Подпишитесь на наши новости
Вернуться к началу с статьи up
 

ЛИНЕ́ЙНОЕ ПРЕОБРАЗОВА́НИЕ

  • рубрика

    Рубрика: Математика

  • родственные статьи
  • image description

    В книжной версии

    Том 17. Москва, 2010, стр. 500

  • image description

    Скопировать библиографическую ссылку:




ЛИНЕ́ЙНОЕ ПРЕОБРАЗОВА́НИЕ век­тор­но­го про­стран­ст­ва, ли­ней­ное ото­бра­же­ние век­тор­но­го про­стран­ст­ва $L$ в се­бя, т. е. ото­бра­же­ние $𝒜: L→L$, при ко­то­ром ка­ж­до­му век­то­ру $x∈L$ со­пос­тав­ля­ет­ся не­ко­то­рый век­тор $𝒜x∈L$, его об­раз, и при этом$$𝒜(x+y)= 𝒜x+𝒜y,$$$$𝒜(αx)=α 𝒜x$$для лю­бых век­то­ров $x$, $y∈L$ и лю­бо­го $α$ из по­ля $k$, над ко­то­рым рас­смат­ри­ва­ет­ся век­тор­ное про­стран­ст­во $L$. Л. п. век­тор­но­го про­стран­ст­ва $L$ на­зы­ва­ет­ся так­же ли­ней­ным опе­ра­то­ром из $L$ в $L$, а так­же эн­до­мор­физ­мом про­стран­ст­ва $L$. Ес­ли $𝒜$ и $𝓑$ – Л. п. про­стран­ст­ва $L$, то $𝒜+𝓑$, $𝒜𝓑$ и $α𝒜$ для лю­бо­го $α∈k$ так­же яв­ля­ют­ся Л. п. про­стран­ст­ва $L$.

При­ме­ра­ми Л. п. яв­ля­ют­ся: то­ж­де­ст­вен­ное пре­об­ра­зо­ва­ние, ос­тав­ляю­щее все век­то­ры про­стран­ст­ва $L$ без из­ме­не­ния; ну­ле­вое Л. п., со­пос­тав­ляю­щее ка­ж­до­му век­то­ру из $L$ ну­ле­вой век­тор; по­во­рот плос­ко­сти на не­ко­то­рый угол; диф­фе­рен­ци­ро­ва­ние в про­стран­ст­ве мно­го­чле­нов сте­пе­ни не вы­ше не­ко­то­ро­го чис­ла $m$.

Л. п. $𝒜$ со­от­вет­ст­ву­ет мат­ри­ца $A$ это­го Л. п. та­кая, что $Ax=𝒜x$ для всех $x∈L$. Пусть в про­стран­ст­ве $L$ за­дан ба­зис $e_1,...,e_n$. Мат­ри­цей Л. п. $𝒜$ в этом ба­зи­се яв­ля­ет­ся мат­ри­ца $A$, $j$-й стол­бец ко­то­рой со­сто­ит из ко­ор­ди­нат век­то­ра $Ae_j$ в ба­зи­се $e_1,...,e_n$. То­ж­де­ст­вен­ное Л. п. име­ет в лю­бом ба­зи­се еди­нич­ную мат­ри­цу, ну­ле­вое Л. п. – ну­ле­вую мат­ри­цу; мат­ри­ца диф­фе­рен­ци­ро­ва­ния в про­стран­ст­ве мно­го­чле­нов сте­пе­ни не вы­ше $m$ в ба­зи­се 1, $x,...,x^m$ име­ет вид\begin{Vmatrix} 0 & 1 & 0 & ... & 0\\ 0 & 0 & 2 & ... & 0\\ & & & ... & \\ 0 & 0 & 0 & ... & m \\ 0 & 0 & 0 & ... & 0 \end{Vmatrix}.

