Подпишитесь на наши новости
Вернуться к началу с статьи up
 

ЛИ́НИЯ

  • рубрика

    Рубрика: Математика

  • родственные статьи
  • image description

    В книжной версии

    Том 17. Москва, 2010, стр. 511-514

  • image description

    Скопировать библиографическую ссылку:




ЛИ́НИЯ (от лат. linea, букв. – льня­ная нить; ли­ния, чер­та), гео­мет­рич. по­ня­тие, оп­ре­де­ле­ние ко­то­ро­го в разл. раз­де­лах ма­те­ма­ти­ки осу­ще­ст­в­ля­ет­ся по-раз­но­му.

В эле­мен­тар­ной гео­мет­рии рас­смат­ри­ва­ют­ся пря­мые Л., от­рез­ки пря­мых, ло­ма­ные Л., со­став­лен­ные из от­рез­ков, и не­ко­то­рые кри­вые Л.; ка­ж­дый вид кри­вых Л. оп­ре­де­ля­ет­ся тем или иным спец. спо­со­бом (напр., ок­руж­ность оп­ре­де­ля­ет­ся как мно­же­ст­во то­чек, на­хо­дя­щих­ся на за­дан­ном рас­стоя­нии $R$ от не­ко­то­рой точ­ки $O$ – цен­тра ок­руж­но­сти). Ино­гда да­ют оп­ре­де­ле­ние Л. как гра­ни­цы час­ти по­верх­но­сти или тра­ек­то­рии дви­жу­щей­ся точ­ки. Од­на­ко в рам­ках эле­мен­тар­ной гео­мет­рии эти оп­ре­де­ле­ния не по­лу­ча­ют от­чёт­ли­вой фор­му­ли­ров­ки.

Пред­став­ле­ние о Л. как о тра­ек­то­рии дви­жу­щей­ся точ­ки мо­жет быть сде­ла­но стро­гим при по­мо­щи па­ра­мет­рич. пред­став­ле­ния Л. Напр., вво­дя на плос­ко­сти пря­мо­уголь­ные ко­ор­ди­на­ты $(x,y)$, мож­но па­ра­мет­ри­че­ски за­дать ок­руж­ность ра­диу­са $R$ с цен­тром в на­ча­ле ко­ор­ди­нат урав­не­ния­ми $x=Rcost$, $y=Rsint$. Ко­гда па­ра­метр $t$ про­бе­га­ет зна­че­ния $0⩽t<2π$, точ­ки $(x,y)$ опи­сы­ва­ют на плос­ко­сти ок­руж­ность. Во­об­ще, Л. на плос­ко­сти за­да­ют па­ра­мет­ри­че­ски ра­вен­ст­ва­ми $$x=φ(t), y=ψ(t),$$

x=φ(t),y=ψ(t),

где $φ (t)$ и $ψ (t)$ – функ­ции, не­пре­рыв­ные на ко­неч­ном или бес­ко­неч­ном ин­тер­ва­ле $Δ$ чи­сло­вой оси $t$. Ка­ж­до­му зна­че­нию па­ра­мет­ра (из ин­тер­ва­ла $Δ$) со­пос­тав­ля­ет­ся точ­ка $M$, ко­ор­ди­на­ты ко­то­рой за­да­ют­ся эти­ми ра­вен­ст­ва­ми. Л., за­дан­ная эти­ми ра­вен­ст­ва­ми, есть мно­же­ст­во то­чек, со­от­вет­ст­вую­щих все­воз­мож­ным зна­че­ни­ям $t$ из $Δ$; при этом точ­ки рас­смат­ри­ва­ют­ся в оп­ре­де­лён­ном по­ряд­ке, а имен­но: ес­ли точ­ка $M_1$ со­от­вет­ст­ву­ет зна­че­нию па­ра­мет­ра $t_1$, а точ­ка $M_2$ – зна­че­нию $t_2$, то $M_1$ счи­та­ет­ся пред­ше­ст­вую­щей $M_2$, ес­ли $t_1. Точ­ки, от­ве­чаю­щие разл. зна­че­ни­ям па­ра­мет­ра, счи­та­ют­ся раз­лич­ны­ми.

