МАТЕМА́ТИКА

  • рубрика

    Рубрика: Математика

  • родственные статьи
  • image description

    В книжной версии

    Том 19. Москва, 2011, стр. 338-345

  • image description

    Скопировать библиографическую ссылку:




Авторы: В статье использованы материалы А .Н. Колмогорова  (БСЭ-3)

МАТЕМА́ТИКА, нау­ка о ко­ли­че­ст­вен­ных от­но­ше­ни­ях и про­стран­ст­вен­ных фор­мах. Осн. ме­то­дом ис­сле­до­ва­ний про­цес­сов и яв­ле­ний с по­мо­щью М. яв­ля­ет­ся соз­да­ние фор­ма­ли­зов. мо­де­ли изу­чае­мо­го яв­ле­ния и её изу­че­ние ма­те­ма­тич. сред­ст­ва­ми. При не­дос­та­точ­ном со­от­вет­ст­вии ре­зуль­та­тов, по­лу­чен­ных при ис­сле­до­ва­нии ма­те­ма­тич. мо­де­ли, ре­зуль­та­там не­по­средств. на­блю­де­ний это­го яв­ле­ния тре­бу­ет­ся со­вер­шен­ст­во­ва­ние мо­де­ли. Ти­пич­ным при­ме­ром при­ме­не­ния это­го под­хо­да мо­жет слу­жить по­строе­ние (и мно­го­крат­ное со­вер­шен­ст­во­ва­ние) мо­де­ли дви­же­ния пла­нет Сол­неч­ной сис­те­мы.

По­ни­ма­ние са­мо­сто­ят. по­ло­же­ния М. как осо­бой нау­ки ста­ло воз­мож­ным толь­ко по­сле на­ко­п­ле­ния дос­та­точ­но боль­шо­го фак­тич. ма­те­риа­ла и воз­ник­ло в Древ­ней Гре­ции (6–5 вв. до н. э.). Раз­ви­тие М. до это­го вре­ме­ни от­но­сят к пе­рио­ду за­ро­ж­де­ния ма­те­ма­ти­ки, а 6–5 вв. до н. э. счи­та­ет­ся на­ча­лом пе­рио­да раз­ви­тия эле­мен­тар­ной ма­те­ма­ти­ки. В пе­ри­од за­ро­ж­де­ния М. ма­те­ма­тич. ис­сле­до­ва­ния име­ли де­ло с ог­ра­нич. за­па­сом осн. по­ня­тий, воз­ник­ших на ран­них сту­пе­нях ис­то­рич. раз­ви­тия в свя­зи с про­сты­ми за­про­са­ми хо­зяйств. жиз­ни, сво­див­ши­ми­ся к счё­ту пред­ме­тов, из­ме­ре­нию ко­ли­че­ст­ва про­дук­тов, пло­ща­дей зе­мель­ных уча­ст­ков, ком­мерч. рас­чё­там, на­ви­га­ции и т. п. Для пер­вых за­дач ме­ха­ни­ки и фи­зи­ки (за ис­клю­че­ни­ем отд. ис­сле­до­ва­ний Ар­хи­ме­да) бы­ло дос­та­точ­но то­го же за­па­са осн. ма­те­ма­тич. по­ня­тий. Един­ст­вен­ной нау­кой, ко­то­рая за­дол­го до ши­ро­ко­го раз­ви­тия ма­те­ма­тич. ме­то­дов изу­че­ния яв­ле­ний при­ро­ды (17–18 вв.) тре­бо­ва­ла су­ще­ст­вен­но­го раз­ви­тия не­ко­то­рых раз­де­лов М., бы­ла ас­тро­но­мия, вы­звав­шая, напр., ран­нее раз­ви­тие три­го­но­мет­рии.

В 17 в. но­вые за­про­сы ес­те­ст­во­зна­ния и тех­ни­ки при­ве­ли к соз­да­нию ме­то­дов, по­зво­ляю­щих с по­мо­щью М. изу­чать дви­же­ние, про­цес­сы из­ме­не­ния ве­ли­чин, пре­об­ра­зо­ва­ния гео­мет­рич. фи­гур. С по­яв­ле­ни­ем пе­ре­мен­ных ве­ли­чин в ана­ли­тич. гео­мет­рии Р. Де­кар­та и соз­да­нием диф­фе­рен­ци­аль­но­го и ин­те­граль­но­го ис­чис­ле­ния на­чал­ся пе­ри­од раз­ви­тия ма­те­ма­ти­ки пе­ре­мен­ных ве­ли­чин.

Зарождение математики

На ран­них ста­ди­ях раз­ви­тия об­ще­ст­ва не­об­хо­ди­мость счё­та пред­ме­тов при­ве­ла к соз­да­нию про­стей­ших по­ня­тий ариф­ме­ти­ки на­ту­раль­ных чи­сел. На ос­но­ве уст­но­го счё­та воз­ник­ли письм. сис­те­мы счис­ле­ния и по­сте­пен­но вы­ра­бо­та­лись приё­мы вы­пол­не­ния ариф­ме­тич. дей­ст­вий над на­ту­раль­ны­ми чис­ла­ми. По­треб­но­сти из­ме­ре­ния (ко­ли­че­ст­ва зер­на, дли­ны до­ро­ги и т. п.) при­ве­ли к по­яв­ле­нию на­зва­ний и обо­зна­че­ний про­стей­ших дроб­ных чи­сел и к раз­ра­бот­ке приё­мов вы­пол­не­ния ариф­ме­тич. дей­ст­вий над дро­бя­ми. Т. о. на­ко­пил­ся ма­те­ри­ал, по­сте­пен­но сло­жив­ший­ся в ариф­ме­ти­ку. Из­ме­ре­ние пло­ща­дей и объ­ё­мов, по­треб­но­сти строи­тель­ст­ва, а не­сколь­ко позд­нее – ас­тро­но­мии, вы­зва­ли раз­ви­тие на­чал гео­мет­рии. Эти про­цес­сы шли у мн. на­ро­дов в зна­чит. сте­пе­ни не­за­ви­си­мо и па­рал­лель­но. Даль­ней­шее раз­ви­тие М. свя­за­но с на­ко­п­ле­ни­ем ариф­ме­тич. и гео­мет­рич. зна­ний в Древ­нем Егип­те и Ва­ви­ло­нии.

Со­хра­нив­шие­ся ма­те­ма­тич. тек­сты Древ­не­го Егип­та (1-я пол. 2-го тыс. до н. э.) со­сто­ят пре­им. из при­ме­ров на ре­ше­ние отд. за­дач и не­ко­то­рых ре­цеп­тов для их ре­ше­ния. Сле­ду­ет го­во­рить имен­но о ре­цеп­тах для ре­ше­ния отд. ти­пов за­дач, т. к. ма­те­ма­тич. тео­рии, по-ви­ди­мо­му, не су­ще­ст­во­ва­ло (в ча­ст­но­сти, не бы­ло до­ка­за­тельств об­щих тео­рем). Об этом сви­де­тель­ст­ву­ет, напр., то, что точ­ные ре­ше­ния упот­реб­ля­лись без вся­ко­го от­ли­чия от при­бли­жён­ных. Тем не ме­нее за­пас ус­та­нов­лен­ных ма­те­ма­тич. фак­тов был до­воль­но ве­лик (см. Па­пи­ру­сы ма­те­ма­ти­че­ские).

Ма­те­ма­тич. тек­стов, по­зво­ляю­щих су­дить о М. в Ва­ви­ло­нии, боль­ше, чем еги­пет­ских. Ва­ви­лон­ские кли­но­пис­ные ма­те­ма­ти­че­ские тек­сты ох­ва­ты­ва­ют пе­ри­од от 2-го тыс. до н. э. до воз­ник­но­ве­ния и раз­ви­тия греч. М. В Ва­ви­ло­нии то­го вре­ме­ни ис­поль­зо­ва­лась пе­ре­шед­шая из бо­лее ран­не­го шу­мер­ско­го пе­рио­да шес­ти­де­ся­ти­рич­ная сис­те­ма счис­ле­ния с эле­мен­та­ми по­зи­ци­он­но­го прин­ци­па (од­ни и те же зна­ки обо­зна­ча­ют од­но и то же чис­ло еди­ниц раз­ных шес­ти­де­ся­ти­рич­ных раз­ря­дов). Де­ле­ние сво­ди­лось к ум­но­же­нию при по­мо­щи таб­лиц об­рат­ных чи­сел. Име­лись так­же таб­ли­цы про­из­ве­де­ний, квад­ра­тов, при­бли­жён­ных зна­че­ний квад­рат­ных и ку­бич. кор­ней. На ос­но­ве раз­ви­той тех­ни­ки ариф­ме­тич. вы­чис­ле­ний поя­ви­лись на­ча­ла ал­геб­ры. Из дос­ти­же­ний ва­ви­лон­ской М. в об­лас­ти гео­мет­рии, вы­хо­дя­щих за пре­де­лы по­зна­ний егип­тян, сле­ду­ет от­ме­тить раз­ра­бот­ку из­ме­ре­ния уг­лов и на­чал три­го­но­мет­рии. Ва­ви­ло­ня­нам бы­ло из­вест­но со­дер­жа­ние Пи­фа­го­ра тео­ре­мы.

Развитие элементарной математики

По­сле на­ко­п­ле­ния боль­шо­го кон­крет­но­го ма­те­риа­ла в ви­де раз­роз­нен­ных приё­мов ариф­ме­тич. вы­чис­ле­ний и спо­со­бов оп­ре­де­ле­ния пло­ща­дей и объ­ё­мов М. сфор­ми­ро­ва­лась как са­мо­сто­ят. нау­ка. Бы­ло осоз­на­но свое­об­ра­зие её ме­то­да и по­яви­лась по­треб­ность сис­те­ма­тич. раз­ви­тия осн. по­ня­тий и пред­ло­же­ний М. в дос­та­точ­но об­щей фор­ме. Сис­те­ма­тич. и ло­ги­че­ски по­сле­до­ва­тель­ное по­строе­ние ос­нов М. впол­не оп­ре­де­ли­лось в Древ­ней Гре­ции. Соз­дан­ная древ­ни­ми гре­ка­ми сис­те­ма из­ло­же­ния эле­мен­тар­ной гео­мет­рии на два ты­ся­че­ле­тия впе­рёд сде­ла­лась об­раз­цом де­дук­тив­но­го по­строе­ния ма­те­ма­тич. тео­рии. Из ариф­ме­ти­ки по­сте­пен­но вы­рос­ла чи­сел тео­рия. На­ча­ло фор­ми­ро­вать­ся по­ня­тие о ве­ли­чи­не, при этом про­цесс раз­ра­бот­ки по­ня­тия дей­ст­ви­тель­но­го чис­ла ока­зал­ся весь­ма дли­тель­ным. Это свя­за­но с тем, что по­ня­тия от­ри­ца­тель­но­го и ир­ра­цио­наль­но­го чи­сел от­но­сят­ся к тем ма­те­ма­тич. аб­ст­рак­ци­ям, ко­то­рые, в от­ли­чие от по­ня­тий на­ту­раль­но­го чис­ла, дро­би или гео­мет­рич. фи­гу­ры, не име­ют опо­ры в до­на­уч­ном об­ще­че­ло­ве­че­ском опы­те.

Соз­да­ние ал­геб­ры как бу­к­вен­но­го ис­чис­ле­ния за­вер­ши­лось лишь в кон­це пе­рио­да раз­ви­тия эле­мен­тар­ной М., хо­тя спец. обо­зна­че­ния для не­из­вест­ных по­я­ви­лись в Древ­ней Гре­ции у Дио­фан­та и бо­лее сис­те­ма­ти­че­ски – в Ин­дии (7 в. н. э.). Обо­зна­че­ние бу­к­ва­ми ко­эф­фи­ци­ен­тов урав­не­ния вве­де­но толь­ко в 16 в. Ф. Вие­том. Раз­ви­тие гео­де­зии и ас­тро­но­мии ра­но при­ве­ло к де­таль­ной раз­ра­бот­ке пло­ской и сфе­ри­че­ской три­го­но­мет­рии. Пе­ри­од раз­ви­тия эле­мен­тар­ной М. за­кон­чил­ся в Зап. Ев­ро­пе в нач. 17 в., с пе­ре­хо­дом к М. пе­ре­мен­ных ве­ли­чин.

