Подпишитесь на наши новости
Вернуться к началу с статьи up
 

ЛИНЕ́ЙНОЕ УРАВНЕ́НИЕ

  • рубрика

    Рубрика: Математика

  • родственные статьи
  • image description

    В книжной версии

    Том 17. Москва, 2010, стр. 501-502

  • image description

    Скопировать библиографическую ссылку:




ЛИНЕ́ЙНОЕ УРАВНЕ́НИЕ, урав­не­ние, в ко­то­рое не­из­вест­ные вхо­дят в 1-й сте­пе­ни (т. е. ли­ней­но) и в ко­то­ром от­сут­ст­ву­ют чле­ны, со­дер­жа­щие про­из­ве­де­ния не­из­вест­ных. Неск. Л. у. от­но­си­тель­но од­них и тех же не­из­вест­ных об­ра­зу­ют сис­те­му Л. у. Ре­ше­ни­ем сис­те­мы Л. у. с $n$ не­из­вест­ны­ми на­зы­ва­ют на­бор чи­сел $c_1,...,c_n$, об­ра­щаю­щих все урав­не­ния в то­ж­де­ст­ва по­сле под­ста­нов­ки $c_1,...,c_n$ вме­сто со­от­вет­ст­вую­щих не­из­вест­ных. Сис­те­ма Л. у. мо­жет иметь как един­ст­вен­ное ре­ше­ние, так и бес­ко­неч­ное мно­же­ст­во ре­ше­ний (не­оп­ре­де­лён­ная сис­те­ма), мо­жет ока­зать­ся, что сис­те­ма Л. у. не име­ет ни од­но­го ре­ше­ния (не­со­вме­ст­ная сис­те­ма).

Ча­ще все­го встре­ча­ет­ся слу­чай, ко­гда чис­ло урав­не­ний сов­па­да­ет с чис­лом не­из­вест­ных. Од­но Л. у. с од­ним не­из­вест­ным име­ет вид $ax=b$. Его ре­ше­ни­ем при $а≠0$ яв­ля­ет­ся чис­ло $b/a$. При $а=0$ и $b=0$ лю­бое чис­ло $x$ яв­ля­ет­ся ре­ше­ни­ем это­го урав­не­ния; при $а=0$ и $b≠0$ это урав­не­ние не име­ет ре­ше­ния.

Сис­те­ма двух Л. у. с дву­мя не­из­вест­ны­ми име­ет вид$$\begin{matrix} a_{11}x_1+a_{12}x_2=b_1, \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2=b_2, \end{matrix}\tag1$$

где $a_{11}, a_{12}, a_{21}, a_{22}, b_1, b_2$ – про­из­воль­ные чис­ла. Ре­ше­ние сис­те­мы (1) мож­но за­пи­сать с по­мо­щью оп­ре­де­ли­те­лей: $$x_1=\frac{\begin{vmatrix} b_1 & a_{12} \\ b_2 & a_{22} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}}= \frac{b_1a_{22}-b_2a_{12}}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}},$$$$x_2=\frac{\begin{vmatrix} a_{11} & b_1 \\ a_{21} & b_2 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}}= \frac{b_2a_{11}-b_1a_{21}}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}},$$ здесь пред­по­ла­га­ет­ся, что стоя­щий в зна­ме­на­те­ле оп­ре­де­ли­тель $$D=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}$$ от­ли­чен от ну­ля. В чис­ли­те­лях сто­ят оп­ре­де­ли­те­ли, по­лу­чаю­щие­ся из $D$ за­ме­ной в нём од­но­го столб­ца столб­цом, со­стоя­щим из сво­бод­ных чле­нов $b_1, b_2$; в вы­ра­же­нии для 1-го не­из­вест­но­го $x_1$ за­ме­ня­ет­ся 1-й стол­бец, а в вы­ра­же­нии для 2-го не­из­вест­но­го $x_2$ – 2-й.