Ана­ло­гич­но, в трёх­мер­ном про­стран­ст­ве Л. за­да­ёт­ся па­ра­мет­ри­че­ски тре­мя ра­вен­ст­ва­ми $x=φ (t)$, $y=ψ (t)$, $z=χ (t)$, где $φ (t)$, $ψ (t)$, $χ (t)$ – дей­ст­ви­тель­ные функ­ции, не­пре­рыв­ные на к.-л. ин­тер­ва­ле. В про­из­воль­ном то­по­ло­гич. про­стран­ст­ве $T$ (ко­то­рое, в ча­ст­но­сти, мо­жет быть плос­ко­стью, трёх­мер­ным про­стран­ст­вом, функ­цио­наль­ным про­стран­ст­вом и т. п.) Л. па­ра­мет­ри­че­ски за­да­ют­ся ра­вен­ст­ва­ми ви­да $P=φ(t)$, где $φ$ – функ­ция дей­ст­ви­тель­но­го пе­ре­мен­но­го $t$, не­пре­рыв­ная на к.-л. ин­тер­ва­ле, зна­че­ния ко­то­рой суть точ­ки про­стран­ст­ва $T$. Счи­та­ют, что два па­ра­мет­рич. пред­став­ле­ния за­да­ют од­ну и ту же Л., ес­ли они оп­ре­де­ля­ют од­но и то же мно­же­ст­во то­чек и один и тот же по­ря­док их сле­до­ва­ния.

В ма­те­ма­тич. ана­ли­зе и то­по­ло­гии рас­смат­ри­ва­ют обыч­но слу­чай, ко­гда об­ласть из­ме­не­ния па­ра­мет­ра $t$ есть от­ре­зок $a⩽t⩽b$. В этом слу­чае ус­ло­вие то­го, что два па­ра­мет­рич. пред­став­ле­ния $$P=φ(t),\; a⩽t⩽b,$$$$P=φ_1(t_1),\; a_1⩽t_1⩽b_1,$$ за­да­ют од­ну и ту же Л., за­клю­ча­ет­ся в су­ще­ст­во­ва­нии не­пре­рыв­ной и стро­го воз­рас­таю­щей функ­ции $f(t)$, для ко­то­рой $$f(a)=a_1,\; f(b)=b_1,\; φ(t)=φ_1(f(t)).$$Та­кое по­ни­ма­ние тер­ми­на «Л.» ес­те­ст­вен­но в боль­шин­ст­ве за­дач ана­ли­за (напр., в тео­рии кри­во­ли­ней­ных ин­те­гра­лов) и ме­ха­ни­ки. При воз­рас­та­нии $t$ от $a$ до $b$ пе­ре­мен­ная точ­ка $M$, со­от­вет­ст­вую­щая дан­но­му зна­че­нию $t$, мо­жет про­хо­дить че­рез од­ну и ту же точ­ку Л. один или неск. раз (при разл. зна­че­ни­ях па­ра­мет­ра $t$). В пер­вом слу­чае точ­ка кри­вой на­зы­ва­ет­ся про­стой, во вто­ром – крат­ной.