По­треб­ность в стро­гих ма­те­ма­тич. до­ка­за­тель­ст­вах поя­ви­лась в Древ­ней Гре­ции, где бы­ли сде­ла­ны пер­вые по­пыт­ки сис­те­ма­тич. по­строе­ния М., ко­то­рая, как и всё на­уч­ное и ху­дож. твор­че­ст­во, пе­ре­ста­ла быть без­лич­ной, ка­кой она бы­ла в стра­нах Древ­не­го Вос­то­ка. С это­го вре­ме­ни со­хра­ня­ют­ся име­на ма­те­ма­ти­ков, ос­та­вив­ших по­сле се­бя ма­те­ма­тич. со­чи­не­ния, ко­то­рые дош­ли до нас в от­рыв­ках, со­хра­нён­ных позд­ней­ши­ми ком­мен­та­то­ра­ми. Гре­ки счи­та­ли се­бя в об­лас­ти ариф­ме­ти­ки уче­ни­ка­ми фи­ни­кий­цев, объ­яс­няя вы­со­кое раз­ви­тие у них ариф­ме­ти­ки по­треб­но­стя­ми об­шир­ной тор­гов­ли. На­ча­ло греч. гео­мет­рии свя­зы­ва­ют с пу­те­ше­ст­вия­ми в Еги­пет (7–6 вв. до н. э.) Фа­ле­са Ми­лет­ско­го и Пи­фа­го­ра Са­мос­ско­го. В шко­ле Пи­фа­го­ра ариф­ме­ти­ка из про­сто­го ис­кус­ст­ва вы­чис­ле­ний пе­ре­рос­ла в тео­рию чи­сел. Сум­ми­ро­ва­лись про­стей­шие ариф­ме­тич. про­грес­сии [в ча­ст­но­сти, бы­ло из­вест­но равен­ст­во $1+ 3+ 5+ ...+ (2n- 1)=n^2$], изу­ча­лись де­ли­мость чи­сел, разл. ви­ды сред­них (ариф­ме­ти­че­ское, гео­мет­ри­че­ское и гар­мо­ни­че­ское). Во­про­сы тео­рии чи­сел (напр., ра­зы­ска­ние со­вер­шен­ных чи­сел) свя­зы­ва­лись в шко­ле Пи­фа­го­ра с мис­тич. и ма­гич. зна­че­ни­ем, при­пи­сы­вае­мым чи­сло­вым со­от­но­ше­ни­ям. В свя­зи с тео­ре­мой Пи­фа­го­ра был най­ден ме­тод по­лу­че­ния не­ог­ра­нич. ря­да троек «пи­фа­го­ро­вых чи­сел», т. е. троек це­лых чи­сел $a$, $b$, $c$, удов­ле­тво­ряю­щих со­от­но­ше­нию $a^2+b^2=c^2$. В об­лас­ти гео­мет­рии за­да­чи, ко­то­ры­ми за­ни­ма­лись греч. гео­мет­ры в 6–5 вв., ес­те­ст­вен­но воз­ни­ка­ли из про­стей­ших за­про­сов строи­тель­ст­ва, зем­ле­ме­рия и на­ви­га­ции. Та­ко­вы, напр., во­про­сы о со­от­но­ше­нии ме­ж­ду дли­на­ми ка­те­тов и ги­по­те­ну­зы пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка, о со­от­но­ше­нии ме­ж­ду пло­ща­дя­ми по­доб­ных фи­гур, квад­ра­ту­ре кру­га, три­сек­ции уг­ла и уд­вое­нии ку­ба. Но­вым, од­на­ко, был под­ход к этим за­да­чам, став­ший не­об­хо­ди­мым с ус­лож­не­ни­ем пред­ме­та ис­сле­до­ва­ния: не ог­ра­ни­чи­ва­ясь при­бли­жён­ны­ми, эм­пи­ри­че­ски най­ден­ны­ми ре­ше­ния­ми, греч. гео­мет­ры ис­ка­ли стро­гие до­ка­за­тель­ст­ва и ло­ги­че­ски ис­чер­пы­ваю­щие ре­ше­ния про­бле­мы. При­ме­ром этой но­вой тен­ден­ции слу­жит до­ка­за­тель­ст­во не­со­из­ме­ри­мо­сти диа­го­на­ли квад­ра­та и его сто­ро­ны. Во 2-й пол. 5 в. фи­лос. и на­уч. жизнь Гре­ции со­сре­до­то­чи­лась в Афи­нах. Здесь про­те­ка­ла осн. дея­тель­ность Гип­пия Элид­ско­го и Гип­по­кра­та Хи­ос­ско­го, ко­то­рым при­пи­сы­ва­ют со­став­ле­ние пер­во­го сис­те­ма­тич. учеб­ни­ка по гео­мет­рии. К это­му вре­ме­ни бы­ла соз­да­на сис­те­ма гео­мет­рии, в ко­то­рой не иг­но­ри­ро­ва­лись та­кие ло­гич. тон­ко­сти, как до­ка­за­тель­ст­во ра­вен­ст­ва тре­уголь­ни­ков. От­ра­же­ни­ем в М. пер­вых, хо­тя и чис­то умо­зри­тель­ных, по­пы­ток ра­цио­наль­но­го объ­яс­не­ния строе­ния ма­те­рии яви­лось от­кры­тие всех пя­ти пра­виль­ных мно­го­гран­ни­ков – ре­зуль­тат по­ис­ков иде­аль­ных про­стей­ших тел, мо­гу­щих слу­жить осн. «кам­ня­ми ми­ро­зда­ния». На гра­ни­це 5–4 вв. Де­мок­рит, ис­хо­дя из ато­ми­стич. пред­став­ле­ний, пред­ло­жил спо­соб оп­ре­де­ле­ния объ­ё­мов, по­слу­жив­ший позд­нее ос­но­вой для раз­ра­бот­ки ис­чер­пы­ва­ния ме­то­да. В 4 в. в об­ста­нов­ке упад­ка мо­гу­ще­ст­ва Афин на­сту­пи­ла эпо­ха под­чи­не­ния М. ог­ра­ни­че­ни­ям, вы­дви­ну­тым идеа­ли­стич. фи­ло­со­фи­ей. Нау­ка о чис­лах от­де­ля­лась от «ис­кус­ст­ва счис­ле­ния», а гео­мет­рия – от «ис­кус­ст­ва из­ме­ре­ния». Опи­ра­ясь на су­ще­ст­во­ва­ние не­со­из­ме­ри­мых от­рез­ков, пло­ща­дей и объ­ё­мов, Ари­сто­тель на­ла­гал об­щий за­прет на при­ме­не­ние ариф­ме­ти­ки к гео­мет­рии. В са­мой гео­мет­рии вво­ди­лось тре­бо­ва­ние ог­ра­ни­чи­вать­ся по­строе­ния­ми, осу­ще­ст­ви­мы­ми лишь при по­мо­щи цир­ку­ля и ли­ней­ки. Наи­бо­лее зна­чит. дос­ти­же­ни­ем ма­те­ма­ти­ков 4 в. мож­но счи­тать ис­сле­до­ва­ния Ев­док­са Книд­ско­го, свя­зан­ные как с ло­гич. ана­ли­зом ос­нов гео­мет­рии, так и с ма­те­ма­тич. пред­став­ле­ни­ем ви­ди­мо­го дви­же­ния пла­нет.

С 3 в. до н. э. на про­тя­же­нии се­ми сто­ле­тий осн. цен­тром на­уч. и осо­бен­но ма­те­ма­тич. ис­сле­до­ва­ний бы­ла Алек­сан­д­рия, где в об­ста­нов­ке объ­е­ди­не­ния разл. ми­ро­вых куль­тур и ши­ро­ко­го гос. по­кро­ви­тель­ст­ва нау­ке М. дос­тиг­ла выс­ше­го рас­цве­та. Алек­сан­д­рий­ский му­сей­он, яв­ляв­ший­ся пер­вым на­уч­но-ис­сле­до­ва­тель­ским ин-том в совр. смыс­ле сло­ва, и биб­лио­те­ки при­тя­ги­ва­ли поч­ти всех круп­ней­ших учё­ных в Алек­сан­д­рию. Наи­боль­шей на­пря­жён­но­стью ма­те­ма­тич. твор­че­ст­ва от­ли­ча­ет­ся пер­вый век алек­сан­д­рий­ской эпо­хи, ко­гда ра­бо­та­ли Евк­лид, Ар­хи­мед (жив­ший в Си­ра­ку­зах), Эра­тос­фен и Апол­ло­ний Перг­ский.

В «На­ча­лах» Евк­ли­да со­б­ра­ны и пе­ре­ра­бо­та­ны пре­ды­ду­щие дос­ти­же­ния в об­лас­ти гео­мет­рии. Вме­сте с тем в «На­чалах» Евк­лид за­ло­жил ос­но­вы стро­гой тео­рии чи­сел, до­ка­зав бес­ко­неч­ность ря­да про­стых чи­сел и по­стро­ив за­кон­чен­ную тео­рию де­ли­мо­сти. Из ра­бот Евк­ли­да, не во­шед­ших в «На­ча­ла», и ра­бот Апол­ло­ния Перг­ско­го наи­боль­шее зна­че­ние для даль­ней­ше­го раз­ви­тия М. име­ло соз­да­ние за­кон­чен­ной тео­рии ко­ни­че­ских се­че­ний. Осн. за­слу­гой Ар­хи­ме­да в гео­мет­рии яви­лось оп­ре­де­ле­ние раз­но­об­раз­ных пло­ща­дей и объ­ё­мов (в т. ч. пло­ща­дей па­ра­бо­лич. сег­мен­та и по­верх­но­сти ша­ра, объ­ё­мов ша­ра, ша­ро­во­го сег­мен­та, сег­мен­та па­ра­бо­лои­да и т. д.) и цен­тров тя­же­сти (напр., ша­ро­во­го сег­мен­та и сег­мен­та па­ра­бо­лои­да); ар­хи­ме­до­ва спи­раль яв­ля­ет­ся од­ним из при­ме­ров изу­чав­ших­ся в 3 в. до н. э. транс­цен­дент­ных кри­вых. По­сле Ар­хи­ме­да алек­сан­д­рий­ская нау­ка уже не дос­ти­га­ла преж­ней цель­но­сти и глу­би­ны, хо­тя рост объ­ё­ма на­уч. зна­ний про­дол­жал­ся. На­ча­ла ана­ли­за бес­ко­неч­но ма­лых, со­дер­жав­шие­ся в эв­ри­стич. приё­мах Ар­хи­ме­да, по­лу­чи­ли даль­ней­шее раз­ви­тие лишь мно­го ве­ков спус­тя. Воз­ник­ший из при­клад­ных нужд ин­те­рес к при­бли­жён­но­му из­ме­ре­нию ве­ли­чин и при­бли­жён­ным вы­чис­ле­ни­ям не при­вёл ма­те­ма­ти­ков 3 в. к от­ка­зу от ма­те­ма­тич. стро­го­сти. При­бли­жён­ные зна­че­ния кор­ней и все ас­тро­но­мич. вы­чис­ле­ния при­во­ди­лись ими с точ­ным ука­за­ни­ем гра­ниц по­греш­но­сти, по ти­пу ар­хи­ме­до­ва оп­ре­де­ле­ния дли­ны ок­руж­но­сти в фор­ме стро­го до­ка­зан­ных не­ра­венств

$3\frac{10}{71}d < p < 3\frac{1}{7}d$

где $p$ – дли­на ок­руж­но­сти диа­мет­ра $d$. От­чёт­ли­вое по­ни­ма­ние то­го, что при­бли­жён­ная М. не яв­ля­ет­ся не­стро­гой М., бы­ло позд­нее на­дол­го за­бы­то.

Су­ще­ст­вен­ным не­дос­тат­ком всей М. Древ­не­го ми­ра бы­ло от­сут­ст­вие окон­ча­тель­но сфор­ми­ро­ван­но­го по­ня­тия ир­ра­цио­наль­но­го чис­ла. Это об­стоя­тель­ст­во при­ве­ло фи­ло­со­фию 4 в. до н. э. к пол­но­му от­ри­ца­нию за­кон­но­сти при­ме­не­ния ариф­ме­ти­ки к изу­че­нию гео­мет­рич. ве­ли­чин, хо­тя в тео­рии про­пор­ций и в ме­то­де ис­чер­пы­ва­ния ма­те­ма­ти­кам 4–3 вв. уда­лось кос­вен­ным об­ра­зом осу­ще­ст­вить это при­ме­не­ние ариф­ме­ти­ки к гео­мет­рии. Неск. сле­дую­щих ве­ков при­нес­ли не ре­ше­ние про­бле­мы пу­тём соз­да­ния но­во­го фун­дам. по­ня­тия (ир­ра­цио­наль­но­го чис­ла), а по­сте­пен­ное её заб­ве­ние с ут­ра­той пред­став­ле­ний о ма­те­ма­тич. стро­го­сти. На этом эта­пе ис­то­рии М. врем. от­каз от ма­те­ма­тич. стро­го­сти ока­зал­ся, од­на­ко, по­лез­ным, от­крыв воз­мож­ность раз­ви­тия ал­геб­ры. Зна­чит. ус­пе­хи в этом на­прав­ле­нии со­дер­жат­ся в соч. Ге­ро­на «Мет­ри­ка», од­на­ко са­мо­сто­ят. раз­ви­тие ал­геб­ра­ич. ис­чис­ле­ния встре­ча­ет­ся лишь в соч. Дио­фан­та «Ариф­ме­ти­ка», по­свящён­ном в осн. ре­ше­нию урав­не­ний. От­но­ся свои ис­сле­до­ва­ния к чис­той ариф­ме­ти­ке, Дио­фант ог­ра­ни­чи­ва­ет­ся, в от­ли­чие от Ге­ро­на, ра­цио­наль­ны­ми ре­ше­ния­ми. Гип­парх пер­вым со­ста­вил таб­ли­цы хорд, иг­рав­шие роль таб­лиц си­ну­сов. Ме­не­лай и Клав­дий Пто­ле­мей за­ло­жи­ли ос­но­вы сфе­рич. три­го­но­мет­рии. При этом три­го­но­мет­рия вос­при­ни­ма­лась в боль­шой ме­ре как часть ас­тро­но­мии, а не М., и к ней не предъ­яв­ля­лись тре­бо­ва­ния пол­ной стро­го­сти фор­му­ли­ро­вок и до­ка­за­тельств.

В Ки­тае во 2–1 вв. до н. э. бы­ли из­вест­ны спо­со­бы при­бли­жён­но­го из­вле­че­ния квад­рат­ных и ку­бич. кор­ней из це­лых чи­сел, а так­же, по су­ще­ст­ву, ис­поль­зо­вал­ся ме­тод ис­клю­че­ния не­из­вест­ных для ре­ше­ния сис­тем ли­ней­ных урав­не­ний. При­ме­ром вы­со­ко­го раз­ви­тия вы­чис­лит. ме­то­дов в гео­мет­рии слу­жит ре­зуль­тат Цзу Чун-чжи (2-я пол. 5 в. н. э.), ко­то­рый по­ка­зал, что от­но­ше­ние $π$ дли­ны ок­руж­но­сти к диа­мет­ру ле­жит в пре­де­лах 3,1415926<$π$<3,1415927.

Инд. ма­те­ма­ти­ки в 5–12 вв. н. э. вве­ли в ши­ро­кое упот­реб­ле­ние совр. де­ся­тич­ную сис­те­му счис­ле­ния и сис­те­ма­ти­че­ски ис­поль­зо­ва­ли нуль для обо­зна­че­ния от­сут­ст­вия еди­ниц дан­но­го раз­ря­да, од­на­ко про­ис­хо­ж­де­ние упот­реб­ляв­ших­ся в Ин­дии цифр, на­зы­вае­мых те­перь араб­ски­ми, не впол­не вы­яс­не­но. Ещё од­ной их за­слу­гой яв­ля­ет­ся соз­да­ние ал­геб­ры, сво­бод­но опе­ри­рую­щей не толь­ко с дро­бями, но и с от­ри­ца­тель­ны­ми и ир­ра­цио­наль­ны­ми чис­ла­ми. В три­го­но­мет­рии инд. ма­те­ма­ти­ки рас­смат­ри­ва­ли гра­фи­ки си­ну­са и ко­си­ну­са.

В зап.-ев­роп. нау­ке дли­тель­ное вре­мя гос­под­ство­ва­ло мне­ние, что роль араб. ма­те­ма­ти­ков сво­дит­ся в осн. к со­хра­не­нию и пе­ре­да­че ма­те­ма­ти­кам Зап. Ев­ропы ма­те­ма­тич. от­кры­тий Древ­не­го ми­ра и Ин­дии. По-ви­ди­мо­му, это свя­за­но с тем, что со­чи­не­ния греч. ма­те­ма­ти­ков впер­вые ста­ли из­вест­ны в Зап. Ев­ро­пе в араб. пе­ре­во­дах. В дей­ст­ви­тель­но­сти вклад ма­те­ма­ти­ков, пи­сав­ших на араб. яз., зна­чи­тель­но боль­ше. В 1-й по­ло­ви­не 9 в. Хо­рез­ми впер­вые дал из­ло­же­ние ал­геб­ры как са­мо­сто­ят. нау­ки. По его соч. «Ки­таб аль-джебр ва-л-му ка­ба­ла» ев­роп. ма­те­ма­ти­ки ран­не­го Сред­не­ве­ко­вья по­зна­ко­ми­лись с ре­ше­ни­ем квад­рат­ных урав­не­ний. Омар Хай­ям сис­те­ма­ти­че­ски изу­чал урав­не­ния 3-й сте­пе­ни, дал их клас­си­фи­ка­цию, вы­яс­нил ус­ло­вия их раз­ре­ши­мо­сти (в смыс­ле су­ще­ст­во­ва­ния по­ло­жи­тель­ных кор­ней). Ма­те­ма­ти­ки Ср. Азии и Ближ­не­го Вос­то­ка за­им­ст­во­ва­ли у ин­дий­цев де­ся­тич­ную сис­те­му счис­ле­ния с упот­реб­ле­ни­ем ну­ля, од­на­ко в вы­чис­ле­ни­ях при­ме­ня­ли пре­им. шес­ти­де­ся­ти­рич­ную сис­те­му (по-ви­ди­мо­му, в свя­зи с шес­ти­де­ся­ти­рич­ным де­ле­ни­ем уг­лов в ас­тро­но­мии). В свя­зи с ас­тро­но­мич. и гео­де­зич. ра­бо­та­ми араб. учё­ных боль­шое раз­ви­тие по­лу­чи­ла три­го­но­мет­рия. Они ис­поль­зо­ва­ли три­го­но­мет­рич. функ­ции, для ко­то­рых бы­ли со­став­ле­ны дос­та­точ­но точ­ные таб­ли­цы. В «Трак­та­те об ок­руж­но­сти» (ок. 1427) аль-Ка­ши на­шёл чис­ло $π$ с 17 де­ся­тич­ны­ми зна­ка­ми. В свя­зи с по­строе­ни­ем об­шир­ных таб­лиц си­ну­сов он пред­ло­жил ите­ра­ци­он­ный ме­тод чис­лен­но­го ре­ше­ния урав­не­ний.

