Подпишитесь на наши новости
Вернуться к началу с статьи up
 

ЛИНЕ́ЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИА́ЛЬНЫЕ УРАВНЕ́НИЯ

  • рубрика

    Рубрика: Математика

  • родственные статьи
  • image description

    В книжной версии

    Том 17. Москва, 2010, стр. 503-504

  • image description

    Скопировать библиографическую ссылку:




ЛИНЕ́ЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИА́ЛЬНЫЕ УРАВНЕ́НИЯ, диф­фе­рен­ци­аль­ные урав­не­ния ви­да $$y^{(n)}+p_1(x)у^{(n–1)}+ ...+p_n(x)y=f(x ),\tag1$$ где $у=y(x)$ – ис­ко­мая функ­ция, $y^{(n)}, у^{(n–1)}, ..., y^′$ – её про­из­вод­ные, a ко­эф. $p_1(x),p_2(x),...,p_n(x)$ и сво­бод­ный член $f(x)$ – за­дан­ные функ­ции. В урав­не­ние (1) ис­ко­мая функ­ция $y$ и её про­из­вод­н­ые вхо­дят в пер­вой сте­пе­ни, т. е. ли­ней­но, по­это­му оно на­зы­ва­ет­ся ли­ней­ным. Ес­ли $f(x)≡0$, то урав­не­ние (1) на­зы­ва­ет­ся од­но­род­ным, в про­тив­ном слу­чае – не­од­но­род­ным. Об­щее ре­ше­ние $y_0=y_0(x)$ од­но­род­но­го Л. д. у. при ус­ло­вии не­пре­рыв­но­сти его ко­эффициентов вы­ра­жа­ет­ся фор­му­лой $y_0=C_1y_1(x)+С_2у_2(х)+...+ +C_ny_n(x)$, где $C_1, C_2, ..., C_n$ – про­из­воль­ные по­сто­ян­ные и $y_1(x), у_2(х), ..., y_n(x)$ – ли­ней­но не­за­ви­си­мые ча­ст­ные ре­ше­ния (их со­во­куп­ность на­зы­ва­ет­ся фун­да­м. сис­те­мой ре­ше­ний). Кри­те­ри­ем ли­ней­ной не­за­ви­си­мо­сти ре­ше­ний слу­жит от­ли­чие от ну­ля (хо­тя бы в од­ной точ­ке) оп­ре­дели­те­ля Вронь­ско­го (врон­ски­а­на; на­зван по име­ни польск. учё­но­го Ю. Вронь­ско­го) $$W(x)= \begin{vmatrix} y_1(x) & y_2(x) & ... & y_n(x)\\ y'_1(x) & y'_2(x) & ... & y'_n(x)\\ ... & ... & ... & ...\\ y_1^{(n-1)}(x) & y_2^{(n-1)}(x) & ... & y_n^{(n-1)}(x) \end{vmatrix}.\tag2$$

Об­щее ре­ше­ние $y=y(x)$ не­од­но­род­но­го Л. д. у. (1) име­ет вид $y=y_0+Y$, где $y_0=y_0(x)$ – об­щее ре­ше­ние со­от­вет­ст­вую­ще­го од­но­род­но­го Л. д. у. и $Y=Y(x)$ – к.-л. ча­ст­ное ре­ше­ние дан­но­го не­од­но­род­но­го Л. д. у. Функ­ция $Y(x)$ мо­жет быть най­де­на по фор­му­ле $$Y(x)=\sum_{k=1}^{n}y_k(x)\int_{x_0}^{x}W_k(t)\text{exp}\left (\int_{x_0}^{t}p_k(u)du\right )f(t)dt,$$ где $y_k(x)$ – ре­ше­ния, со­став­ляю­щие фун­да­м. сис­те­му ре­ше­ний од­но­род­но­го Л. д. у., и $W_k(x)$ – ал­геб­ра­ич. до­пол­не­ние эле­мен­та $y_k^{(n–1)}(x)$ в оп­ре­де­ли­те­ле (2) Вронь­ско­го.