Из ана­ли­тич. гео­мет­рии из­вес­тен и др. спо­соб за­да­ния Л. на плос­ко­сти урав­не­ни­ем $F(x,y)=0$, а в про­стран­ст­ве – дву­мя урав­не­ния­ми $F(x,y,z)= 0$, $G(x,y,z)=0$. В слу­чае плос­ко­сти час­то рас­смат­ри­ва­ют­ся ал­геб­ра­ич. Л. (кри­вые) – Л., оп­ре­де­ляе­мые урав­не­ни­ем $F(x,y)=0$, где $F(x,y)$ – це­лая ал­геб­ра­ич. функ­ция, т. е. мно­го­член сте­пе­ни $n⩾1$. (См. так­же Ал­геб­раи­че­ская кри­вая.) В этом слу­чае два мно­го­чле­на $F_1(x,y$) и $F_2(x,y)$ оп­ре­де­ля­ют од­ну и ту же Л. то­гда и толь­ко то­гда, ко­гда су­ще­ст­ву­ет та­кая по­сто­ян­ная $c≠0$, что вы­пол­ня­ет­ся то­ж­де­ст­во $$F_1(x,y)≡cF_2(x,y).$$Все мно­го­чле­ны, оп­ре­де­ляю­щие од­ну и ту же Л., име­ют од­ну и ту же сте­пень $n$, на­зы­вае­мую по­ряд­ком со­от­вет­ст­вую­щей Л. Напр., в ана­ли­тич. гео­мет­рии при­нято счи­тать, что урав­не­ние $(x-y)^2=0$ оп­ре­де­ля­ет Л. 2-го по­ряд­ка, а имен­но два­ж­ды взя­тую пря­мую $x-y=0$. Л. 1-го по­ряд­ка яв­ля­ют­ся пря­мые. Час­то це­ле­со­об­раз­но ог­ра­ни­чи­вать­ся рас­смот­ре­ни­ем не­при­во­ди­мых ал­геб­ра­ич. Л., т. е. та­ких Л., для ко­то­рых мно­го­член $F$ не до­пус­ка­ет пред­став­ле­ния $F=GH$, где $G$ и $H$ – мно­го­чле­ны, от­лич­ные от по­сто­ян­ных. Да­лее име­ет­ся в ви­ду толь­ко этот слу­чай.

Го­во­рят, что точ­ка $(x_0,y_0)$ кри­вой $F(x,y)=0$ име­ет крат­ность $m$, ес­ли раз­ло­же­ние функ­ции $F(x,y)=0$ по сте­пе­ням пе­ре­мен­ных $x-x_0$ и $y-y_0$ на­чи­на­ет­ся с чле­нов сте­пе­ни $m$ (по со­во­куп­но­сти пе­ре­мен­ных $x-x_0$ и $y-y_0$). В слу­чае $m=2$, т. е. в слу­чае двой­ной точ­ки, $$F(x,y)=a_{11}(x-x_0)^2 + 2a_{12}(x-x_0)(y-y_0) + a_{22}(y-y_0)^2 + ...,$$ где мно­го­то­чие оз­на­ча­ет, что да­лее сле­ду­ют чле­ны выс­ших по­ряд­ков. При по­мощи дис­кри­ми­нан­та $δ=a_{11}a_{22}- a^2_{12}$ мож­но оп­ре­де­лить тип двой­ной точ­ки (см. Осо­бая точ­ка кри­вой).

При изу­че­нии ал­геб­ра­ич. Л. час­то, на­ря­ду с точ­ка­ми евк­ли­до­вой дей­ст­ви­тель­ной плос­ко­сти (или про­стран­ст­ва), рас­смат­ри­ва­ют­ся точ­ки бес­ко­неч­но уда­лён­ные и мни­мые. При та­ком под­хо­де (и над­ле­жа­щем учё­те крат­но­сти пе­ре­се­че­ния) ста­но­вит­ся вер­ным, напр., ут­вер­жде­ние, что две Л. по­ряд­ков $n$ и $m$ пе­ре­се­ка­ют­ся в $mn$ точ­ках. В слу­чае $m=1$ это при­во­дит к воз­мож­но­сти оп­ре­де­лить по­ря­док Л. как чис­ло $n$ то­чек её пе­ре­се­че­ния с не­ко­то­рой пря­мой.

Рас­смот­рен­ные вы­ше уточ­не­ния и об­обще­ния по­ня­тия Л. су­ще­ст­вен­но свя­за­ны с со­от­вет­ст­вую­щим ал­геб­ра­ич. и ана­ли­тич. ап­па­ра­том. В от­ли­чие от это­го, совр. то­по­ло­гия рас­смат­ри­ва­ет пред­став­ле­ние о Л. как о мно­же­ст­ве то­чек не­за­ви­си­мо от ал­геб­ра­ич. или ана­ли­тич. спо­со­бов за­да­ния это­го мно­же­ст­ва.