12–15 вв. для ев­роп. ма­те­ма­ти­ки бы­ли пе­рио­дом ус­вое­ния на­сле­дия Древ­не­го ми­ра и Вос­то­ка. В это вре­мя ши­ро­ко рас­про­стра­ни­лись учеб­ни­ки, со­еди­няю­щие прак­тич. на­прав­лен­ность с боль­шой об­стоя­тель­но­стью и на­уч. стро­го­стью. По­сле по­яв­ле­ния в 12 в. пер­вых лат. пе­ре­во­дов книг греч. и араб. ма­те­ма­ти­ков Ле­о­нар­до Пи­зан­ский опуб­ли­ко­вал со­чи­не­ния «Кни­га об аба­ке» (1202) и «Прак­ти­ка гео­мет­рии» (1220), из­ла­гав­шие ариф­ме­ти­ку, ал­геб­ру и гео­мет­рию. Осн. цен­тра­ми на­уч. мыс­ли в это вре­мя бы­ли уни­вер­си­те­ты. Про­гресс ал­геб­ры как тео­ре­тич. дис­ци­п­ли­ны, а не толь­ко со­б­ра­ния прак­тич. пра­вил для ре­ше­ния за­дач, про­явил­ся в яс­ном по­ни­ма­нии при­ро­ды ир­ра­цио­наль­ных чи­сел как от­но­ше­ний не­со­из­ме­ри­мых ве­ли­чин (Ф. Брад­вар­дин и Н. Оре­м) и во вве­де­нии дроб­ных (Орем), от­ри­ца­тель­ных и ну­ле­вых (франц. ма­те­ма­тик Н. Шю­ке, кон. 15 в.) по­ка­за­те­лей сте­пе­ней. Ре­гио­мон­тан со­ста­вил три­го­но­мет­рич. таб­ли­цы (с точ­но­стью до 7-го зна­ка). Бы­ла зна­чи­тель­но усо­вер­шен­ст­во­ва­на ма­те­ма­тич. сим­во­ли­ка (см. Ма­те­ма­ти­че­ские зна­ки), раз­ви­ва­лись на­уч. кри­ти­ка и по­ле­ми­ка. По­ис­ки ре­ше­ний труд­ных за­дач, по­ощ­ряе­мые обы­ча­ем пуб­лич­ных со­стя­за­ний в их ре­ше­нии, при­ве­ли к пер­вым до­ка­за­тель­ст­вам не­раз­ре­ши­мо­сти не­ко­то­рых из этих за­дач. В ча­ст­но­сти, Ле­о­нар­до Пи­зан­ский до­ка­зал (ок. 1225) не­раз­ре­ши­мость урав­не­ния $х^3+2x^2+10x=20$ не толь­ко в ра­цио­наль­ных чис­лах, но и при по­мо­щи про­стей­ших квад­ра­тич­ных ир­ра­цио­наль­но­стей (ви­да $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ и т. п.).

С 16 в. нау­ка Зап. Ев­ро­пы ста­ла пре­вос­хо­дить нау­ку Древ­не­го ми­ра и Вос­то­ка. Так бы­ло в ас­тро­но­мии (ге­лио­цен­трич. сис­те­ма Н. Ко­пер­ни­ка), в ме­ха­ни­ке (ис­сле­до­ва­ния Г. Га­ли­лея) и в М., не­смот­ря на то, что в не­ко­то­рых на­прав­ле­ни­ях ев­роп. нау­ка ещё от­ста­ва­ла от дос­ти­же­ний ср.-ази­ат. ма­те­ма­ти­ков 15 в. Но­вые идеи, оп­ре­де­лив­шие даль­ней­шее раз­ви­тие но­вой ев­роп. М., воз­ник­ли лишь в 17 в. В 16 в. бы­ли от­кры­ты спо­со­бы ре­ше­ния ал­геб­ра­ич. урав­не­ний 3-й (С. Фер­ро, ок. 1515; позд­нее и не­за­ви­си­мо от не­го – Н. Тар­та­лья, ок. 1530) и 4-й (Л. Фер­ра­ри, 1545) сте­пе­ней. Дж. Кар­да­но ис­сле­до­вал урав­не­ния 3-й сте­пе­ни и об­на­ру­жил т. н. не­при­во­ди­мый слу­чай, в ко­то­ром дей­ст­ви­тель­ные кор­ни урав­не­ния вы­ра­жа­ют­ся с ис­поль­зо­ва­ни­ем ком­плекс­ных чи­сел. Даль­ней­шее раз­ви­тие ал­геб­ра по­лу­чи­ла у Ф. Вие­та. С. Сте­вин раз­ра­бо­тал (1585) пра­ви­ла ариф­ме­тич. дей­ст­вий с де­ся­тич­ны­ми дро­бя­ми.

Ма­те­ма­тич. об­ра­зо­ва­ние в Рос­сии в 9–13 вв. на­хо­ди­лось на уров­не наи­бо­лее раз­ви­тых стран Вост. и Зап. Ев­ро­пы, за­тем оно бы­ло на­дол­го за­дер­жа­но мон­го­ло-та­тар­ским на­ше­ст­ви­ем. В 15–16 вв. в свя­зи с ук­ре­п­ле­ни­ем Рус. гос-ва и эко­но­мич. рос­том стра­ны зна­чи­тель­но вы­рос­ли по­треб­но­сти в ма­те­ма­тич. зна­ни­ях. В кон. 16–17 вв. поя­ви­лись мно­го­числ. ру­ко­пис­ные ру­ко­во­дства по ариф­ме­ти­ке и гео­мет­рии, в ко­то­рых из­ла­га­лись об­шир­ные све­де­ния, не­об­хо­ди­мые для прак­тич. дея­тель­но­сти. В Древ­ней Ру­си ис­поль­зо­ва­лась сис­те­ма чи­сло­вых зна­ков, ос­но­ван­ная на сла­вян­ском ал­фа­ви­те, сход­ная с гре­ко-ви­зан­тий­ской сис­те­мой. Эта сис­те­ма ну­ме­ра­ции в рос. ма­те­ма­тич. лит-ре встре­ча­ет­ся до нач. 18 в., но уже с кон. 16 в. её на­чи­на­ет вы­тес­нять де­ся­тич­ная сис­те­ма счис­ле­ния.

Наи­бо­лее древ­нее рос. ма­те­ма­тич. про­из­ве­де­ние от­но­сит­ся к 1136 и при­над­ле­жит Ки­ри­ку Нов­го­род­цу. Оно по­свя­ще­но хро­но­ло­гич. рас­чё­там и по­ка­зы­ва­ет, что в то вре­мя на Ру­си уме­ли ре­шать слож­ную за­да­чу вы­чис­ле­ния пас­ха­лий, сво­дя­щую­ся в ма­те­ма­тич. час­ти к ре­шению в це­лых чис­лах не­оп­ре­де­лён­ных урав­не­ний 1-й сте­пе­ни. Ариф­ме­тич. ру­ко­пи­си кон. 16–17 вв. со­дер­жат, по­ми­мо опи­са­ния слав. и араб. ну­ме­ра­ции, ариф­ме­тич. опе­ра­ции с це­лы­ми по­ло­жи­тель­ны­ми чис­ла­ми, а так­же под­роб­ное из­ло­же­ние пра­вил дей­ст­вия с дро­бя­ми и ре­ше­ние урав­не­ний 1-й сте­пе­ни с од­ним не­из­вест­ным. Для прак­тич. ис­поль­зо­ва­ния об­щих пра­вил в ру­ко­пи­сях рас­смат­ри­ва­лись при­ме­ры с ре­аль­ным со­дер­жа­ни­ем и из­ла­гал­ся т. н. до­ща­ный счёт – про­то­тип рус. счё­тов. В гео­мет­рич. ру­ко­пи­сях со­дер­жа­лось из­ло­же­ние пра­вил оп­ре­де­ле­ния (ино­гда при­бли­жён­но­го) пло­ща­дей фи­гур и объ­ё­мов тел, час­то ис­поль­зо­ва­лись свой­ст­ва по­доб­ных тре­уголь­ни­ков и тео­ре­ма Пи­фа­го­ра. В 1703 вы­шел пер­вый рус. пе­чат­ный учеб­ник ма­те­ма­ти­ки – «Ариф­ме­ти­ка» Л. Ф. Маг­ниц­ко­го, вклю­чав­шая мн. ма­те­ма­тич. во­про­сы, ко­то­рые те­перь не от­но­сят к ариф­ме­ти­ке.

Создание математики переменных величин

С 17 в. на­чал­ся су­ще­ст­вен­но но­вый пе­ри­од раз­ви­тия М. Круг ко­ли­че­ст­вен­ных от­но­ше­ний и про­стран­ст­вен­ных форм уже не ис­чер­пы­вал­ся чис­ла­ми, урав­не­ния­ми и гео­мет­рич. фи­гу­ра­ми, что свя­за­но с яв­ным вве­де­ни­ем в М. идей дви­же­ния и из­ме­не­ния. Уже в ал­геб­ре в скры­том ви­де со­дер­жит­ся идея за­ви­си­мо­сти ме­ж­ду ве­ли­чи­на­ми (зна­че­ние сум­мы за­ви­сит от зна­че­ний сла­гае­мых и т. д.), од­на­ко что­бы рас­смат­ри­вать ко­ли­че­ст­вен­ные от­но­ше­ния в про­цес­се их из­ме­не­ния, на­до бы­ло са­ми за­ви­си­мо­сти ме­ж­ду ве­ли­чи­на­ми сде­лать са­мо­сто­ят. пред­ме­том изу­че­ния. По­это­му од­ним из осн. объ­ек­тов изу­че­ния в М. ста­ло по­ня­тие функ­ции и функ­цио­наль­ной за­ви­си­мо­сти ме­ж­ду ве­ли­чи­на­ми. Изу­че­ние пе­ре­мен­ных ве­ли­чин и функ­цио­наль­ных за­ви­си­мо­стей при­ве­ло к воз­ник­но­ве­нию осн. по­ня­тий ма­те­ма­тич. ана­ли­за, вво­дя­щих в М. в яв­ном ви­де идею бес­ко­неч­но­го, по­ня­тий пре­де­ла, про­из­вод­ной, диф­фе­рен­циа­ла и ин­те­гра­ла. На­чал соз­да­вать­ся ана­лиз бес­ко­неч­но ма­лых, в пер­вую оче­редь в ви­де диф­фе­рен­ци­аль­но­го ис­чис­ле­ния и ин­те­граль­но­го ис­чис­ле­ния. Осн. за­ко­ны ме­ха­ни­ки и фи­зи­ки ста­ли за­пи­сы­вать­ся в фор­ме диф­фе­рен­ци­аль­ных урав­не­ний, и за­да­ча ин­тег­ри­ро­ва­ния этих урав­не­ний ста­ла од­ной из важ­ней­ших за­дач М. На­хо­ж­де­ние не­из­вест­ных функ­ций, оп­ре­де­лён­ных ус­ло­вия­ми ми­ни­му­ма и мак­си­му­ма не­ко­то­рых свя­зан­ных с ни­ми ве­ли­чин, ста­ло пред­ме­том ва­риа­ци­он­но­го ис­чис­ле­ния. Т. о., на­ря­ду с урав­не­ния­ми, в ко­то­рых не­извест­ны­ми яв­ля­ют­ся чис­ла, поя­ви­лись урав­не­ния, в ко­то­рых не­из­вест­ны функ­ции, под­ле­жа­щие оп­ре­де­ле­нию.

С про­ник­но­ве­ни­ем в гео­мет­рию идей дви­же­ния и пре­об­ра­зо­ва­ния фи­гур её пред­мет так­же су­ще­ст­вен­но рас­ши­рил­ся. Гео­мет­рия на­ча­ла изу­чать дви­же­ние и пре­об­ра­зо­ва­ния са­ми по се­бе. Напр., в про­ек­тив­ной гео­мет­рии од­ним из осн. объ­ек­тов изу­че­ния яв­ля­ют­ся са­ми про­ек­тив­ные пре­об­ра­зо­ва­ния плос­ко­сти или про­стран­ст­ва. Раз­ви­тие этих идей от­но­сит­ся к кон. 18 – нач. 19 вв.

С соз­да­ни­ем ана­ли­ти­че­ской гео­мет­рии прин­ци­пи­аль­но из­ме­ни­лось от­но­ше­ние гео­мет­рии к ос­таль­ной М.: был най­ден уни­вер­саль­ный спо­соб пе­ре­во­да за­дач гео­мет­рии на язык ал­геб­ры и ана­ли­за и их ре­ше­ния чис­то ал­геб­ра­ич. и ана­ли­тич. ме­то­да­ми, по­ми­мо это­го, от­кры­лась ши­ро­кая воз­мож­ность изо­бра­же­ния (ил­лю­ст­ри­ро­ва­ния) ал­геб­ра­ич. и ана­ли­тич. фак­тов гео­мет­ри­че­ски, напр. при гра­фич. изо­бра­же­нии функ­цио­наль­ных за­ви­си­мо­стей (см. Ко­ор­ди­на­ты).

Ал­геб­ра 17 и 18 вв. в зна­чит. ме­ре по­свя­ще­на след­ст­ви­ям, вы­те­каю­щим из воз­мож­но­сти изу­чать ле­вую часть урав­не­ния $Р(х)=0$ как функ­цию пе­ре­мен­но­го $х$. Этот под­ход по­зво­лил изу­чить во­прос о чис­ле дей­ст­ви­тель­ных кор­ней, на­хо­дить ме­то­ды их от­де­ле­ния и при­бли­жён­но­го вы­чис­ле­ния, а в ком­плекс­ной об­лас­ти при­вёл Ж. Д’Аламбера к не впол­не стро­го­му, но для ма­те­ма­ти­ков 18 в. дос­та­точ­но убе­ди­тель­но­му до­ка­за­тель­ст­ву осн. тео­ре­мы ал­геб­ры о су­ще­ст­во­ва­нии у лю­бо­го ал­геб­ра­ич. урав­не­ния хо­тя бы од­но­го кор­ня. К дос­ти­же­ни­ям ал­геб­ры это­го пе­рио­да от­но­сит­ся раз­ра­бот­ка спо­со­ба ре­ше­ния про­из­воль­ных сис­тем ли­ней­ных урав­не­ний при по­мо­щи оп­ре­де­ли­те­лей, раз­ра­бот­ка тео­рии де­ли­мо­сти мно­го­чле­нов, ме­то­да ис­клю­че­ния не­из­вест­ных и т. д., од­на­ко от­де­ле­ние соб­ст­вен­но ал­геб­ра­ич. фак­тов и ме­то­дов от фак­тов и ме­то­дов ма­те­ма­тич. ана­ли­за про­изош­ло позд­нее (2-я пол. 19 – 20 вв.). В 17–18 вв. ал­геб­ра в зна­чит. ме­ре вос­при­ни­ма­лась как пер­вый раз­дел ана­ли­за, в ко­то­ром вме­сто ис­сле­до­ва­ния про­из­воль­ных за­ви­си­мо­стей ме­ж­ду ве­ли­чи­на­ми и ре­ше­ния про­из­воль­ных урав­не­ний ог­ра­ни­чи­ва­ют­ся ал­геб­ра­ич. за­ви­си­мо­стя­ми и урав­не­ния­ми.

Опи­сан­ный вы­ше но­вый этап раз­ви­тия М. свя­зан с соз­да­ни­ем в 17 в. ма­те­ма­тич. ес­те­ст­во­зна­ния, це­лью ко­то­ро­го бы­ло объ­яс­не­ние отд. при­род­ных яв­ле­ний дей­ст­ви­ем об­щих за­ко­нов при­ро­ды, сфор­му­ли­ро­ван­ных ма­те­ма­ти­че­ски. На про­тя­же­нии 17 в. глу­бо­кие и об­шир­ные ма­те­ма­тич. ис­сле­до­ва­ния от­но­сят­ся лишь к двум раз­де­лам ес­теств. на­ук – ме­хани­ке и оп­ти­ке (Г. Га­ли­лей, И. Ке­п­лер, И. Нью­тон, а так­же Х. Гюй­генс и Р. Гук). Тем не ме­нее фи­ло­со­фия 17 в. вы­дви­ну­ла идею уни­вер­саль­но­сти ма­те­ма­тич. ме­то­да (Р. Де­карт, Б. Спи­но­за, Г. В. Лейб­ниц). Но­вые ма­те­ма­тич. про­бле­мы вы­дви­га­ли пе­ред М. в 17 в. на­вига­ция, кар­то­гра­фия, бал­ли­сти­ка, гид­рав­ли­ка.