Ана­ло­гич­ное пра­ви­ло при­ме­ни­мо и при ре­ше­нии лю­бой сис­те­мы $n$ Л. у. с $n$ не­из­вест­ны­ми, т. е. сис­те­мы ви­да $$\begin{matrix} a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n=b_1,\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n=b_2,\\ ...............................\\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+...+a_{nn}x_n=b_n, \end{matrix}\;\;\;\;\;(2)$$

здесь $a _{ij}$ и $b_i$, $i$, $j=1,...,n$, – про­из­вольные чис­ла, при­чём $b_1,...,b_n$ обыч­но на­зы­ва­ют сво­бод­ны­ми чле­на­ми, а $a_{11},a_{12},...,a_{nn}$ – ко­эф­фи­ци­ен­та­ми. Ес­ли оп­ре­де­ли­тель $D=|a_{ij}|$ сис­те­мы (2), со­став­лен­ный из ко­эф. $a_{ij}$ при не­из­вест­ных, от­ли­чен от ну­ля, то ре­ше­ние по­лу­ча­ет­ся сле­дую­щим об­ра­зом: не­из­вест­ное $x_k$, $k=1, ..., n$, рав­но дро­би, в зна­мена­те­ле ко­то­рой сто­ит оп­ре­де­ли­тель $D$, а в чис­ли­те­ле – оп­ре­де­ли­тель, по­лу­чен­ный из $D$ за­ме­ной в нём $k$-го столб­ца из ко­эф­фи­ци­ен­тов столб­цом сво­бод­ных чле­нов. Ес­ли $D=0$, то сис­те­ма (2) ли­бо не име­ет ни од­но­го ре­ше­ния, ли­бо име­ет бес­ко­неч­ное мно­же­ст­во ре­ше­ний. Ес­ли $b_i=0$, $i=1,...,n$ (сис­те­му Л. у. на­зы­ва­ют в этом слу­чае од­но­род­ной), то при $D≠0$ ре­ше­ние сис­те­мы (2) бу­дет ну­ле­вым, $x_1=...=x_n=0$.

Ука­зан­ный спо­соб ре­ше­ния сис­тем (2) был пред­ло­жен Г. Кра­ме­ром (1750); пра­ви­ло для на­хо­ж­де­ния ре­ше­ния этих сис­тем но­сит назв. пра­ви­ла Кра­ме­ра. По­строе­ние пол­ной тео­рии сис­тем Л. у. бы­ло за­кон­че­но Л. Кро­не­ке­ром в сер. 19 в.

Об­щая сис­те­ма $m$ Л. у. с $n$ не­из­вест­ны­ми име­ет вид $$\begin{matrix} a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n=b_1,\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n=b_2,\\ ...............................\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+...+a_{mn}x_n=b_m, \end{matrix}\tag3$$

Во­прос о со­вме­ст­но­сти сис­те­мы Л. у. (3), т. е. во­прос о су­ще­ст­во­ва­нии ре­ше­ния, ре­ша­ет­ся срав­не­ни­ем ран­гов мат­риц$$A=\begin{Vmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n}\\ ... &... &... &... \\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} \end{Vmatrix},$$$$B=\begin{Vmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} & b_1\\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} & b_2 \\ ... &... &... &... &...\\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn}& b_m \end{Vmatrix}.$$