Ес­ли ис­хо­дить из па­ра­мет­рич. за­да­ния Л. на плос­ко­сти в ви­де мно­же­ст­ва то­чек, ко­ор­ди­на­ты ко­то­рых оп­ре­де­ля­ют­ся ра­вен­ст­ва­ми $x=φ (t)$ и $y=ψ (t)$, где $φ$ и $ψ$  – не­пре­рыв­ные функ­ции, а $t$ про­бе­га­ет от­ре­зок $a⩽t⩽b$, но ин­те­ре­со­вать­ся толь­ко по­лу­чен­ным мно­же­ст­вом то­чек без учё­та по­ряд­ка их сле­до­ва­ния, то при­ходят к по­ня­тию Л., сфор­му­ли­ро­ван­но­му в 1880-х гг. М. Э. К. Жор­да­ном (см. Жор­да­на кри­вая), т. е. к по­ня­тию Л. как не­пре­рыв­но­го об­раза от­рез­ка. Ока­зы­ва­ет­ся, что та­ким не­пре­рыв­ным об­ра­зом от­рез­ка мо­жет быть квад­рат, тре­уголь­ник и т. п. (см. Пеа­но кри­вая). Вза­им­но од­но­знач­ный не­пре­рыв­ный об­раз от­рез­ка на­зы­ва­ют про­стой ду­гой или жор­да­но­вой ду­гой. Вза­им­но од­но­знач­ный не­пре­рыв­ный об­раз ок­руж­но­сти на­зы­ва­ют про­стой замк­ну­той Л. Про­стые ду­ги и про­стые замк­ну­тые Л. не ис­чер­пы­ва­ют, од­на­ко, то­чеч­ных мно­жеств, за­слу­жи­ваю­щих на­име­но­ва­ние ли­ний.

Из­бе­гая и чрез­мер­ной общ­но­сти, и чрез­мер­но­го су­же­ния по­ня­тия Л., в совр. то­по­ло­гии поль­зу­ют­ся по­ня­ти­ем Л., вве­дён­ным в 1921 П. С. Уры­со­ном, ко­то­рый оп­ре­де­ля­ет Л. (кри­вую) как про­из­воль­ный кон­ти­ну­ум раз­мер­но­сти еди­ни­ца. Кон­ти­ну­ум име­ет раз­мер­ность еди­ни­ца, ес­ли при лю­бом $ε>0$ он мо­жет быть пред­став­лен в ви­де сум­мы ко­неч­но­го чис­ла замк­ну­тых мно­жеств диа­мет­ра, мень­ше­го $ε$, об­ла­даю­щих тем свой­ст­вом, что ни­ка­кие три из этих замк­ну­тых мно­жеств не име­ют об­щей точ­ки. Кон­ти­ну­ум, ле­жа­щий на плос­ко­сти, бу­дет Л. в смыс­ле Уры­со­на то­гда и толь­ко то­гда, ко­гда он не со­дер­жит внутр. то­чек. Этим свой­ством ха­рак­те­ри­зо­вал Л., ле­жа­щие на плос­ко­сти, Г. Кан­тор (1870-е гг.). Хо­тя оп­ре­де­ле­ние Кан­то­ра при­ме­ни­мо толь­ко к Л., ле­жа­щим на плос­ко­сти, ино­гда и об­щие Л. в смыс­ле Уры­со­на на­зы­ва­ют кан­то­ро­вы­ми кри­вы­ми.

Ещё ма­те­ма­ти­ки древ­но­сти рас­смат­ри­ва­ли ряд за­ме­ча­тель­ных ал­геб­ра­ич. Л., сре­ди ко­то­рых ли­нии вто­ро­го по­ряд­ка, Л. бо­лее вы­со­ких по­ряд­ков, а так­же транс­цен­дент­ные (не­ал­геб­раи­че­ские) Л. Сис­те­ма­тич. изу­че­ние Л. и их клас­си­фи­ка­ция ста­ли воз­мож­ны­ми по­сле соз­да­ния ана­ли­тич. гео­мет­рии.

Из Л. 3-го по­ряд­ка наи­бо­лее из­вест­ны сле­дую­щие.

Рис. 1.