В 1614 Дж. Не­пе­ром бы­ло вве­де­но по­ня­тие ло­га­риф­ма. В 1637 Де­карт опуб­ли­ко­вал соч. «Гео­мет­рия», со­дер­жа­щее ос­но­вы ме­то­да ко­ор­ди­нат в гео­мет­рии, клас­си­фи­ка­цию кри­вых с под­раз­де­ле­ни­ем их на ал­геб­раи­че­ские и транс­цен­дент­ные. В свя­зи с воз­мож­но­стью пред­ста­вить кор­ни урав­не­ния $Р(х)=0$ точ­ка­ми пе­ре­се­че­ния кри­вой $y=Р(х)$ с осью абс­цисс в ал­геб­ре ис­сле­до­ва­лись дей­ст­ви­тель­ные кор­ни урав­не­ния лю­бой сте­пе­ни (Р. Де­карт, И. Нью­тон, М. Ролль). Ис­сле­до­ва­ния П. Фер­ма о мак­си­му­мах и ми­ни­му­мах и о на­хо­ж­де­нии ка­са­тель­ных к кри­вым со­дер­жа­ли, по су­ще­ст­ву, приё­мы диф­фе­рен­ци­аль­но­го ис­чис­ле­ния, но са­ми эти приё­мы ещё не бы­ли вы­де­ле­ны. Др. ис­точ­ни­ком ана­ли­за бес­ко­неч­но ма­лых яв­ля­ет­ся раз­ви­тый И. Ке­п­ле­ром (1615) и Б. Ка­валь­е­ри (1635) «не­де­ли­мых» ме­тод, при­ме­нён­ный ими к оп­ре­де­ле­нию объ­ё­мов тел вра­ще­ния и ря­ду др. за­дач. Так, в гео­мет­рич. фор­ме бы­ли, по су­ще­ст­ву, соз­да­ны на­ча­ла диф­фе­рен­ци­аль­но­го и ин­те­граль­но­го ис­чис­ле­ния. Па­рал­лель­но раз­ви­ва­лось уче­ние о бес­ко­неч­ных ря­дах. Свой­ст­ва про­стей­ших ря­дов, на­чи­ная с гео­мет­рич. про­грес­сии, изу­чал Дж. Вал­лис (1685). Н. Мер­ка­тор (1668) по­лу­чил раз­ло­же­ние $log(1+x)$ в сте­пен­ной ряд. Нью­тон на­шёл (1664–65) фор­му­лу би­но­ма $(1+x)^α$ для лю­бо­го по­ка­за­те­ля $α$, сте­пен­ные ря­ды для функ­ций $e^x$, $sinx$, $arcsinx$. В даль­ней­шем раз­ви­тии уче­ния о бес­ко­неч­ных ря­дах при­ня­ли уча­стие поч­ти все ма­те­ма­ти­ки 17 в. С соз­да­ни­ем ме­то­да ко­ор­ди­нат и рас­про­стра­не­ни­ем пред­став­ле­ний о на­прав­лен­ных ме­ха­нич. ве­ли­чи­нах (ско­рость, ус­ко­ре­ние) по­ня­тие от­ри­цат. чис­ла при­об­ре­ло на­гляд­ность и яс­ность.

Важ­ней­шую роль в соз­да­нии М. пе­ремен­ных ве­ли­чин сыг­ра­ли И. Нью­тон и Г. В. Лейб­ниц, тру­да­ми ко­то­рых в по­след­ней тре­ти 17 в. бы­ло соз­да­но диф­фе­рен­ци­аль­ное и ин­те­граль­ное ис­чис­ле­ние. При­ори­тет пуб­ли­ка­ции здесь при­над­лежит Лейб­ни­цу, дав­ше­му раз­вёр­ну­тое из­ло­же­ние осн. идей но­во­го ис­чис­ле­ния в стать­ях, опуб­ли­ко­ван­ных в 1682–86. При этом име­ют­ся все ос­но­ва­ния счи­тать, что при­ори­тет по­лу­че­ния осн. ре­зуль­та­тов при­над­ле­жит Нью­то­ну, ко­торый при­шёл к осн. иде­ям диф­фе­рен­циаль­но­го и ин­те­граль­но­го ис­чис­ле­ния в 1665–66. Ра­бо­та Нью­то­на «Ана­лиз с по­мо­щью урав­не­ний» в 1669 бы­ла пе­ре­дана им в ру­ко­пи­си англ. ма­те­ма­ти­кам И. Бар­роу и Дж. Кол­лин­зу и по­лу­чи­ла ши­ро­кую из­вест­ность в Анг­лии. «Ме­тод флюк­сий», со­чи­не­ние, в ко­то­ром Нью­тон дал впол­не за­кон­чен­ное сис­те­ма­тич. из­ло­же­ние сво­ей тео­рии, был на­пи­сан в 1670–71 (опубл. в 1736). Лейб­ниц на­чал свои ис­сле­до­ва­ния по ана­ли­зу бес­ко­неч­но ма­лых лишь в 1673. И Нью­тон и Лейб­ниц впер­вые в об­щем ви­де рас­смот­ре­ли осн. для но­во­го ис­чис­ле­ния опе­ра­ции диф­фе­рен­ци­ро­ва­ния и ин­тег­ри­ро­ва­ния функ­ций, ус­та­но­ви­ли связь ме­ж­ду эти­ми опе­ра­ция­ми и раз­ра­бо­та­ли для них об­щий еди­но­об­раз­ный ал­го­ритм. Осн. идея Нью­то­на (счи­таю­ще­го­ся од­ним из ос­но­ва­те­лей ма­те­ма­тич. ес­те­ст­во­зна­ния) со­стоя­ла в том, что фун­дам. за­ко­ны при­ро­ды вы­ра­жа­ют­ся диф­фе­рен­ци­аль­ны­ми урав­не­ния­ми, а оп­ре­де­ле­ние хо­да про­цес­сов, опи­сы­вае­мых эти­ми урав­не­ния­ми, тре­бу­ет ин­тег­ри­ро­ва­ния урав­не­ний (см. Флюк­сий ис­чис­ле­ние). Для Лейб­ни­ца в цен­тре вни­ма­ния на­хо­дил­ся во­прос о пе­ре­хо­де от тра­диц. ал­геб­ры к ал­геб­ре бес­ко­неч­но ма­лых; ин­те­грал вос­при­ни­мал­ся как сум­ма бес­ко­неч­но боль­шо­го чис­ла бес­ко­неч­но ма­лых, а осн. по­ня­ти­ем диф­фе­рен­ци­аль­но­го ис­чис­ле­ния яв­ля­лись диф­фе­рен­циа­лы – бес­ко­неч­но ма­лые при­ра­ще­ния пе­ре­мен­ных ве­ли­чин. С пуб­ли­ка­ции ра­бот Лейб­ни­ца в кон­ти­нен­таль­ной Ев­ро­пе на­чал­ся пе­ри­од ин­тен­сив­ной ра­бо­ты над диф­ферен­ци­аль­ным и ин­те­граль­ным ис­чис­ле­ни­ем, ин­тег­ри­ро­ва­ни­ем диф­фе­рен­ци­аль­ных урав­не­ний и гео­мет­рич. при­ло­же­ния­ми ана­ли­за. Ре­зуль­та­ты ис­сле­до­ва­ний не­мед­лен­но пуб­ли­ко­ва­лись в жур­наль­ных стать­ях и ис­поль­зо­ва­лись в ис­сле­до­ва­ни­ях др. учё­ных.

В 17 в., кро­ме ана­ли­тич. гео­мет­рии, в тес­ной свя­зи с ал­геб­рой и ана­ли­зом раз­ви­ва­лась диф­фе­рен­ци­аль­ная гео­мет­рия и бы­ли за­ло­же­ны ос­но­вы про­ек­тив­ной гео­мет­рии. Сре­ди др. дос­ти­же­ний М. 17 в. – ис­сле­до­ва­ния по тео­рии чи­сел (Б. Пас­каль, П. Фер­ма); раз­ра­бот­ка осн. по­ня­тий ком­би­на­то­ри­ки (Фер­ма, Пас­каль, Лейб­ниц); пер­вые ра­бо­ты по тео­рии ве­ро­ят­но­стей (Фер­ма, Пас­каль), увен­чав­шие­ся в кон­це ве­ка ре­зуль­та­том прин­ци­пи­аль­но­го зна­че­ния – от­кры­ти­ем Я. Бер­нул­ли про­стей­шей фор­мы боль­ших чи­сел за­ко­на.

В нач. 18 в. об­щий стиль ма­те­ма­тич. ис­сле­до­ва­ний по­сте­пен­но ме­нял­ся. К это­му вре­ме­ни раз­ви­тие но­вых об­лас­тей М., соз­дан­ных в 17 в., дос­тиг­ло уров­ня, при ко­то­ром даль­ней­шее про­дви­же­ние ста­ло тре­бо­вать вир­ту­оз­но­го вла­де­ния ма­те­ма­тич. ап­па­ра­том и изо­бре­та­тель­но­сти в по­ис­ке об­ход­ных, за­час­тую не­ожи­дан­ных пу­тей ре­ше­ния труд­ных за­дач. В 18 в. наи­бо­лее яр­ким пред­ста­ви­те­лем ма­те­ма­ти­ков, со­че­тав­ших в се­бе эти ка­че­ст­ва, был Л. Эй­лер, а Ж. Ла­гранж, быть мо­жет, ус­ту­пая Эй­ле­ру в ко­ли­че­ст­ве и раз­но­об­ра­зии ре­шён­ных за­дач, со­еди­нял бле­стя­щую тех­ни­ку с ши­ро­ки­ми обоб­щаю­щи­ми кон­цеп­ция­ми, ти­пич­ны­ми для франц. ма­те­ма­тич. шко­лы 2-й пол. 18 в. Ес­ли вид­ней­шие ма­те­ма­ти­ки 17 в. час­то бы­ли од­но­вре­мен­но фи­ло­со­фа­ми или фи­зи­ка­ми-экс­пе­ри­мен­та­то­ра­ми, то в 18 в. на­уч. ра­бо­та в об­лас­ти М. ста­ла са­мо­сто­ят. по­лем дея­тель­но­сти. При этом, од­на­ко, ма­те­ма­тич. ес­те­ст­во­зна­ние (ме­ха­ни­ка, ма­те­ма­тич. фи­зи­ка) и тех­нич. при­ме­не­ния М. ос­та­ют­ся в сфе­ре дея­тель­но­сти ма­те­ма­ти­ков. Эй­лер за­ни­мал­ся во­про­сами ко­раб­ле­строе­ния и оп­ти­ки, Ла­гранж соз­дал ос­но­вы ана­ли­тич. ме­ха­ни­ки, П. Ла­п­лас был так­же круп­ней­шим ас­тро­но­мом и фи­зи­ком сво­его вре­ме­ни.

В 18 в., бла­го­да­ря ра­бо­там Л. Эй­ле­ра, Ж. Ла­гран­жа и А. Ле­жан­д­ра, тео­рия чи­сел ста­ла са­мо­сто­ят. нау­кой. Ла­гранж дал (1769, опубл. в 1771) об­щее ре­ше­ние не­оп­ре­де­лён­ных урав­не­ний 2-й сте­пе­ни. Эй­лер ус­та­но­вил за­кон вза­им­но­сти для квад­ра­тич­ных вы­че­тов (1772, опубл. в 1783), он же ис­поль­зо­вал для изу­че­ния про­стых чи­сел дзе­та-функ­цию, чем по­ло­жил на­ча­ло ана­ли­тич. тео­рии чи­сел. При по­мо­щи раз­ло­же­ний в не­пре­рыв­ные дро­би Эй­лер до­ка­зал (1737, опубл. в 1744) ир­ра­цио­наль­ность чи­сел е и e2, а И. Лам­берт (1766, опубл. в 1768) – ир­ра­цио­наль­ность чис­ла π. В ал­геб­ре Г. Кра­мер (1750) ввёл для ре­ше­ния сис­тем ли­ней­ных урав­не­ний оп­ре­де­ли­те­ли. Эй­лер рас­смат­ри­вал как эм­пи­ри­че­ски ус­та­нов­лен­ный факт су­ще­ст­во­ва­ние у ка­ж­до­го ал­геб­ра­ич. урав­не­ния кор­ня ви­да , т. е. кор­ня, ко­то­рый яв­ля­ет­ся ком­плекс­ным чис­лом. Фор­му­ла А. Му­ав­ра, даю­щая спо­соб из­вле­че­ния кор­ней из ком­плекс­но­го чис­ла, и Эй­ле­ра фор­му­ла, свя­зы­ваю­щая по­ка­за­тель­ную и три­го­но­мет­рич. фор­мы за­пи­си ком­плекс­ных чи­сел, при­ве­ли к даль­ней­ше­му рас­ши­ре­нию при­ме­не­ний ком­плекс­ных чи­сел в ана­ли­зе. И. Нью­тон, Дж. Стир­линг, Л. Эй­лер и П. Ла­п­лас за­ло­жи­ли ос­но­вы ко­неч­ных раз­но­стей ис­чис­ле­ния. Б. Тей­лор (1715) и К. Мак­ло­рен (1742) опуб­ли­ко­ва­ли ра­бо­ты, в ко­то­рых со­дер­жат­ся фор­му­лы раз­ло­же­ния функ­ций в сте­пен­ные ря­ды. У ис­сле­до­ва­те­лей 18 в., осо­бен­но у Эй­ле­ра, ря­ды ста­ли од­ним из мощ­ных средств ана­ли­за. С ра­бот Ж. Д’Аламбера на­ча­лось сис­те­ма­тич. изу­че­ние ус­ло­вий схо­ди­мо­сти ря­дов. Эй­лер, Ла­гранж и Ле­жандр за­ло­жи­ли ос­но­вы ис­сле­до­ва­ния эл­лип­ти­че­ских ин­те­гра­лов. Боль­шое вни­ма­ние уде­ля­лось диф­фе­рен­ци­аль­ным урав­не­ни­ям, в ча­ст­но­сти Эй­лер пред­ло­жил ме­тод ре­ше­ния ли­ней­но­го диф­фе­рен­ци­аль­но­го урав­не­ния лю­бо­го по­ряд­ка с по­сто­ян­ны­ми ко­эф­фи­ци­ен­та­ми (1739, опубл. в 1743), Д’Аламбер рас­смат­ри­вал сис­те­мы диф­фе­рен­ци­аль­ных урав­не­ний, Ла­гранж и Ла­п­лас раз­ви­ва­ли об­щую тео­рию ли­ней­ных диф­фе­рен­ци­аль­ных урав­не­ний лю­бо­го по­ряд­ка. Л. Эй­лер, Г. Монж и Ж. Ла­гранж за­ло­жи­ли ос­но­вы об­щей тео­рии диф­фе­рен­ци­аль­ных урав­не­ний с ча­ст­ны­ми про­из­вод­ны­ми 1-го по­ряд­ка, а Эй­лер, Монж и Ла­п­лас – 2-го по­ряд­ка. Рас­смат­ри­ва­лись раз­ло­же­ния функ­ций в три­го­но­мет­рич. ря­ды, и в свя­зи с этой за­да­чей ме­ж­ду Л. Эй­ле­ром, Д. Бер­нулли, Ж. Д’Аламбером, Г. Мон­жем и Ж. Ла­гран­жем раз­вер­ну­лась по­ле­ми­ка по во­про­су о по­ня­тии функ­ции, под­го­то­вив­шая фун­дам. ре­зуль­та­ты 19 в. о со­от­но­ше­нии ме­ж­ду ана­ли­тич. вы­ра­же­ни­ем и про­из­воль­ным за­да­ни­ем функ­ции. В 18 в. зна­чит. раз­ви­тие в ра­бо­тах И. и Я. Бер­нул­ли, Ж. Ла­гран­жа, А. Ле­жан­д­ра, Г. В. Лейб­ни­ца и И. Нью­то­на по­лу­чи­ло ва­риа­ци­он­ное ис­чис­ле­ние. Ра­бо­ты Я. Бер­нул­ли и Му­ав­ра под­го­то­ви­ли на­ча­ло раз­ви­тия ве­ро­ят­но­стей тео­рии. В гео­мет­рии Эй­лер за­вер­шил по­строе­ние сис­те­мы эле­мен­тар­ной ана­ли­тич. гео­мет­рии. В ра­бо­тах Л. Эй­ле­ра, А. Кле­ро, Г. Мон­жа и Ж. Мёнье бы­ли за­ло­же­ны ос­но­вы диф­фе­рен­ци­аль­ной гео­мет­рии про­странств. кри­вых и по­верх­но­стей. Лам­берт раз­вил тео­рию пер­спек­ти­вы, а Монж при­дал окон­чат. фор­му на­чер­та­тель­ной гео­мет­рии. Д. Бер­нул­ли, Л. Эй­ле­ром, Ж. Д’Аламбером и Ж. Ла­гран­жем бы­ла соз­да­на гид­ро­ди­на­ми­ка не­сжи­мае­мой иде­аль­ной жид­ко­сти.