Ес­ли ко­эффициенты урав­не­ния (1) по­сто­ян­ны, т. е. $p_k(x)=a_k$, $k= 1,2,...,n$, то об­щее ре­ше­ние од­но­род­но­го урав­не­ния вы­ра­жа­ет­ся фор­му­лой $$y_0=\sum_{k=1}^{n}\sum_{s=0}^{n_k-1}x^se^{\alpha_kx}(C_{ks}\text{cos}\beta_kx + D_{ks}\text{sin}\beta_kx),$$ где $α_k+iβ_k$, $k= 1,2,...,n$, – кор­ни ха­рак­те­ри­стич. урав­не­ния $λ^n+a_1λ_{n-1}+...+a_n=0$, $n_k$ – крат­но­сти этих кор­ней, $C_{ks}$, $D_{ks}$ – про­из­воль­ные по­сто­ян­ные, $i$ – мни­мая еди­ни­ца.

При­мер. Для Л. д. у. $y′′′+у=0$ ха­рак­те­ри­стич. урав­не­ние име­ет вид $λ^3+ 1= 0$. Его кор­ня­ми яв­ля­ют­ся чис­ла $\lambda_1=-1,\;\lambda_2=1|2+i\sqrt3/2,\; \lambda_3=1/2-i\sqrt3/2$. По­это­му об­щее ре­ше­ние дан­но­го Л. д. у. есть $y=C_1e^{-x}+e^{x/2}(C_2\:\text{cos}\:x\sqrt3/2+C_3\:\text{sin}\:x\sqrt{3/2},$ где $C_1, C_2, C_3$ – про­из­воль­ные по­сто­янные.

Сис­те­мы Л. д. у. име­ют вид$$\frac{dy_j}{dx}=\sum_{k=1}^np_{jk}(x)y_k+f_j(x),\tag3$$$j=1, 2,..., n$, где $p_{jk}(x)$ и $f_j(x)$, $j$, $k=1,2,...,n$, – за­дан­ные функ­ции.

Об­щее ре­ше­ние од­но­род­ной сис­те­мы Л. д. у., по­лу­чае­мой из сис­те­мы (3), ес­ли $f_j(x)≡ 0$ для всех $j= 1,2,...,n$, име­ет вид $$y_j=\sum_{k=1}^nC_ky_{jk}(x),\; j=1,2,...,n,$$ где $y_{j1},y_{j2},...,y_{jn}$ – ли­ней­но не­за­ви­си­мые ча­ст­ные ре­ше­ния од­но­род­ной сис­те­мы (т. е. та­кие, что оп­ре­де­ли­тель $|y_{jk}(x)|$ от­ли­чен от ну­ля хо­тя бы в од­ной точ­ке).

В слу­чае по­сто­ян­ных ко­эффициентов $p_{jk}(x)=a_{jk}$ ча­ст­ные ре­ше­ния од­но­род­ной сис­те­мы сле­ду­ет ис­кать в ви­де: $$y_j(x)=(A_{j0}+A_{j1}x+...+A_{jn_k-1}x^{n_k-1})e^{\lambda_j}x,$$$j= 1,2,...,n$, где $A_{js}$ – по­сто­ян­ные, a $λ_k$ – кор­ни ха­рак­те­ри­стич. урав­не­ния $$\begin{vmatrix} a_{11}-\lambda & a_{12} & ... & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22}-\lambda & ... & a_{2n}\\ ... & ... & ... & ...\\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn}-\lambda \end{vmatrix}=0$$ и $n_k$ – крат­но­сти этих кор­ней.

Для ре­ше­ния Л. д. у. и сис­тем Л. д. у. с по­сто­ян­ны­ми ко­эффициентами при­ме­ня­ют­ся так­же ме­то­ды опе­ра­ци­он­но­го ис­чис­ле­ния.

Лит.: Смир­нов В. И. Курс выс­шей ма­те­ма­ти­ки. Т. 3. Ч. 2. 9-е изд. М., 1974. Т. 2. 24-е изд. СПб., 2008; Пон­тря­гин Л. С. Обык­но­вен­ные диф­фе­рен­ци­аль­ные урав­не­ния. 5-е изд. М., 1982; Сте­па­нов В. В. Курс диф­фе­рен­ци­аль­ных урав­не­ний. 10-е изд. М., 2008.

Вернуться к началу