Ло­кон Ань­е­зи (или вер­зие­ра) – пло­ская ал­геб­ра­ич. кри­вая, де­кар­то­вы пря­мо­уголь­ные ко­ор­ди­на­ты то­чек ко­то­рой свя­за­ны урав­не­ни­ем $x^2y+a^2y-a^3=0$, где по­сто­ян­ная $a>0$ (рис. 1). Ис­сле­до­ва­ние этой Л. свя­за­но с име­нем итал. ма­те­ма­ти­ка М. Ань­е­зи (1748).

Рис. 2.

Де­кар­тов лист – кри­вая, урав­не­ние ко­то­рой в де­кар­то­вых пря­мо­уголь­ных ко­ор­ди­на­тах есть $x^3+y^3-3axy=0$, где по­сто­ян­ная $a>0$ (рис. 2). Впер­вые кри­вая оп­ре­де­ля­ет­ся в пе­ре­пис­ке Р. Де­кар­та и П. Фер­ма (1638).

Ку­би­че­ская па­ра­бо­ла – кри­вая, урав­не­ние ко­то­рой в пря­мо­уголь­ных де­кар­то­вых ко­ор­ди­на­тах есть $y=ax^3$, где $a$ – дей­ст­ви­тель­ное чис­ло, $a≠0$.

Рис. 3.

По­лу­ку­би­че­ская па­ра­бо­ла (па­ра­бо­ла Ней­ля) – кри­вая, урав­не­ние ко­то­рой в пря­мо­уголь­ных де­кар­то­вых ко­ор­ди­на­тах есть $у=ax^{3/2}$, где по­сто­ян­ная $a>0$ (рис. 3). Её па­ра­мет­рич. урав­не­ния суть $x=t^2$, $y=at^3$. На­зва­на по име­ни изу­чав­ше­го её англ. ма­те­ма­ти­ка У. Ней­ля (1657).

Рис. 4.

Тре­зу­бец – кри­вая, урав­не­ние ко­то­рой в пря­мо­уголь­ных де­кар­то­вых ко­ор­ди­на­тах есть $xy=ax^3+bx^2+cx+d$, где $a, b, c, d$ – по­ло­жи­тель­ные по­сто­ян­ные (рис. 4). Кри­вая име­ет две бес­ко­неч­ные вет­ви и од­ну асим­пто­ту. Ле­вая ветвь кри­вой (т. н. па­ра­бо­ла Де­кар­та) опи­са­на Р. Де­кар­том (1637). Кри­вая ис­сле­до­ва­лась И. Нью­то­ном (1704), пред­ло­жив­шим на­зва­ние.

Из Л. 4-го по­ряд­ка наи­бо­лее из­вест­ны сле­дую­щие.

Рис. 5.

Лем­ни­ска­та Бер­нул­ли – кри­вая, имею­щая фор­му вось­мёр­ки (рис. 5); гео­мет­рич. ме­сто то­чек, для ко­то­рых про­из­ве­де­ние рас­стоя­ний до фо­ку­сов $F_1(–а,0)$ и $F_2(а,0)$ рав­но $а^2$. Урав­не­ние в пря­мо­уголь­ных ко­ор­ди­на­тах есть $(x^2+y^2)^2-2a^2(x^2-y^2)=0$ и $ρ^2=2а^2cos2φ$ в по­ляр­ных ко­ор­ди­на­тах. Впер­вые рас­смат­ри­ва­лась Я. Бер­нул­ли (1694). Лем­ни­ска­та яв­ля­ет­ся ча­ст­ным слу­ча­ем ова­ла Кас­си­ни.

Рис. 6.

Овал Кас­си­ни – кри­вая, урав­не­ние в пря­мо­уголь­ных ко­ор­ди­на­тах ко­то­рой есть$$(x^2+y^2)^2-2c^2(x^2-y^2)=a^4-c^4,$$где $a$ и $c$ по­ло­жи­тель­ные чис­ла. Для то­чек этой кри­вой (рис. 6) про­из­ве­де­ние рас­стоя­ний до двух фик­си­ро­ван­ных то­чек $F_1(-c,0)$ и $F_2(c,0)$ яв­ля­ет­ся по­сто-ян­ной ве­ли­чи­ной $a^2$. Фор­ма кри­вой, сим­мет­рич­ной от­но­си­тель­но осей $Ox$ и $Oy$, за­ви­сит от со­от­но­ше­ния ме­ж­ду па­ра­мет­ра­ми $a$ и $c$. При $a>c\sqrt{2}$ эта кри­вая – эл­лип­со­об­раз­ный овал (кри­вая а на рис. 6), при $c$ – «овал с та­ли­ей» (кри­вая б, рис. 6), при $a=c$ – лем­ни­ска­та Бер­нул­ли (кри­вая в, рис. 6), при $a$ овал Кас­си­ни со­сто­ит из двух ова­лов (кри­вая г, рис. 6). Рас­смот­ре­ны Дж. Кас­си­ни (17 в.).