М. 18 в., ос­но­вы­ва­ясь на иде­ях 17 в., по раз­ма­ху ра­бо­ты да­ле­ко пре­взош­ла пре­ды­ду­щие ве­ка. Этот рас­цвет М. был свя­зан пре­им. с дея­тель­но­стью ака­де­мий; ун-ты иг­ра­ли мень­шую роль. В 18 в. од­ним из осн. цен­тров ма­те­ма­тич. ис­сле­до­ва­ний ста­ла Пе­терб. АН, где ра­бо­та­ли Л. Эй­лер и Д. Бер­нул­ли и по­сте­пен­но скла­ды­ва­лась рос. ма­те­ма­тич. шко­ла, раз­вер­нув­шая свои ис­сле­до­ва­ния в нач. 19 в.

Математика в 19 – нач. 20 вв.

В нач. 19 в. про­изош­ло но­вое зна­чит. рас­ши­ре­ние об­лас­ти при­ло­же­ний ма­те­ма­тич. ана­ли­за. Ес­ли до это­го вре­ме­ни осн. раз­де­ла­ми фи­зи­ки, тре­бо­вав­ши­ми раз­ви­то­го ма­те­ма­тич. ап­па­ра­та, бы­ли ме­ха­ни­ка и оп­ти­ка, то те­перь к ним при­сое­ди­ни­лись элек­тро­ди­на­ми­ка, тео­рия маг­не­тиз­ма и тер­мо­ди­на­ми­ка. По­лу­чи­ли ши­ро­кое раз­ви­тие важ­ней­шие раз­де­лы ме­ха­ни­ки не­пре­рыв­ных сред. Бы­ст­ро рос­ли ма­те­ма­тич. за­про­сы тех­ни­ки. В нач. 19 в. это бы­ли во­про­сы тер­мо­ди­на­ми­ки па­ро­вых ма­шин, тех­нич. ме­ха­ни­ки, бал­ли­сти­ки. В ка­че­ст­ве осн. ап­па­ра­та но­вых об­лас­тей ме­ха­ни­ки и ма­те­ма­ти­че­ской фи­зики уси­лен­но раз­ра­ба­ты­ва­лась тео­рия диф­фе­рен­ци­аль­ных урав­не­ний с ча­ст­ны­ми про­из­вод­ны­ми и тео­рия по­тен­циа­ла. В этом на­прав­ле­нии ра­бо­та­ло боль­шин­ст­во круп­ных ма­те­ма­ти­ков нач. и сер. 19 в. – К. Га­усс, Ж. Фу­рье, С. Пу­ас­сон, О. Ко­ши, П. Ди­рих­ле, Дж. Грин, М. В. Ост­ро­град­ский. Ост­ро­град­ский за­ло­жил так­же ос­но­вы ва­риа­ци­он­но­го ис­чис­ле­ния функ­ций не­сколь­ких пе­ре­мен­ных, на­шёл (1826, опубл. в 1831) фор­му­лу пре­об­ра­зо­ва­ния трой­ных ин­те­гра­лов в двой­ные и её n-мер­ное обоб­ще­ние (1834, опубл. в 1838). В ре­зуль­та­те ис­сле­до­ваний по урав­не­ни­ям ма­те­ма­тич. фи­зи­ки и по ал­геб­ре воз­ник век­тор­ный ана­лиз (Дж. Стокс и др. англ. ма­те­ма­ти­ки).

На­ря­ду с раз­ви­ти­ем ра­бот, воз­ник­ших из но­вых за­про­сов ес­те­ст­во­зна­ния и тех­ни­ки, вни­ма­ние ма­те­ма­ти­ков с нач. 19 в. при­вле­ка­ли во­про­сы стро­го­го обос­но­ва­ния ана­ли­за. Од­ним из пер­вых при­сту­пил к ис­сле­до­ва­нию в этом на­прав­ле­нии Б. Боль­ца­но, до­ка­зав­ший (1817) тео­ре­му о про­ме­жу­точ­ных зна­че­ни­ях не­пре­рыв­ной функ­ции; при этом он впер­вые дал совр. оп­ре­де­ле­ние не­пре­рыв­ной функ­ции и до­ка­зал т. н. тео­ре­му Боль­ца­но – Вей­ер­шт­рас­са о су­ще­ст­во­ва­нии хо­тя бы од­ной пре­дель­ной точ­ки у вся­ко­го бес­ко­неч­но­го ог­ра­ни­чен­но­го мно­же­ст­ва. О. Ко­ши (1821, 1823), Н. И. Ло­ба­чев­ский (1834) и, позд­нее, П. Ди­рих­ле (1837) от­чёт­ли­во сфор­му­ли­ро­ва­ли оп­ре­де­ле­ние функ­ции как со­вер­шен­но про­из­воль­но­го со­от­вет­ст­вия. На ос­но­ве чёт­ко­го по­ни­ма­ния при­ро­ды ком­плекс­ных чи­сел воз­ник­ла тео­рия функ­ций ком­плекс­но­го пе­ре­мен­но­го (см. Ана­ли­ти­че­ская функ­ция). Об­щие ос­но­вы тео­рии бы­ли за­ло­же­ны Ко­ши. В от­ли­чие от чис­то ал­го­рит­мич. под­хо­да 18 в., на этом эта­пе вни­ма­ние бы­ло со­сре­до­то­че­но на вы­яс­не­нии свое­об­ра­зия по­ве­де­ния функ­ций в ком­плекс­ной об­лас­ти и на осн. гео­мет­рич. за­ко­но­мер­но­стях (напр., о за­ви­си­мо­сти ра­диу­са схо­ди­мо­сти ря­да Тей­ло­ра от рас­по­ло­же­ния осо­бых то­чек, ус­та­нов­лен­ной Ко­ши). Про­дол­же­ни­ем этих ис­сле­до­ва­ний ста­ли ре­зуль­та­ты Б. Ри­ма­на в сер. 19 в.: ока­за­лось, что ес­теств. гео­мет­рич. но­си­те­лем ана­ли­тич. функ­ции в слу­чае её мно­го­знач­но­сти яв­ля­ет­ся не плос­кость ком­плекс­но­го пе­ре­мен­но­го, а ри­ма­но­ва по­верх­ность, со­от­вет­ст­вую­щая дан­ной функ­ции. К. Вей­ер­шт­расс дос­тиг той же общ­но­сти, что и Ри­ман, ос­та­ва­ясь в рам­ках чис­то­го ана­ли­за. Од­на­ко гео­мет­рич. идеи Ри­ма­на ста­ли в даль­ней­шем оп­ре­де­лять стиль мыш­ле­ния в об­лас­ти тео­рии функ­ций ком­плекс­но­го пе­ре­мен­но­го. Н. Абель и К. Яко­би раз­ви­ва­ли тео­рию эл­лип­тич. функ­ций, по­лу­чив­шую совр. вид в ра­бо­тах Вей­ер­шт­рас­са. Со­хра­нял­ся ин­те­рес к во­про­сам тео­рии функ­ций в дей­ст­ви­тель­ной об­лас­ти. Это при­ве­ло, в ча­ст­но­сти, П. Л. Че­бы­ше­ва, ис­хо­див­ше­го из за­про­сов тео­рии ме­ха­низ­мов, к по­ста­нов­ке за­дач тео­рии наи­луч­ших при­бли­же­ний.

В нач. 19 в. в ал­геб­ре бы­ла до­ка­за­на не­раз­ре­ши­мость в ра­ди­ка­лах об­ще­го урав­не­ния 5-й сте­пе­ни (П. Руф­фи­ни, Н. Абель). Э. Га­луа по­ка­зал, что во­прос о раз­ре­ши­мо­сти урав­не­ний в ра­ди­ка­лах за­ви­сит от свойств свя­зан­ной с урав­не­ни­ем груп­пы Га­луа (см. Га­луа тео­рия). За­да­ча об­ще­го аб­ст­ракт­но­го изу­че­ния групп бы­ла по­став­ле­на А. Кэ­ли, хо­тя все­об­щее при­зна­ние зна­че­ния тео­рии групп про­изош­ло толь­ко по­сле ра­бот М. Э. К. Жор­да­на в 1870-х гг. От ра­бот Га­луа и Абе­ля бе­рёт на­ча­ло так­же по­ня­тие по­ля ал­геб­ра­ич. чи­сел, при­вед­шее к соз­да­нию но­во­го раз­де­ла ал­геб­ры – ал­геб­ра­ич. тео­рии чи­сел. В 19 в. про­дол­жа­лась раз­ра­бот­ка за­дач тео­рии чи­сел, свя­зан­ных с про­стей­ши­ми свой­ст­ва­ми на­ту­раль­ных чи­сел. К. Га­усс раз­ра­бо­тал (1801) тео­рию пред­ста­ви­мо­сти чи­сел квад­ра­тич­ны­ми фор­ма­ми, П. Л. Че­бы­шев по­лу­чил (1848, 1850) осн. ре­зуль­та­ты о за­ко­не рас­по­ло­же­ния про­стых чи­сел в на­ту­раль­ном ря­де. П. Ди­рих­ле ус­та­но­вил бес­ко­неч­ность мно­же­ст­ва про­стых чи­сел в ариф­ме­тич. про­грес­си­ях (1837).

Для вы­ра­бот­ки но­вых взгля­дов на пред­мет гео­мет­рии клю­че­вым ока­за­лось соз­да­ние Н. И. Ло­ба­чев­ским не­евк­ли­до­вой гео­мет­рии (см. Ло­ба­чев­ско­го гео­мет­рия). К. Га­ус­сом (1827) и К. М. Пе­тер­со­ном (1853) раз­ра­ба­ты­ва­лась диф­фе­рен­ци­аль­ная гео­мет­рия по­верх­но­стей. Па­рал­лель­но раз­ви­ва­лась, дол­гое вре­мя – не­за­ви­си­мо от не­евк­ли­до­вой гео­мет­рии, про­ек­тив­ная гео­мет­рия (Ж. Пон­се­ле, нем. учё­ные Я. Штей­нер, К. Шта­удт), так­же свя­зан­ная с су­ще­ст­вен­ным из­ме­не­ни­ем ста­рых взгля­дов на про­стран­ст­во. Нем. ма­те­ма­тик Ю. Плюк­кер по­стро­ил гео­мет­рию, рас­смат­ри­вая в ка­че­ст­ве осн. эле­мен­тов пря­мые, Г. Грасс­ман соз­дал аф­фин­ную и мет­рич. гео­мет­рию $n$-мер­но­го век­тор­но­го про­стран­ст­ва. Б. Ри­ман пред­ло­жил (1854, опубл. в 1866) кон­цеп­цию $n$-мер­но­го мно­го­об­ра­зия с мет­рич. гео­мет­ри­ей, оп­ре­де­ляе­мой диф­фе­рен­ци­аль­ной квад­ра­тич­ной фор­мой. Этим бы­ло по­ло­же­но на­ча­ло об­щей диф­фе­рен­ци­аль­ной гео­мет­рии $n$-мер­ных мно­го­об­ра­зий (см. Ри­ма­но­ва гео­мет­рия).

Связь М. с ес­те­ст­во­зна­ни­ем в 19 в. при­об­ре­ла бо­лее слож­ные фор­мы. Но­вые ма­те­ма­тич. тео­рии ста­ли воз­ни­кать не толь­ко в ре­зуль­та­те не­по­средств. за­про­сов ес­те­ст­во­зна­ния или тех­ни­ки, но так­же из внутр. по­треб­но­стей са­мой М. Та­ко­вым в осн. бы­ло раз­ви­тие тео­рии функ­ций ком­плекс­но­го пе­ре­мен­но­го, за­няв­шей в нач. и сер. 19 в. центр. по­ло­же­ние во всём ма­те­ма­тич. ана­ли­зе. Др. при­ме­ром тео­рии, воз­ник­шей в ре­зуль­та­те внут­рен­не­го раз­ви­тия са­мой М., яви­лась «во­об­ра­жае­мая гео­мет­рия» Н. И. Ло­ба­чев­ско­го. Имен­но на при­ме­ре этой гео­мет­рии бы­ла по­ко­леб­ле­на ве­ра в не­зыбле­мость ос­вя­щён­ных ты­ся­че­лет­ним раз­ви­ти­ем М. ак­си­ом, по­ня­та воз­мож­ность соз­да­ния но­вых ма­те­ма­тич. тео­рий с по­мо­щью от­ка­за от на­ла­гав­ших­ся ра­нее ог­ра­ни­че­ний, не имею­щих внутр. ло­гич. не­об­хо­ди­мо­сти, и бы­ло об­на­ру­же­но, что по­доб­ная аб­ст­ракт­ная тео­рия мо­жет по­лу­чить со вре­ме­нем кон­крет­ные при­ме­не­ния.

