо­мо­га­тель­ных зна­ков, ус­та­нав­ли­ваю­щих по­ря­док со­че­та­ния осн. зна­ков. Пред­став­ле­ние о зна­ках этой груп­пы да­ют скоб­ки, ука­зы­ваю­щие по­ря­док дей­ст­вий.

Зна­ки ка­ж­дой из трёх осн. групп бы­ва­ют двух ро­дов: ин­ди­ви­ду­аль­ные зна­ки впол­не оп­ре­де­лён­ных объ­ек­тов, опе­ра­ций и от­но­ше­ний; об­щие зна­ки пе­ре­мен­ных (или не­из­вест­ных) объ­ек­тов, опе­ра­ций и от­но­ше­ний. При­ме­ра­ми зна­ков 1-го ро­да яв­ля­ют­ся: $а_1)$ обо­зна­че­ния на­ту­раль­ных чи­сел 1, 2,...; транс­цен­дент­ных чи­сел $e$ и $π$, мни­мой еди­ни­цы $i = \sqrt{-1}$; $б_1)$ зна­ки ариф­ме­тич. дей­ст­вий $+$, $-$, $×$, $:$; из­вле­че­ния кор­ня ; диф­фе­рен­ци­ро­ва­ния $d/dx$; зна­ки ин­ди­ви­ду­аль­ных функ­ций $\text{sin}$, $\text{tg}$, $\text{log}$; $в_1)$ зна­ки ра­вен­ст­ва $=$ и не­ра­вен­ст­ва $>$, $<$, $≠$, зна­ки па­рал­лель­но­сти $‖$ и пер­пен­ди­ку­ляр­но­сти $⊥$.

При­ме­ра­ми зна­ков 2-го ро­да яв­ля­ют­ся: $а_2)$ обо­зна­че­ния то­чек, пря­мых, плос­ко­стей и бо­лее слож­ных гео­мет­ри­че­ских фи­гур бу­к­ва­ми в гео­мет­рии; $б_2)$ обо­зна­че­ния $f$, $F$, $φ$ для функ­ций и обо­зна­че­ния опе­ра­тор­но­го ис­чис­ле­ния, ко­гда од­ной бу­к­вой $L$ изо­бра­жа­ют, напр., про­из­воль­ный опе­ра­тор ви­да $$L[y]=a_0+a_1\frac{dy}{dx}+a_2\frac{d^2 y}{d x^2}+...+a_n\frac{d^ny }{d x^n}.$$

Обо­зна­че­ния для «пе­ре­мен­ных от­но­ше­ний» ме­нее рас­про­стра­не­ны, они на­хо­дят при­ме­не­ние лишь в ма­те­ма­тич. ло­ги­ке и в срав­ни­тель­но аб­ст­ракт­ных, пре­им. ак­сио­ма­ти­че­ских, ма­те­ма­тич. ис­сле­до­ва­ни­ях.

Лит.: Алек­сан­д­ро­ва Н. В. Ма­те­ма­ти­че­ские тер­ми­ны. М., 1978; Cajori F. A history of ma­thematical notations. N. Y., 1993.

Вернуться к началу