Рис. 7.

Де­кар­тов овал – пло­ская кри­вая (рис. 7), рас­стоя­ния $r_1$ и $r_2$ для ка­ж­дой точ­ки до двух фик­си­ро­ван­ных то­чек $F_1$ и $F_2$ (фо­ку­сов) свя­за­ны не­од­но­род­ным ли­ней­ным урав­не­ни­ем $r_1+mr_2=a$, где $m$ и $a$ – по­ло­жи­тель­ные чис­ла. Эту Л. мож­но за­дать од­но­род­ным ли­ней­ным урав­не­ни­ем $r_1+mr_2+nr_3=0$, где $r_3$ – рас­стоя­ние до третье­го фо­ку­са $F_3$, ле­жа­щего на пря­мой, про­хо­дя­щей че­рез $F_1$ и $F_2$. В пря­мо­уголь­ных де­кар­то­вых ко­ор­ди­на­тах урав­не­ние этой Л. име­ет вид $\sqrt {x^2+y^2}+m\sqrt {(x-d)^2+y^2}=a$, где $d$ – дли­на от­рез­ка $F_1F_2$. При $m= 1$ и $a>d$ де­кар­тов овал пред­став­ля­ет со­бой эл­липс, при $m=-1$ и $a{<}d$ – ги­пер­бо­лу и при $m=a/d$Пас­ка­ля улит­ку. Впер­вые ис­сле­до­ва­лись Р. Де­кар­том (1637).

Рис. 8.

Кар­дио­и­да – кри­вая, урав­не­ние ко­то­рой в пря­мо­уголь­ных ко­ор­ди­на­тах есть$$(x^2+y^2-r^2)^2=4r^2((x-r)^2+y^2),$$где $r>0$, и $ρ=2r(1-cosφ)$ в по­ляр­ных ко­ор­ди­на­тах. Кар­дио­и­да опи­сы­ва­ет­ся точ­кой $M$ ок­руж­но­сти (рис. 8) ра­диу­са $r$, ка­тя­щей­ся по ок­руж­но­сти то­го же ра­диу­са. Кар­дио­и­да яв­ля­ет­ся ча­ст­ным слу­ча­ем улит­ки Пас­ка­ля.

Из Л. бо­лее вы­со­ких по­ряд­ков наи­бо­лее из­вест­ны кри­вые Ла­ме и ас­т­рои­ды.

Рис. 9а.
Рис. 9б.

Кри­вая Ла­ме – Л., урав­не­ние ко­то­рой в пря­мо­уголь­ных ко­ор­ди­на­тах есть $$\left ( \frac{x}{a} \right )^m + \left ( \frac{y}{b} \right )^m=1,$$ где $a$ и $b$ – по­ло­жи­тель­ные чис­ла, $m=p/q$ – ра­цио­наль­ное чис­ло, при­чём $p$ и $q$ – вза­им­но про­стые чис­ла. При­ве­де­ны при­ме­ры кри­вых Ла­ме для $m>1$, чёт­но­го $p$ и не­чёт­но­го $q$ (рис. 9,а) и $0, чёт­но­го $p$ и не­чёт­но­го $q$ (рис. 9,б). При $m>0$ по­ря­док кри­вой есть $pq$, и он ра­вен $2pq$ при $m<0$. Эти кри­вые рас­смот­ре­ны Г. Ла­ме (1818). 

Рис. 10.