Чрез­вы­чай­ное рас­ши­ре­ние пред­ме­та М. при­влек­ло в 19 в. вни­ма­ние к во­про­сам её обос­но­ва­ния, т. е. кри­тич. пе­ре­смот­ру её ис­ход­ных по­ло­же­ний (ак­си­ом), по­строе­нию стро­гой сис­те­мы оп­ре­де­ле­ний и до­ка­за­тельств, а так­же кри­тич. рас­смот­ре­нию ло­гич. приё­мов, упот­реб­ляе­мых при до­ка­за­тель­ст­вах. Ра­бо­ты по стро­го­му обос­но­ва­нию тех или иных раз­де­лов М. за­ни­ма­ли зна­чит. ме­сто в М. 19–20 вв. В при­ме­не­нии к ос­но­вам ана­ли­за (тео­рия дей­ст­ви­тель­ных чи­сел, тео­рия пре­де­лов и стро­гое обос­но­ва­ние всех приё­мов диф­фе­рен­ци­аль­но­го и ин­те­граль­но­го ис­чис­ле­ния) ре­зуль­та­ты этой ра­бо­ты с боль­шей или мень­шей пол­но­той из­ла­га­ют­ся ны­не в боль­шин­ст­ве учеб­ни­ков. Од­на­ко до по­след­не­го вре­ме­ни встре­ча­ют­ся слу­чаи, ко­гда стро­гое обос­но­ва­ние воз­ник­шей из прак­тич. по­треб­но­стей ма­те­ма­тич. тео­рии за­паз­ды­ва­ет. Так в те­че­ние дол­го­го вре­ме­ни бы­ло с опе­ра­ци­он­ным ис­чис­ле­ни­ем. С боль­шим за­по­зда­ни­ем бы­ла ло­ги­че­ски безу­преч­но по­строе­на ма­те­ма­тич. тео­рия ве­ро­ят­но­стей. Стан­дарт тре­бо­ва­ний к ло­гич. стро­го­сти, предъ­яв­ляе­мых к прак­тич. ра­бо­те ма­те­ма­ти­ков над раз­ви­ти­ем отд. ма­те­ма­тич. тео­рий, сло­жил­ся толь­ко к кон. 19 в. Глу­бо­кий и тща­тель­ный ана­лиз тре­бо­ва­ний к ло­гич. стро­го­сти до­ка­за­тельств, строе­ния ма­те­ма­тич. тео­рий, во­про­сов ал­го­рит­мич. раз­ре­ши­мо­сти и не­раз­ре­ши­мо­сти ма­те­ма­тич. про­блем со­став­ля­ет пред­мет ма­те­ма­ти­че­ской ло­ги­ки. Её ос­но­вы за­ло­же­ны в 19 в. Дж. Бу­лем, Дж. Пеа­но, П. С. По­рец­ким, Г. Фре­ге, нем. ма­те­ма­ти­ком Э. Шрёде­ром и др. В нач. 20 в. в этой об­лас­ти по­лу­че­ны важ­ные ре­зуль­та­ты (тео­рия до­ка­за­тельств Гиль­бер­та; ин­туи­цио­ни­ст­ская ло­ги­ка, соз­дан­ная Л. Брау­эром и его по­сле­до­ва­те­ля­ми).

В по­след­ней тре­ти 19 в. ра­бо­ты по обос­но­ва­нию ана­ли­за по­лу­чи­ли не­об­хо­ди­мый фун­да­мент в ви­де стро­гой тео­рии дей­ст­ви­тель­ных чи­сел (Р. Де­де­кинд, Г. Кан­тор и К. Вей­ер­шт­расс). В 1879–84 бы­ли опуб­ли­ко­ва­ны осн. ра­бо­ты Кан­то­ра по об­щей тео­рии бес­ко­неч­ных мно­жеств. Толь­ко по­сле это­го мог­ли быть сфор­мули­ро­ва­ны совр. об­щие пред­став­ле­ния о пред­ме­те М., строе­нии ма­те­ма­тич. тео­рии, ро­ли ак­сио­ма­ти­ки и т. д. Их ши­ро­кое рас­про­стра­не­ние по­тре­бо­ва­ло ещё неск. де­ся­ти­ле­тий (об­щее при­зна­ние совр. кон­цеп­ции строе­ния гео­мет­рии обыч­но свя­зы­ва­ет­ся с вы­хо­дом в свет в 1899 рабо­ты Д. Гиль­бер­та «Ос­но­ва­ния гео­мет­рии»).

Боль­шое чис­ло за­дач, вы­дви­гае­мых пе­ред М. ес­те­ст­во­зна­ни­ем и тех­ни­кой, сво­дит­ся к ре­ше­нию диф­фе­рен­ци­аль­ных урав­не­ний, как обык­но­вен­ных, так и с част­ны­ми про­из­вод­ны­ми. По­это­му все на­прав­ле­ния ис­сле­до­ва­ний диф­фе­рен­ци­аль­ных урав­не­ний ин­тен­сив­но раз­ви­ва­лись. Для ре­ше­ния слож­ных ли­ней­ных сис­тем бы­ли соз­да­ны ме­то­ды опе­ра­ци­он­но­го ис­чис­ле­ния. При ис­сле­до­ва­нии не­ли­ней­ных сис­тем с ма­лой не­ли­ней­ностью ши­ро­ко при­ме­нял­ся ме­тод раз­ло­же­ния по па­ра­мет­ру. Раз­ра­ба­ты­ва­лась ана­ли­тич. тео­рия обык­но­вен­ных диф­фе­рен­ци­аль­ных урав­не­ний (А. Пу­ан­ка­ре и др.). Од­на­ко наи­боль­шее вни­ма­ние в об­лас­ти тео­рии обык­но­вен­ных диф­фе­рен­ци­аль­ных урав­не­ний с кон. 19 в. ста­ли при­вле­кать во­про­сы ка­чественного ис­сле­до­ва­ния их ре­ше­ний: клас­си­фи­ка­ция осо­бых то­чек (Пу­ан­ка­ре и др.) и во­про­сы ус­той­чи­во­сти, изу­чен­ные А. М. Ля­пу­но­вым.

Ка­че­ст­вен­ная тео­рия диф­фе­рен­ци­аль­ных урав­не­ний ста­ла для А. Пу­ан­ка­ре ос­но­вой, на ко­то­рой он про­дол­жил на­ме­чен­ные Б. Ри­ма­ном ис­сле­до­ва­ния по то­по­ло­гии мно­го­об­ра­зий, осо­бен­но в на­прав­ле­нии изу­че­ния не­под­виж­ных то­чек их не­пре­рыв­ных ото­бра­же­ний на са­мих се­бя. Здесь по­лу­чи­ли на­ча­ло ком­би­на­тор­ные, го­мо­ло­ги­че­ские и го­мо­то­пи­че­ские ме­тоды совр. то­по­ло­гии. Др. на­прав­ле­ние в то­по­ло­гии воз­ник­ло из тео­рии мно­жеств и функ­цио­наль­но­го ана­ли­за и при­ве­ло к по­строе­нию тео­рии об­щих то­по­ло­гич. про­странств.

В тео­рии диф­фе­рен­ци­аль­ных урав­не­ний с ча­ст­ны­ми про­из­вод­ны­ми осн. вни­ма­ние уде­ля­лось крае­вым за­да­чам при от­ка­зе от ана­ли­тич. крае­вых ус­ло­вий. Ана­ли­тич. тео­рия, раз­ви­вав­шая­ся О. Ко­ши, К. Вей­ер­шт­рас­сом и С. В. Ко­ва­лев­ской, не по­те­ря­ла сво­его зна­че­ния, но об­на­ру­жи­лось, что при ре­ше­нии крае­вых за­дач она не га­ран­ти­ру­ет кор­рект­но­сти, т. е. воз­мож­но­сти най­ти при­бли­жён­ное ре­ше­ние, зная гра­нич­ные ус­ло­вия лишь при­бли­жён­но, в то вре­мя как без этой воз­мож­но­сти тео­ре­тич. ре­ше­ние не име­ет прак­тич. цен­но­сти. С этим свя­за­но пре­вра­ще­ние тео­рии диф­фе­рен­ци­аль­ных урав­не­ний с ча­ст­ны­ми про­из­вод­ны­ми гл. обр. в тео­рию ма­те­ма­ти­че­ской фи­зи­ки урав­не­ний. Ра­бо­ты по отд. ти­пам урав­не­ний ма­те­ма­тич. фи­зи­ки со­став­ля­ют зна­чит. часть М. Урав­не­ния­ми ма­те­ма­тич. фи­зи­ки за­ни­ма­лись А. Пу­ан­ка­ре, Ж. Ада­мар, Дж. Рэ­лей, У. Том­сон, К. Ней­ман, Д. Гиль­берт, а в Рос­сии А. М. Ля­пу­нов, В. А. Стек­лов и др.

В кон. 19 – нач. 20 вв. Э. Кум­мер, Л. Кро­не­кер, Р. Де­де­кинд, Е. И. Зо­ло­та­рёв и Д. Гиль­берт за­ло­жи­ли ос­но­вы совр. ал­геб­ра­ич. тео­рии чи­сел. Ж. Ада­мар (1896) и Ш. Ла Вал­ле Пус­сен (1896) про­дол­жи­ли ис­сле­до­ва­ния П. Л. Че­бы­ше­ва о рас­по­ло­же­нии про­стых чи­сел в на­ту­раль­ном ря­де. Г. Мин­ков­ский ввёл в тео­ре­ти­ко-чи­сло­вые ис­сле­до­ва­ния гео­мет­рич. ме­то­ды. В Рос­сии тео­рия чи­сел раз­ви­ва­лась в ра­бо­тах А. Н. Кор­ки­на, Г. Ф. Во­ро­но­го и А. А. Мар­ко­ва.

В ал­геб­ре раз­ви­ва­лись ис­сле­до­ва­ния по тео­рии групп, по­лей, ко­лец и т. д. Мно­гие из этих раз­де­лов ал­геб­ры по­лу­чи­ли при­ме­не­ния в ес­те­ст­во­зна­нии, в ча­ст­но­сти, тео­рия групп – в кри­стал­ло­гра­фии и в во­про­сах кван­то­вой фи­зи­ки. На гра­ни­це ме­ж­ду ал­геб­рой и гео­мет­ри­ей С. Ли раз­ви­вал (с 1873) тео­рию не­пре­рыв­ных групп, ме­то­ды ко­то­рой позд­нее про­ник­ли в разл. раз­де­лы М. и ес­те­ст­во­зна­ния.

Осн. раз­де­ла­ми гео­мет­рии, при­вле­кав­ши­ми вни­ма­ние мн. вы­даю­щих­ся учё­ных, ста­ли диф­фе­рен­ци­аль­ная и ал­геб­раи­че­ская гео­мет­рия. Диф­фе­рен­ци­аль­ная гео­мет­рия евк­ли­до­ва трёх­мер­но­го про­стран­ст­ва по­лу­чи­ла сис­те­ма­тич. раз­ви­тие в ра­бо­тах Э. Бельт­ра­ми, Г. Дар­бу и др. Раз­ви­ва­лась диф­фе­рен­ци­аль­ная гео­мет­рия разл. групп пре­об­ра­зо­ва­ний (бо­лее ши­ро­ких, чем груп­па евк­ли­до­вых дви­же­ний) и осо­бен­но диф­фе­рен­ци­аль­ная гео­мет­рия мно­го­мер­ных про­странств. Это на­прав­ле­ние гео­мет­рич. ис­сле­до­ва­ний раз­ра­ба­ты­ва­лось Т. Ле­ви-Чи­ви­той, Э. Кар­та­ном и Г. Вей­лем и свя­за­но с воз­ник­но­ве­ни­ем от­но­си­тель­но­сти тео­рии.

В кон. 19 в. ин­тен­сив­но раз­ви­ва­лась тео­рия ана­ли­ти­ч. функ­ций, как в со­от­вет­ст­вии со свои­ми внутр. по­треб­но­стя­ми, так и из-за её свя­зей с др. раз­де­ла­ми ана­ли­за и не­по­сред­ст­вен­но с ес­те­ст­во­зна­ни­ем. Осо­бен­но су­ще­ст­вен­ным бы­ло вы­яс­не­ние ро­ли кон­форм­ных ото­бра­же­ний при ре­ше­нии крае­вых за­дач для урав­не­ний с ча­ст­ны­ми про­из­вод­ны­ми, напр., при изу­че­нии пло­ских те­че­ний иде­аль­ной жид­ко­сти и в за­да­чах тео­рии уп­ру­го­сти, а так­же в аэ­ро­ме­ха­ни­ке (Н. Е. Жу­ков­ский, С. А. Ча­п­лы­гин).

Ф. Клейн и А. Пу­ан­ка­ре соз­да­ли тео­рию ав­то­морф­ных функ­ций, в ко­то­рой на­шла при­ме­не­ние гео­мет­рия Ло­ба­чев­ско­го. Э. Пи­кар, А. Пу­ан­ка­ре, Ж. Ада­мар, Э. Бо­рель раз­ра­бо­та­ли тео­рию це­лых функ­ций. Гео­мет­рич. тео­рию функ­ций и тео­рию ри­ма­но­вых по­верх­но­стей раз­ви­ва­ли Пу­ан­ка­ре, Д. Гиль­берт и др.

При изу­че­нии при­ро­ды и ре­ше­нии тех­нич. за­дач боль­шую роль иг­ра­ют ме­то­ды тео­рии ве­ро­ят­но­стей. В кон. 19 – нач. 20 вв. тео­рия ве­ро­ят­но­стей по­лу­чи­ла мно­го но­вых при­ме­не­ний бла­го­да­ря раз­ви­тию ста­ти­стич. фи­зи­ки и ме­ха­ни­ки и раз­ра­бот­ке ап­па­ра­та ма­те­ма­ти­че­ской ста­ти­сти­ки. Наи­бо­лее глу­бо­кие тео­ре­тич. ис­сле­до­ва­ния по об­щим во­про­сам тео­рии ве­ро­ят­но­стей в кон. 19 – нач. 20 вв. раз­ра­ба­ты­ва­лись рос. учё­ны­ми пе­терб. шко­лы (П. Л. Че­бы­шев, А. А. Мар­ков, А. М. Ля­пу­нов). Эти ис­сле­до­ва­ния бы­ли со­сре­до­то­че­ны во­круг во­про­са об ус­ло­ви­ях при­ме­ни­мо­сти цен­траль­ной пре­дель­ной тео­ре­мы.

В кон. 19 – нач. 20 вв. чис­лен­ные ме­то­ды ана­ли­за ста­ли са­мо­сто­ят. вет­вью М. При этом боль­шое вни­ма­ние уде­ля­лось ме­то­дам чис­лен­но­го ин­тег­ри­ро­ва­ния диф­фе­рен­ци­аль­ных урав­не­ний (ме­то­ды Адам­са, Штёр­ме­ра, Рун­ге и др.) и квад­ра­тур­ным фор­му­лам (П. Л. Че­бы­шев, А. А. Мар­ков, В. А. Стек­лов).

Современная математика

Су­ще­ст­вен­ное влия­ние на раз­ви­тие ма­те­ма­ти­ки 20 в. ока­за­ло ре­ше­ние за­дач, сфор­му­ли­ро­ван­ных Д. Гиль­бер­том в 1900 (см. Гиль­бер­та про­бле­мы).

Тео­рия чи­сел, пред­став­ляв­шая со­бой со­б­ра­ние отд. ре­зуль­та­тов и идей, в 20 в. раз­ви­ва­лась в разл. на­прав­ле­ни­ях как строй­ная тео­рия, вклю­чав­шая ал­геб­ра­ич. тео­рию чи­сел, ана­ли­тич. тео­рию чи­сел, Дио­фан­то­вы урав­не­ния. Осн. ре­зуль­та­ты бы­ли по­лу­че­ны И. М. Ви­но­гра­до­вым, А. О. Гель­фон­дом, Ю. В. Лин­ни­ком, К. К. Мард­жа­ни­шви­ли, А. Вей­лем, Дж. Лит­лву­дом, С. Ра­ма­ну­джа­ном, Г. Хар­ди, нем. ма­те­ма­ти­ком Х. Хас­се. Англ. ма­те­ма­тик Э. Дж. Уайлс в 1993 до­ка­зал Фер­ма Ве­ли­кую тео­ре­му.

В ал­геб­ре зна­чит. ре­зуль­та­ты по­лу­чи­ли Б. Н. Де­ло­не, Ю. Л. Ер­шов, А. И. Ко­ст­ри­кин, А. И. Маль­цев, А. Н. Пар­шин, И. Р. Ша­фа­ре­вич, Д. К. Фад­де­ев, нем. ма­те­ма­тик Э. Ар­тин, Б. Ван дер Вар­ден, Э. Нё­тер. Боль­шой вклад в тео­рию не­пре­рыв­ных групп вне­сли Л. С. Пон­тря­гин и Ф. Ха­ус­дорф. Ряд за­дач в об­лас­ти ал­геб­ры с по­мо­щью ме­то­дов ма­те­ма­тич. ло­ги­ки бы­ли ре­ше­ны С. И. Адя­ном, П. С. Но­ви­ко­вым и А. И. Маль­це­вым. В об­лас­ти ма­те­ма­тич. ло­ги­ки су­ще­ст­вен­ные ре­зуль­та­ты по­лу­че­ны С. И. Адя­ном, Ю. Л. Ер­шо­вым, О. Б. Лу­па­но­вым, А. А. Ля­пу­но­вым, Ю. В. Ма­тия­се­ви­чем, С. В. Яб­лон­ским, К. Гё­де­лем, П. Ко­эном, А. Тью­рин­гом и А. Чёр­чем.