Ранг мат­ри­цы $B$ все­гда боль­ше или ра­вен ран­гу мат­ри­цы $A$. Ес­ли ран­ги сов­па­да­ют, то сис­те­ма со­вме­ст­на; ес­ли ранг мат­ри­цы $B$ боль­ше ран­га мат­ри­цы $A$, то сис­те­ма не­со­вме­ст­на (тео­ре­ма Кро­не­ке­ра–Ка­пел­ли). В слу­чае со­вме­ст­но­сти сис­те­мы её ре­ше­ния мож­но най­ти сле­дую­щим об­разом. Най­дя в мат­ри­це $A$ от­лич­ный от ну­ля ми­нор наи­боль­ше­го по­ряд­ка $r$, от­бра­сы­ва­ют $m – r$ урав­не­ний, ко­эф­фи­ци­ен­ты ко­то­рых не во­шли в этот ми­нор (от­бра­сы­вае­мые урав­не­ния яв­ля­ют­ся след­ст­вия­ми ос­тав­ших­ся, и по­это­му их мож­но не рас­смат­ри­вать); в ос­тав­ших­ся урав­не­ни­ях пе­ре­но­сят на­пра­во те не­из­вест­ные, ко­эф­фи­ци­ен­ты при ко­то­рых не во­шли в вы­бран­ный ми­нор (сво­бод­ные не­из­вест­ные). При­да­вая сво­бод­ным не­из­вест­ным лю­бые чи­сло­вые зна­че­ния, по­лу­ча­ют сис­те­му из $r$ урав­не­ний с $r$ не­из­вест­ны­ми, ко­то­рую мож­но ре­шить по пра­ви­лу Кра­ме­ра. Най­ден­ные зна­че­ния этих $r$ не­из­вест­ных вме­сте со зна­че­ния­ми сво­бод­ных не­из­вест­ных пред­став­ля­ют со­бой не­ко­то­рое ча­ст­ное (т. е. од­но из мн. воз­мож­ных) ре­ше­ние сис­те­мы (3). Мож­но, не при­да­вая сво­бод­ным не­из­вест­ным кон­крет­ных зна­че­ний, вы­ра­зить че­рез них ос­таль­ные не­из­вест­ные. Так по­лу­ча­ет­ся об­щее ре­ше­ние, т. е. ре­ше­ние, в ко­то­ром не­из­вест­ные вы­ра­же­ны че­рез па­ра­мет­ры; при­да­вая этим па­ра­мет­рам про­из­воль­ные зна­че­ния, мож­но по­лу­чить все ча­ст­ные ре­ше­ния сис­те­мы.

Од­но­род­ные сис­те­мы Л. у. мож­но ре­шать та­ким же спо­со­бом. Ре­ше­ния их об­ла­да­ют тем свой­ст­вом, что сум­ма, раз­ность и во­об­ще лю­бая ли­ней­ная ком­би­на­ция ре­ше­ний (рас­смат­ри­вае­мых как $n$-мер­ные век­то­ры) так­же бу­дет ре­ше­ни­ем сис­те­мы. Др. сло­ва­ми, со­во­куп­ность всех ре­ше­ний од­но­род­ной сис­те­мы Л. у. об­ра­зу­ет ли­ней­ное под­про­стран­ст­во $n$-мер­но­го век­тор­но­го про­стран­ст­ва. Сис­те­му ре­ше­ний, ко­то­рые са­ми ли­ней­но не­за­ви­си­мы и по­зво­ля­ют вы­ра­зить лю­бое др. ре­ше­ние в ви­де их ли­ней­ной ком­бина­ции (т. е. ба­зис ли­ней­но­го под­про­стран­ст­ва), на­зы­ва­ют фун­да­мен­таль­ной сис­те­мой ре­ше­ний од­но­род­ной сис­те­мы ли­ней­ных урав­не­ний.

Ме­ж­ду ре­ше­ния­ми сис­те­мы Л. у. (3) и со­от­вет­ст­вую­щей од­но­род­ной сис­те­мы Л. у. (т. е. урав­не­ний с те­ми же ко­эф­фи­ци­ен­та­ми при не­из­вест­ных, но со сво­бод­ны­ми чле­на­ми, рав­ны­ми ну­лю) су­ще­ст­ву­ет про­стая связь: об­щее ре­ше­ние не­од­но­род­ной сис­те­мы по­лу­ча­ет­ся из об­ще­го ре­ше­ния од­но­род­ной сис­те­мы при­бав­ле­ни­ем к не­му к.-л. ча­ст­но­го ре­ше­ния не­од­но­род­ной сис­те­мы ли­ней­ных урав­не­ний.