Ас­т­рои­да – пло­ская ал­геб­ра­ич. кри­вая 6-го по­ряд­ка, ко­то­рая опи­сы­ва­ет­ся точ­кой $M$ ок­руж­но­сти ра­диу­са $r$, ка­тя­щей­ся по внутр. сто­ро­не не­под­виж­ной ок­руж­но­сти ра­диу­са $R=4r$ (рис. 10). Урав­не­ние ас­т­рои­ды в пря­мо­уголь­ных ко­ор­ди­на­тах есть $x^{2/3}+y^{2/3}=R^{2/3}$, где $R$ – ра­ди­ус не­под­виж­ной ок­руж­но­сти.

 

Боль­шой класс Л. со­став­ля­ют транс­цен­дент­ные Л. К ним от­но­сят­ся гра­фи­ки три­го­но­мет­ри­че­ских функ­ций, по­ка­за­тель­ной функ­ции, ло­га­риф­ми­че­ской функ­ции, ги­пер­бо­ли­че­ских функ­ций, а так­же трак­три­са, узор­ная кри­вая, цеп­ная ли­ния, цик­лои­да. К цик­лои­де по спо­со­бу по­строе­ния при­мы­ка­ет класс цик­лои­даль­ных кри­вых, ко­то­рые мо­гут быть как транс­цен­дент­ны­ми, так и ал­геб­раи­че­ски­ми. Напр., ас­т­рои­да яв­ля­ет­ся цик­лои­даль­ной кри­вой.

Рис. 11.

Сре­ди транс­цен­дент­ных Л. вы­де­ля­ют спи­ра­ли. К спи­ра­лям от­но­сит­ся ги­пер­бо­ли­че­ская спи­раль (рис. 11) – кри­вая, опи­сы­вае­мая точ­кой $M$, дви­жу­щей­ся по вра­щаю­щей­ся пря­мой $OA$ так, что её рас­стоя­ние от цен­тра вра­ще­ния ме­ня­ет­ся об­рат­но про­пор­цио­наль­но уг­лу по­во­ро­та. Урав­не­ние в по­ляр­ных ко­ор­ди­на­тах есть $ρ=a/φ$ . Кри­вая со­сто­ит из двух вет­вей, со­от­вет­ст­вую­щих по­ло­жи­тель­ным и от­ри­ца­тель­ным зна­че­ни­ям $φ$.

Осо­бый класс со­став­ля­ют про­из­вод­ные от др. кри­вых, т. е. по­лу­чен­ные из ис­ход­ных при по­мо­щи не­ко­то­рых опе­ра­ций, напр. по­го­ни ли­ния, эво­лю­та, эволь­вен­та.

Важ­ней­шей чи­сло­вой ха­рак­те­ри­сти­кой про­тя­жён­но­сти Л. яв­ля­ет­ся дли­на. Дли­ной от­рез­ка пря­мой на­зы­ва­ет­ся рас­стоя­ние ме­ж­ду его кон­ца­ми, из­ме­рен­ное с по­мо­щью к.-л. от­рез­ка, при­ня­то­го за еди­ни­цу дли­ны. Дли­на ло­ма­ной Л. оп­ре­де­ля­ет­ся как сум­ма длин её звень­ев. Дли­на про­стой ду­ги – пре­дел длин впи­сан­ных в эту ду­гу ло­ма­ных, ко­гда чис­ло звень­ев не­ог­ра­ни­чен­но уве­ли­чи­ва­ет­ся и мак­си­мум их длин стре­мит­ся к ну­лю. Напр., дли­на ок­руж­но­сти мо­жет быть по­лу­че­на как пре­дел пе­ри­мет­ров пра­виль­ных впи­сан­ных мно­го­уголь­ни­ков при не­ог­ра­ни­чен­ном уве­ли­че­нии чис­ла их сто­рон и рав­на $2πR$, где $R$ – ра­ди­ус ок­руж­но­сти. Дли­на не­пре­рыв­ной кри­вой, со­стоя­щей из ко­неч­но­го чис­ла про­стых дуг, рав­на сум­ме длин этих дуг. Вся­кая не­пре­рыв­ная кри­вая име­ет дли­ну, ко­неч­ную или бес­ко­неч­ную. Ес­ли дли­на кри­вой ко­неч­на, то она на­зы­ва­ет­ся спрям­ляе­мой.