Для раз­ви­тия гео­мет­рии важ­ное зна­че­ние име­ли ра­бо­ты А. Д. Алек­сан­д­ро­ва, Н. В. Ефи­мо­ва, А. В. По­го­ре­ло­ва и Ю. Г. Ре­шет­ня­ка. Осн. раз­де­ла­ми гео­мет­рии, где со­сре­до­то­чи­лись наи­бо­лее зна­чит. си­лы, ста­ли диф­фе­рен­ци­аль­ная гео­мет­рия, ал­геб­раи­ч. гео­мет­рия, ри­ма­но­ва гео­мет­рия. Л. А. Люс­тер­ник и Л. Г. Шни­рель­ман да­ли ре­ше­ние про­бле­мы Пу­ан­ка­ре о су­ще­ст­во­ва­нии трёх замк­ну­тых не­са­мо­пе­ре­се­каю­щих­ся гео­де­зи­че­ских на ри­ма­но­вом мно­го­об­ра­зии, го­мо­морф­ном сфе­ре. С. П. Но­ви­ков до­ка­зал то­по­ло­гич. ин­ва­ри­ант­ность т. н. ра­цио­наль­ных клас­сов Пон­тря­ги­на. Важ­ный вклад в ал­геб­ра­ич. гео­мет­рию вне­с­ли М. Атья, Ж. П. Серр, Х. Хи­ро­на­ка, Ф. Хир­цеб­рух. Раз­ви­тие то­по­ло­гии свя­за­но с ра­бо­та­ми П. С. Алек­сан­д­ро­ва, Л. В. Кел­ды­ш, С. П. Но­ви­ко­ва, А. Н. Ти­хо­но­ва, П. С. Уры­со­на, А. Т. Фо­мен­ко, брит. ма­те­ма­тика Ф. Адамса, Л. Брау­эра, франц. ма­те­ма­ти­ка А. Гро­тен­ди­ка, К. Ку­ра­тов­ского, С. Леф­ше­ца, Х. Уит­ни, Ф. Ха­ус­дор­фа, Х. Хоп­фа. В раз­ви­тие ал­геб­ра­ич. и диф­фе­рен­ци­аль­ной то­по­ло­гии боль­шой вклад внёс Дж. Мил­нор.

В об­лас­ти обык­но­вен­ных диф­фе­рен­ци­аль­ных урав­не­ний важ­ные ре­зуль­та­ты по­лу­че­ны Д. В. Ано­со­вым, В. И. Ар­ноль­дом, А. А. Бо­либ­ру­хом, А. М. Иль­и­ным, В. А. Иль­и­ным, А. Б. Кур­жан­ским, Е. Ф. Ми­щен­ко, Ю. С. Оси­по­вым, И. Г. Пет­ров­ским, Л. С. Пон­тря­ги­ным, А. И. Суб­бо­ти­ным. Во­про­сы наи­луч­ше­го (в том или ином смыс­ле) управ­ле­ния сис­те­мами, опи­сы­вае­мы­ми диф­фе­рен­ци­аль­ны­ми урав­не­ния­ми, при­ве­ли к соз­да­нию ма­тема­тич. тео­рии оп­ти­маль­но­го управ­ления. Пон­тря­гин яв­ля­ет­ся соз­да­те­лем тео­рии оп­ти­маль­ных про­цес­сов, в ос­но­ве ко­то­рой ле­жит Пон­тря­ги­на прин­цип мак­си­му­ма. Боль­шой вклад в тео­рию оп­ти­маль­но­го управ­ле­ния вне­сли Р. В. Гам­кре­лид­зе, Н. Н. Кра­сов­ский, А. В. Кря­жим­ский, Е. Ф. Ми­щен­ко, Ю. С. Оси­пов и Ч. Олех. Кра­сов­ский ис­сле­до­вал во­про­сы, свя­зан­ные с ус­той­чи­во­стью ре­ше­ний диф­фе­рен­ци­аль­ных урав­не­ний.

Тео­рия диф­фе­рен­ци­аль­ных урав­не­ний с ча­ст­ны­ми про­из­вод­ны­ми раз­ви­ва­лась в ра­бо­тах А. В. Би­цад­зе, И. Н. Ве­куа, Л. Д. Куд­ряв­це­ва, М. А. Лав­рен­ть­е­ва, О. А. Ла­ды­жен­ской, В. А. Мар­чен­ко, В. П. Мас­ло­ва, Н. И. Мус­хе­ли­шви­ли, О. А. Олей­ник, И. Г. Пет­ров­ско­го, С. Л. Со­бо­ле­ва, В. И. Смир­но­ва, Ж. Ле­ре, амер. ма­те­ма­ти­ка Л. Ни­рен­бер­га, швед. ма­те­ма­ти­ка Л. Хёр­ман­де­ра, Л. Швар­ца. Зна­чит. ра­бо­ты в об­лас­ти ма­те­ма­тич. фи­зи­ки при­над­ле­жат Н. Н. Бо­го­лю­бо­ву, В. С. Вла­ди­ми­ро­ву, В. А. Стек­ло­ву, Л. Д. Фад­дее­ву, Р. Ку­ран­ту.

В ре­зуль­та­те сис­те­ма­тич. по­строе­ния ма­те­ма­тич. ана­ли­за на ос­но­ве стро­гой тео­рии дей­ст­ви­тель­ных чи­сел и тео­рии мно­жеств воз­ник но­вый раз­дел М. – тео­рия функ­ций дей­ст­ви­тель­но­го пе­ре­мен­но­го. Ис­сле­до­ва­ния по этой тео­рии при­ве­ли к об­щим оп­ре­де­ле­ни­ям по­ня­тий ме­ры мно­же­ст­ва, из­ме­ри­мых функ­ций и ин­те­гра­ла, иг­раю­щих важ­ную роль в совр. М. Ос­но­вы совр. тео­рии функ­ций дей­ст­ви­тель­но­го пе­ре­мен­но­го за­ло­жи­ли в кон. 19 – нач. 20 вв. ма­те­ма­ти­ки франц. шко­лы (М. Э. К. Жор­дан, Э. Бо­рель, А. Ле­бег, Р. Бэр), позд­нее ве­ду­щая роль пе­ре­шла к рос. шко­ле. Тео­рия функ­ций дей­ст­ви­тель­но­го пе­ре­мен­но­го со­сто­ит в осн. из мет­рич. тео­рии функ­ций и тео­рии при­бли­же­ния функ­ций. В мет­рич. тео­рии функ­ций изу­ча­ют­ся свой­ст­ва функ­ций на ос­но­ве по­ня­тия ме­ры. Боль­шой вклад в её раз­ви­тие вне­сён ос­но­ва­те­ля­ми моск. ма­те­ма­тич. шко­лы Д. Ф. Его­ро­вым, Н. Н. Лу­зи­ным и уче­ни­ка­ми Лу­зи­на Н. К. Ба­ри, А. Н. Кол­мо­го­ро­вым, Д. Е. Мень­шо­вым, М. Я. Сус­ли­ным, А. Я. Хин­чи­ным. Тео­рия при­бли­же­ния функ­ций бе­рёт на­ча­ло в ра­бо­те П. Л. Че­быше­ва 1859. Он ввёл од­но из осн. по­ня­тий этой тео­рии – по­ня­тие наи­луч­ше­го при­бли­же­ния не­пре­рыв­ной функ­ции по­ли­но­ма­ми. Зна­чит. вклад в тео­рии при­бли­же­ний при­над­ле­жит Н. К. Ба­ри, С. Н. Берн­штей­ну, А. Н. Кол­мо­го­ро­ву, С. М. Ни­коль­ско­му, П. Л. Уль­я­но­ву и С. Б. Стеч­ки­ну. На­ря­ду с при­бли­же­ния­ми функ­ций изу­ча­лись раз­ло­же­ния функ­ций в ря­ды, в ча­ст­но­сти в ря­ды по ор­того­наль­ным сис­те­мам функ­ций. Эти раз­ло­же­ния рас­смат­ри­ва­лись Н. К. Ба­ри, А. Н. Кол­мо­го­ро­вым, Д. Е. Мень­шо­вым, В. А. Стек­ло­вым, нем. ма­те­ма­ти­ком С. Бох­не­ром.

Тео­рия функ­ций дей­ст­ви­тель­но­го пе­ре­мен­но­го ока­за­ла боль­шое влия­ние на раз­ви­тие мн. дру­гих раз­де­лов М. Раз­ра­бо­тан­ные в ней ме­то­ды ис­поль­зо­ва­лись при по­строе­нии ос­нов функ­цио­наль­но­го ана­ли­за. Ес­ли в от­но­ше­нии ме­то­дов функ­цио­наль­ный ана­лиз раз­ви­вал­ся под влия­ни­ем тео­рии функ­ций дей­ст­ви­тель­но­го пе­ре­мен­но­го и тео­рии мно­жеств, то по сво­ему со­дер­жа­нию и ха­рак­те­ру ре­шае­мых в нём за­дач он при­мы­ка­ет не­по­сред­ст­вен­но к клас­сич. ана­ли­зу и ма­те­ма­тич. фи­зи­ке, ста­но­вясь осо­бен­но не­об­хо­ди­мым (гл. обр. в фор­ме теории опе­ра­то­ров) в кван­то­вой фи­зи­ке. Впер­вые вы­де­ле­ние функ­цио­наль­но­го ана­ли­за как осо­бо­го раз­де­ла М. про­из­ве­де­но В. Воль­тер­рой в кон. 19 в. Час­тя­ми функ­цио­наль­но­го ана­ли­за те­перь яв­ля­ют­ся воз­ник­шее мно­го ра­нее ва­риа­ци­он­ное ис­чис­ле­ние и тео­рия ин­те­граль­ных урав­не­ний, сис­те­ма­тич. по­строе­ние ко­то­рой бы­ло на­ча­то Воль­тер­рой и про­дол­же­но Э. Фред­голь­мом. Наи­бо­лее важ­ный спец. слу­чай опе­ра­то­ров в гиль­бер­то­вом про­стран­ст­ве, роль ко­то­ро­го ста­ла яс­на из ра­бот Д. Гиль­бер­та по ин­те­граль­ным урав­не­ни­ям, раз­ра­ба­ты­вал­ся осо­бен­но ин­тен­сив­но. Обоб­щая по­ня­тие гиль­бер­то­ва про­стран­ст­ва, Ф. Рисс рас­смот­рел не­ко­то­рые нор­ми­ро­ван­ные про­стран­ст­ва, а С. Ба­нах ввёл (1922) пол­ные ли­ней­ные нор­ми­ро­ван­ные про­стран­ст­ва (см. Ба­на­хо­во про­стран­ст­во). В 1930–40-х гг. в ра­бо­тах Т. Кар­ле­ма­на, Ф. Рис­са, амер. ма­те­ма­ти­ков М. Сто­уна и Дж. фон Ней­ма­на бы­ла по­строе­на аб­ст­ракт­ная тео­рия са­мо­со­пря­жён­ных опе­ра­то­ров в гиль­бер­то­вом про­стран­ст­ве. И. М. Гель­фан­дом раз­ра­бо­та­на тео­рия нор­ми­ро­ван­ных ко­лец (ба­на­хо­вых ал­гебр, 1940). В тео­рии функ­ций дей­ст­ви­тель­но­го пе­ре­мен­но­го и в функ­цио­наль­ном ана­ли­зе ши­ро­ко ис­поль­зу­ют­ся по­ня­тия мет­ри­че­ско­го про­стран­ст­ва, ком­пакт­но­сти, пол­но­ты и се­па­ра­бель­но­сти, вве­дён­ные М. Фре­ше.

Ис­сле­до­ва­ния Н. Е. Жу­ков­ско­го и С. А. Ча­п­лы­ги­на по при­ме­не­нию тео­рии функ­ций ком­плекс­но­го пе­ре­мен­но­го в аэ­ро­ме­ха­ни­ке про­дол­жил М. В. Кел­дыш. Гра­нич­ны­ми за­да­ча­ми тео­рии ана­ли­тич. функ­ций за­ни­ма­лись И. Н. Ве­куа, Н. И. Мус­хе­ли­шви­ли, И. И. При­ва­лов. Фун­дам. резуль­та­ты в тео­рии при­бли­же­ния функ­ций ком­плекс­но­го пе­ре­мен­но­го мно­го­чле­на­ми по­лу­че­ны Кел­ды­шем и М. А. Лав­рен­ть­е­вым. Эти ис­сле­до­ва­ния про­дол­жа­ли А. Г. Ви­туш­кин, А. А. Гон­чар, А. Ф. Ле­он­ть­ев, С. Н. Мер­ге­лян.

В тео­рии ве­ро­ят­но­стей А. М. Ля­пу­нов пред­ло­жил (1901) ме­тод ха­рак­те­ри­стич. функ­ций, один из осн. ме­то­дов до­ка­за­тель­ст­ва пре­дель­ных тео­рем тео­рии ве­ро­ят­но­стей. Тео­рия пре­дель­ных тео­рем, на­зы­вае­мая ны­не клас­си­че­ской, в осн. соз­да­на тру­да­ми Б. В. Гне­ден­ко, А. Н. Кол­мо­го­ро­ва, А. Я. Хин­чи­на и П. Ле­ви в 1-й пол. 20 в. Раз­ви­тие этой тео­рии про­дол­жа­лось во 2-й пол. 20–21 вв. Кол­мо­го­ров по­стро­ил (1933) об­ще­при­ня­тую ак­сио­ма­ти­ку тео­рии ве­ро­ят­но­стей, по­лу­чив тем са­мым ре­ше­ние 6-й про­бле­мы Гиль­бер­та, за­ло­жил ос­но­вы тео­рии мар­ков­ских слу­чай­ных про­цес­сов (1936), а так­же вет­вя­щих­ся слу­чай­ных про­цес­сов (1947), ко­то­рые на­шли при­ме­не­ние в хи­мии и в атом­ной энер­ге­ти­ке; вме­сте с Хин­чи­ным раз­вил тео­рию ста­цио­нар­ных слу­чай­ных про­цес­сов (1941). Ю. В. Про­хо­ров в ра­бо­тах по пре­дель­ным тео­ре­мам для слу­чай­ных про­цес­сов пред­ло­жил ме­то­ды, ос­но­ван­ные на изу­че­нии схо­ди­мо­сти мер в функ­цио­наль­ных про­стран­ст­вах, эти ме­то­ды, в ча­ст­но­сти, бы­ли при­ме­не­ны для обос­но­ва­ния пре­дель­но­го пе­ре­хо­да от дис­крет­ных слу­чай­ных про­цес­сов к не­пре­рыв­ным.

Раз­ви­тие тео­рии ве­ро­ят­но­стей и тео­рии слу­чай­ных про­цес­сов про­дол­жа­лось в ра­бо­тах А. А. Бо­ров­ко­ва, И. А. Иб­раги­мо­ва, Я. Г. Си­ная, укр. ма­те­ма­ти­ка А. В. Ско­ро­хо­да, ли­тов. ма­те­ма­ти­ков Й. Ку­би­лю­са и В. Ста­ту­ляви­чу­са, узб. ма­те­ма­ти­ков Т. А. Са­рым­са­ко­ва и С. Х. Си­ражди­но­ва, амер. учё­но­го Дж. Ду­ба, япон. ма­те­ма­ти­ка К. Ито и П. Ле­ви. Тео­рия ве­ро­ят­но­стей яв­ля­ет­ся ос­но­вой ма­те­ма­ти­че­ской ста­ти­сти­ки, су­ще­ст­вен­ный вклад в раз­ви­тие ко­то­рой вне­сли А. Н. Кол­мо­го­ров, Л. Н. Боль­шев, В. И. Ро­ма­нов­ский, Н. В. Смир­нов, амер. ма­те­ма­тик А. Вальд, Х. Кра­мер, Ю. Ней­ман, К. Пир­сон, Р. Фи­шер.