При­ме­не­ние пра­ви­ла Кра­ме­ра при прак­тич. ре­ше­нии сис­тем Л. у. боль­ших по­ряд­ков мо­жет встре­тить зна­чит. труд­но­сти, т. к. вычисле­ние оп­ре­де­ли­те­лей вы­со­ко­го по­ряд­ка свя­за­но с боль­ши­ми трудностями. Од­ним из ме­то­дов ре­ше­ния сис­те­мы (2), в ко­то­ром не тре­бу­ет­ся вы­чис­ле­ние оп­ре­де­ли­те­лей, яв­ля­ет­ся ме­тод Га­ус­са; с его по­мо­щью эта сис­те­ма в слу­чае, ко­гда её ре­ше­ние су­ще­ст­ву­ет и един­ст­вен­но, при­во­дит­ся к ви­ду$$\begin{matrix} c_{11}x_1+c_{12}x_2+...+c_{1n}x_n=d_1,\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;c_{22}x_2+...+c_{2n}x_n=d_2,\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;...\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;c_{nn}x_n=d_n, \end{matrix}\tag4$$ где мат­ри­ца сис­те­мы урав­не­ний име­ет тре­уголь­ный вид, при­чём все ко­эф­фи­ци­ен­ты $c_{kk}$, $k=1,...,n$, на гл. диа­го­на­ли от­лич­ны от ну­ля. Для то­го что­бы сис­те­му (2) при­вес­ти к ви­ду (4), дос­та­точ­но за­ме­тить, что в слу­чае, ко­гда ре­ше­ние сис­те­мы (2) су­ще­ст­ву­ет и един­ст­вен­но, мож­но счи­тать, что ко­эф. $a_{11}$ в (2) от­личен от ну­ля; вы­пол­не­ния это­го ус­ло­вия мож­но до­бить­ся пе­ре­ста­нов­кой строк в сис­те­ме (2). Вы­чи­та­ни­ем из ка­ж­до­го урав­не­ния сис­те­мы (4), на­чи­ная со 2-го, 1-го урав­не­ния сис­те­мы (2), ум­но­жен­но­го на $a_{k1}/a_{11}$, $k=2, ..., n$, по­лу­ча­ют си­с­те­му $$\begin{matrix} a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n=b_1,\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;a'_{22}x_2+...+a'_{2n}x_n=b'_2,\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; ...\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;a'_{n2}x_2+...+a'_{nn}x_n=b'_n, \end{matrix}$$ эк­ви­ва­лент­ную ис­ход­ной, в ко­то­рой не­из­вест­ное $x_1$ ис­клю­че­но из всех урав­не­ний, на­чи­ная со 2-го. По­вто­ряя эту про­це­ду­ру, при­хо­дят к сис­те­ме, в ко­то­рой не­из­вест­ные $x_1$ и $x_2$ ис­клю­че­ны из всех урав­не­ний, на­чи­ная с 3-го, и т. д., по­ка не по­лу­чит­ся сис­те­ма (4). Ре­ше­ние сис­те­мы (4) не пред­став­ля­ет тру­да, по­сколь­ку $x_n=d_n/c_{nn}$; зная ве­ли­чи­ну $x_n$, из пред­по­след­не­го урав­не­ния оп­ре­де­ля­ют ве­ли­чи­ну $x_{n-1}$ и т. д., на­ко­нец, зная ве­ли­чи­ны $x_2, ..., x_n$, из 1-го урав­не­ния си­с­те­мы (2) на­хо­дят $x_1$. В об­щем слу­чае опи­сан­ный ме­тод по­зво­ля­ет при­вес­ти сис­те­му (2) к эк­ви­ва­лент­ной сис­те­ме, для ко­то­рой ре­ше­ние во­про­са о су­ще­ст­во­ва­нии и един­ст­вен­но­сти ре­ше­ния не пред­став­ля­ет труд­но­стей.

Су­ще­ст­ву­ют так­же разл. ме­то­ды чис­лен­но­го (при­бли­жён­но­го) ре­ше­ния сис­тем ли­ней­ных урав­не­ний.

Лит.: Фад­де­ев Д. К., Фад­дее­ва В. Н. Вы­чис­ли­тель­ные ме­то­ды ли­ней­ной ал­геб­ры. 3-е изд. СПб., 2002.

Вернуться к началу