Рис. 12.

Гра­фик функ­ции (рис. 12) $$f(x)=\left\{\begin{matrix}{x\:\text{sin}\frac{\pi}{2x}\; \text{при}\; 0<x<1}\\{0\; \text{при}\;x=0}\end{matrix}\right.$$да­ёт при­мер не­спрям­ляе­мой кри­вой; для этой Л. дли­ны впи­сан­ных ло­ма­ных не­ог­ра­ни­чен­но рас­тут, ко­гда дли­ны звень­ев стре­мят­ся к ну­лю.

Дли­на $l$ пло­ской кри­вой, за­дан­ной в пря­мо­уголь­ных ко­ор­ди­на­тах урав­не­ни­ем $y=f(x)$, $a⩽x⩽b$, где $f(x)$ име­ет не­пре­рыв­ную про­из­вод­ную $f(x)$, вы­ра­жа­ет­ся ин­те­гра­лом $$l=\int_a^b\sqrt{1+(f'(x))^2}dx.$$Ес­ли кри­вая за­да­на в па­ра­мет­рич. фор­ме $x=x(t)$, $y=y(t)$, $t_1⩽t⩽t_2$, то её дли­на вы­ра­жа­ет­ся ра­вен­ст­вом $$l=\int_{t_1}^{t_2}\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}dt.$$Дли­на спрям­ляе­мой кри­вой не за­ви­сит от спо­со­ба па­ра­мет­ри­за­ции. Дли­на про­стран­ст­вен­ной кри­вой, за­дан­ной в па­ра­мет­рич. фор­ме $x=x(t)$, $y=y(t)$, $z=z(t)$, $t_1{⩽}t{⩽}t_2$ , вы­ра­жа­ет­ся ра­вен­ст­вом $$l=\int_{t_1}^{t_2}\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2+(z'(t))^2}dt,$$

l=t2t1
а в слу­чае $n$-мер­но­го про­стран­ст­ва $$l=\int_{t_1}^{t_2} \sqrt{\sum_{i=1}^{n}{(x_j'(t))^2}}dt.$$К вы­чис­ле­нию дли­ны кри­вой при по­мо­щи пре­дель­но­го пе­ре­хо­да по дли­нам ло­ма­ных при­бе­га­ли, по су­ще­ст­ву, ещё мате­ма­ти­ки древ­но­сти. Для них, од­на­ко, этот пре­дель­ный пе­ре­ход был лишь спо­со­бом вы­чис­ле­ния дли­ны кри­вой, а не оп­ре­де­ле­ни­ем по­ня­тия дли­ны, т. к. по­след­нее им пред­став­ля­лось, по-ви­ди­мому, од­ним из ис­ход­ных ма­те­ма­тич. по­ня­тий. Не­об­хо­ди­мость оп­ре­де­ле­ния по­ня­тия дли­ны кри­вой бы­ла осо­зна­на в 1-й пол. 19 в. Яс­ность в во­про­се о дли­не кри­вой по­яви­лась лишь по­сле ра­бот М. Э. К. Жор­да­на (1880). В диф­фе­рен­ци­аль­ной гео­мет­рии оп­ре­де­ля­ет­ся так­же дли­на на по­верх­но­сти или в про­из­воль­ном ри­ма­но­вом про­стран­ст­ве.

Лит.: Уо­кер Р. Ал­геб­раи­че­ские кри­вые. М., 1952; Пар­хо­мен­ко А. С. Что та­кое ли­ния. М., 1954; Са­ве­лов А. А. Пло­ские кри­вые. Сис­те­ма­ти­ка, свой­ст­ва, при­ме­не­ния. М., 1960; По­го­ре­лов А. В. Диф­фе­рен­ци­аль­ная гео­мет­рия. 6-е изд. М., 1974; Мар­ку­ше­вич А. И. За­ме­ча­тель­ные кри­вые. 3-е изд. М., 1978; Фих­тен­гольц Г. М. Курс диф­фе­рен­ци­аль­но­го и ин­теграль­но­го ис­чис­ле­ния. 9-е изд. СПб., 2009. Т. 2.

Вернуться к началу