Прак­тич. ис­поль­зо­ва­ние ре­зуль­та­тов тео­ре­тич. ма­те­ма­тич. ис­сле­до­ва­ния тре­бу­ет, как пра­ви­ло, по­лу­че­ния от­ве­та на по­став­лен­ную за­да­чу в чи­сло­вой фор­ме, что час­то ока­зы­ва­ет­ся весь­ма труд­ным. За­ро­див­шие­ся в кон. 19 – нач. 20 вв. чис­лен­ные ме­то­ды ана­ли­за и ал­геб­ры в свя­зи с соз­да­ни­ем и со­вер­шен­ст­во­ва­ни­ем вы­чис­ли­тель­ных ма­шин вы­рос­ли в са­мо­сто­ят. раз­дел М. – вы­чис­ли­тель­ную ма­те­ма­ти­ку. В соз­да­ние и раз­ви­тие оте­ч. вы­чис­лит. ма­шин значит. вклад вне­сли В. М. Глуш­ков, С. А. Ле­бе­дев и В. А. Мель­ни­ков. Су­ще­ст­вен­ный вклад в раз­ви­тие вы­чис­лит. ма­те­ма­ти­ки вне­сли Н. С. Бах­ва­лов, В. В. Вое­во­дин, Б. Г. Га­лёр­кин, В. М. Глуш­ков, Н. Н. Го­во­рун, С. К. Го­ду­нов, Е. В. Зо­ло­тов, Л. В. Кан­то­ро­вич, М. В. Кел­дыш, Г. И. Мар­чук, В. А. Мель­ни­ков, А. А. Са­мар­ский, С. Л. Со­бо­лев, А. Н. Ти­хо­нов, В. Н. Фад­дее­ва.

Осн. на­прав­ле­ния ис­сле­до­ва­ний в М. по раз­де­лам сло­жи­лись в нач. 20 в. В зна­чит. ме­ре это де­ле­ние на раз­де­лы со­хра­ня­ет­ся и в 21 в., не­смот­ря на стре­ми­тель­ное раз­ви­тие М. Од­на­ко по­треб­но­сти раз­ви­тия са­мой М., ма­те­ма­ти­за­ция разл. об­лас­тей нау­ки, про­ник­но­ве­ние ма­те­ма­тич. ме­то­дов во мно­гие сфе­ры прак­тич. дея­тель­но­сти, бы­ст­рый про­гресс вы­чис­лит. тех­ни­ки при­ве­ли к пе­ре­ме­ще­нию осн. уси­лий ма­те­ма­ти­ков внут­ри сло­жив­ших­ся раз­де­лов М. и к по­яв­ле­нию ря­да но­вых ма­те­ма­тич. дис­ци­п­лин (см., напр., Ав­то­ма­тов тео­рия, Игр тео­рия, Ин­фор­ма­ти­ка, Ин­фор­ма­ции тео­рия, Ис­сле­до­ва­ние опе­ра­ций, Ки­бер­не­ти­ка, Крип­то­гра­фия, Ма­те­ма­ти­че­ская эко­но­ми­ка). Тео­ре­тич. во­про­са­ми ин­фор­ма­ти­ки за­ни­ма­лись А. П. Ер­шов, Ю. И. Жу­рав­лёв и В. А. Са­дов­ни­чий. На ос­но­ве за­дач тео­рии управ­ляю­щих сис­тем, ком­би­на­тор­но­го ана­ли­за, гра­фов тео­рии, тео­рии ко­ди­ро­ва­ния воз­ник­ла дис­крет­ная ма­те­ма­ти­ка. Тео­рия ал­го­рит­мов, тео­рия слож­но­сти и на­дёж­но­сти управ­ляю­щих сис­тем раз­ви­ва­лись в тру­дах С. И. Адя­на, Ю. Л. Ер­шо­ва, Ю. И. Жу­рав­лёва, А. Н. Кол­мо­го­ро­ва, О. Б. Лу­па­но­ва, А. А. Мар­ко­ва, А. А. Раз­бо­ро­ва и С. В. Яб­лон­ско­го. Ос­но­вы тео­рии ин­фор­ма­ции бы­ли за­ло­же­ны В. А. Ко­тель­ни­ко­вым (1941) и К. Шен­но­ном (1948–1949). В тео­ре­тич. раз­де­лы тео­рии ин­фор­ма­ции боль­шой вклад вне­сён Кол­мо­го­ро­вым и Н. Ви­не­ром; в раз­де­лы, со­при­ка­саю­щие­ся с при­ме­не­ния­ми, – Ко­тель­ни­ко­вым. В ма­те­ма­тич. эко­но­ми­ке ис­сле­до­ва­ния Л. В. Кан­то­ро­ви­ча спо­соб­ст­во­ва­ли по­строе­нию тео­рии оп­ти­маль­но­го пла­ни­ро­ва­ния и управ­ле­ния нар. хо­зяй­ст­вом. Важ­ную роль в раз­ви­тии ма­те­ма­тич. эко­но­ми­ки сыг­ра­ли ра­бо­ты В. Л. Ма­ка­ро­ва.

Математические организации и журналы

В кон. 17 – нач. 18 вв. поя­ви­лись пер­вые ма­те­ма­тич. об­ще­ст­ва. Об­зор­ные док­ла­ды о ми­ро­вых дос­ти­же­ни­ях М., а так­же со­об­ще­ния о наи­бо­лее ин­те­рес­ных ра­бо­тах отд. учё­ных пред­став­ля­ют­ся на про­хо­дя­щих ме­ж­ду­нар. ма­те­ма­тич. кон­грес­сах. 1-й Ма­те­ма­тич. кон­гресс со­сто­ял­ся в Цю­ри­хе (1897), за­тем они про­хо­ди­ли в Па­ри­же (1900), Гей­дель­бер­ге (1904), Ри­ме (1908), Кем­брид­же (Ве­ли­ко­бри­та­ния, 1912), Страс­бу­ре (1920), То­рон­то (1924), Бо­ло­нье (1928), Цю­ри­хе (1932), Ос­ло (1936). По­сле 2-й ми­ро­вой вой­ны ма­те­ма­тич. кон­грес­сы про­хо­ди­ли в Кем­брид­же (штат Мас­са­чу­сетс, США, 1950), Ам­стер­да­ме (1954), Эдин­бур­ге (1958), Сток­голь­ме (1962), Мо­ск­ве (1966), Ниц­це (1970), Ван­ку­ве­ре (1974), Хель­син­ки (1978), Вар­ша­ве (1983), Берк­ли (1986), Кио­то (1990), Цю­ри­хе (1994), Бер­ли­не (1998), Пе­ки­не (2002), Мад­ри­де (2006), Хай­да­ра­ба­де (Ин­дия, 2010), пла­ни­ру­ет­ся в Се­уле (2014). Ор­га­ни­за­ция и по­ощ­ре­ние ме­ж­ду­нар. со­труд­ни­че­ст­ва в об­лас­ти М. яв­ля­ет­ся за­да­чей Ме­ж­ду­на­род­но­го ма­те­ма­ти­че­ско­го сою­за.

В Рос­сии мн. ма­те­ма­тич. ис­сле­до­ва­ния про­во­дят­ся в ин-тах, вхо­дя­щих в РАН. Это Ма­те­ма­ти­че­ский ин­сти­тут им. В. А. Стек­ло­ва, С.-Пе­терб. от­де­ле­ние Ма­те­ма­тич. ин-та, Вы­чис­ли­тель­ной ма­те­ма­ти­ки ин­сти­тут, Вы­чис­ли­тель­ный центр им. А. А. До­род­ни­ци­на, Ин-т ав­то­ма­ти­за­ции про­ек­ти­ро­ва­ния, Ин-т ма­те­ма­тич. мо­де­ли­ро­ва­ния, При­клад­ной ма­те­ма­ти­ки ин­сти­тут им. М. В. Кел­ды­ша, Ин-т сис­тем­но­го про­грам­ми­ро­ва­ния, а так­же Ин-т ма­те­ма­ти­ки с вы­чис­лит. цен­тром Уфим­ско­го на­уч. цен­тра РАН, Ма­те­ма­ти­ки ин­сти­тут им. С. Л. Со­бо­ле­ва СО РАН, Ин­сти­тут ма­те­ма­ти­ки и ме­ха­ни­ки УрО РАН, Ин-т при­клад­ной ма­те­ма­ти­ки ДВО РАН, Ин-т при­клад­ных ма­те­ма­тич. ис­сле­до­ва­ний Ка­рель­ско­го на­уч­но­го цен­тра РАН, Ин-т при­клад­ной ма­те­ма­ти­ки и ин­фор­ма­ти­ки Вла­ди­кав­каз­ско­го на­уч. цен­тра РАН, НИИ при­клад­ной ма­те­ма­ти­ки и ав­то­ма­ти­за­ции Ка­бар­ди­но-Бал­кар­ско­го на­уч. цен­тра РАН.

Те­ку­щие ма­те­ма­тич. ис­сле­до­ва­ния (а так­же ин­фор­ма­ция о ма­те­ма­тич. жиз­ни в разл. стра­нах) пуб­ли­ку­ют­ся в ма­те­ма­тич. жур­на­лах.

Отд. ма­те­ма­тич. ста­тьи впер­вые ста­ли пе­ча­тать­ся в об­щих на­уч. жур­на­лах. Сре­ди них – «Jornal des savants» (P.; Amst.; Lpz., с 1665), в котором пуб­ли­ко­ва­лись ра­бо­ты брать­ев Бер­нул­ли, «Acta erudi­torum» (Lpz., 1682–1731), где бы­ли на­пе­ча­та­ны мн. ра­бо­ты Лейб­ни­ца и брать­ев Бер­нул­ли.

Спе­циа­ли­зир. ма­те­ма­тич. жур­на­лы по­яви­лись в нач. 19 в. Ста­рей­шие из них: «Journal für die reine und angewandte Ma­thematik» (B., c 1826), «Proceedings of the London Mathematical Society» (L., с 1865), «Ма­те­ма­ти­че­ский сбор­ник» (с 1866), «Mathematisсhe Annalen» (B.; Lpz., с 1869), «Acta Mathematica» (Upp­sala; Stockh., с 1882), «Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society» (Edin­burgh, с 1883), «Annals of Mathematics» (Princeton, с 1884), «Rendiconti del Cir­colo Matematico di Palermo» (Palermo, с 1884), «Bulletin of the American Ma­thematical Society» (Lancaster, с 1891).

РАН про­дол­жа­ет из­да­вать жур­на­лы «Из­вес­тия Ака­де­мии на­ук СССР. Се­рия ма­те­ма­ти­че­ская» (М., 1937–94, с 1995 – «Из­вес­тия РАН. Се­рия ма­те­ма­ти­че­ская»), «Ус­пе­хи ма­те­ма­ти­че­ских на­ук» (М., с 1936), «Ал­геб­ра и ана­лиз» (Л.; СПб., с 1989), «Дис­крет­ная ма­те­ма­ти­ка» (М., с 1989), «Ма­те­ма­ти­че­ские за­мет­ки» (М., с 1967), «Тео­ре­ти­че­ская и ма­те­ма­ти­че­ская фи­зи­ка» (М., с 1969), «Тео­рия ве­ро­ят­но­стей и ее при­ме­не­ния» (М., с 1956), «Функ­цио­наль­ный ана­лиз и его при­ло­же­ния» (М., с 1967), «Жур­нал вы­чис­ли­тель­ной ма­те­ма­ти­ки и ма­те­ма­ти­че­ской фи­зи­ки» (М., с 1961), «Ма­те­ма­ти­че­ское мо­де­ли­ро­ва­ние» (М., с 1989), «Про­грам­ми­ро­ва­ние» (М., с 1975).

В свя­зи с тем, что чис­ло ма­те­ма­тич. пуб­ли­ка­ций очень ве­ли­ко, воз­ник­ла не­об­хо­ди­мость из­да­ния ре­фе­ра­тив­ных жур­на­лов по ма­те­ма­ти­ке. Пер­вы­ми из них в Рос­сии бы­ли «Рус­ская фи­зи­ко-ма­те­ма­ти­че­ская биб­лио­гра­фия» (СПб., 1885–1900), «Рус­ская биб­лио­гра­фия по ес­те­ст­во­зна­нию и ма­те­ма­ти­ке, со­став­лен­ная со­стоя­щим при им­пе­ра­тор­ской Ака­де­мии на­ук С.-Пе­тер­бург­ским бю­ро ме­ж­ду­на­род­ной биб­лио­гра­фии» (1904–17), позд­нее ста­ли вы­хо­дить «Фи­зи­ко-ма­те­ма­ти­че­ский ре­фе­ра­тив­ный жур­нал» (М., 1939–41) и «Ре­фе­ра­тив­ный жур­нал. Ма­те­ма­ти­ка» (М., с 1953).

На­уч. об­ще­ст­ва и уни­вер­си­те­ты в разл. го­ро­дах Рос­сии вы­пус­ка­ют свои об­ще­на­уч­ные из­да­ния. Сре­ди них «Учё­ные за­пис­ки Ка­зан­ско­го уни­вер­си­те­та» (с 1834), в ко­то­рых впер­вые опуб­ли­ко­ва­ны со­чине­ния Н. И. Ло­ба­чев­ско­го, «Учё­ные за­пис­ки Мо­с­ков­ско­го уни­вер­си­те­та» (с 1933).

Лит.: Клейн Ф. Лек­ции о раз­ви­тии ма­те­ма­тики в XIX сто­ле­тии. М.; Л., 1937. Т. 1. М.; Ижевск, 2003. Т. 2; Цей­тен И. Г. Ис­то­рия ма­те­ма­ти­ки в XVI и XVII вв. 2-е изд. М.; Л., 1938; он же. Ис­то­рия ма­те­ма­ти­ки в древ­но­сти и в сред­ние ве­ка. 3-е изд. М., 2010; Ма­тема­ти­ка, ее со­дер­жа­ние, ме­то­ды и зна­че­ние: В 3 т. М., 1956; Юш­ке­вич А. П. Ис­то­рия ма­те­ма­ти­ки в сред­ние ве­ка. М., 1961; Ви­лейт­нер Г. Ис­то­рия ма­те­ма­ти­ки от Де­кар­та до се­ре­ди­ны XIX сто­ле­тия. 2-е изд. М., 1966; Ис­то­рия ма­те­ма­ти­ки с древ­ней­ших вре­мен до на­ча­ла XIX сто­ле­тия. М., 1970–1972. Т. 1–3; Бур­ба­ки Н. Очер­ки по ис­то­рии ма­те­ма­ти­ки. М., 2006; Рыб­ни­ков К. А. Ис­то­рия ма­те­ма­ти­ки. М., 1994; Ван-дер-Вар­ден Б. Л. Про­бу­ж­даю­щая­ся нау­ка: ма­те­ма­ти­ка Древ­не­го Егип­та, Ва­ви­ло­на и Гре­ции. 2-е изд. М., 2006; Кол­мо­го­ров А. Н. Из­бран­ные тру­ды. М., 2007. Т. 4: Ма­те­ма­ти­ка и ма­те­ма­ти­ки. Кн. 1–2; Ку­рант Р., Роб­бинс Г. Что та­кое ма­те­ма­ти­ка. 5-е изд. М., 2010.

Вернуться к началу