При пе­ре­хо­де к др. ба­зи­су мат­ри­ца $A$ Л. п. $𝒜$ за­ме­ня­ет­ся по­доб­ной мат­ри­цей $S^{-1}AS$, где $S$ – мат­ри­ца пе­ре­хо­да от ба­зи­са $e_1,...,e_n$ к ба­зи­су $e'_1,...,e'_n$. По­это­му оп­ре­де­ли­тель $det A$ мат­ри­цы Л. п.$A$ не за­ви­сит от вы­бо­ра ба­зи­са; он на­зы­ва­ет­ся оп­ре­де­ли­те­лем Л. п. $𝒜$.

Л. п. $𝒜$ на­зы­ва­ет­ся не­вы­ро­ж­ден­ным (или ав­то­мор­физ­мом), ес­ли $\text{det}\: A≠0$, и вы­ро­ж­ден­ным в про­тив­ном слу­чае. Л. п. $𝒜$ яв­ля­ет­ся не­вы­ро­ж­ден­ным то­гда и толь­ко то­гда, ко­гда ранг мат­ри­цы $A$ ра­вен раз­мер­но­сти про­стран­ст­ва $L$.

Под­про­стран­ст­во $L′$ про­стран­ст­ва $L$ на­зы­ва­ет­ся ин­ва­ри­ант­ным под­про­стран­ст­вом Л. п. $𝒜$, ес­ли для ка­ж­до­го век­то­ра $x∈L′$ его об­раз $𝒜x$ так­же при­над­ле­жит $L′$. Не­ну­ле­вой век­тор $x∈L$ на­зы­ва­ет­ся соб­ст­вен­ным век­то­ром Л. п. $𝒜$, ес­ли су­ще­ст­ву­ет та­кой эле­мент $λ∈k$, что

$𝒜x=λx.$

Эле­мент $λ$ , для ко­то­ро­го вы­пол­ня­ет­ся это ра­вен­ст­во, на­зы­ва­ет­ся соб­ст­вен­ным зна­че­ни­ем Л. п., а о соб­ст­вен­ном век­то­ре $x$ го­во­рят, что он при­над­ле­жит соб­ст­вен­но­му зна­че­нию $λ$. Ка­ж­дый соб­ст­вен­ный век­тор $x$ Л. п. $𝒜$ по­ро­ж­да­ет од­но­мер­ное ин­ва­ри­ант­ное под­про­стран­ст­во $\left \{αx:α∈k\right \}$ Л. п. $𝒜$ . Эле­мент $λ$ из по­ля $k$ яв­ля­ет­ся соб­ст­вен­ным зна­че­ни­ем Л. п. $𝒜$ то­гда и толь­ко то­гда, ко­гда $λ$ яв­ля­ет­ся кор­нем ха­рак­те­ри­стич. мно­го­чле­на $p(λ)=\text{det}(A-λE)$ мат­ри­цы $A$, где $A$ – мат­ри­ца Л. п. $𝒜$ в не­ко­то­ром ба­зи­се, $E$ – еди­нич­ная мат­ри­ца. Мно­го­член $p(λ)$ не за­ви­сит от вы­бо­ра ба­зи­са и на­зы­ва­ет­ся так­же ха­рак­те­ри­стич. мно­го­чле­ном Л. п. $𝒜$.

Мат­ри­ца Л. п. $𝒜$ име­ет в дан­ном ба­зи­се диа­го­наль­ный вид то­гда и толь­ко то­гда, ко­гда ба­зис со­сто­ит из соб­ст­вен­ных век­то­ров; при этом на диа­го­на­ли мат­ри­цы сто­ят соб­ст­вен­ные зна­че­ния, ка­ж­дое из ко­то­рых встре­ча­ет­ся столь­ко раз, ка­ко­ва крат­ность это­го соб­ст­вен­но­го зна­че­ния как кор­ня ха­рак­те­ри­стич. мно­го­чле­на. Ба­зис из соб­ст­вен­ных век­то­ров су­ще­ст­ву­ет, в ча­ст­но­сти, в том слу­чае, ко­гда ха­рак­те­ри­стич. мно­го­член име­ет $n$ разл. кор­ней в по­ле $k$, где $n$ – раз­мер­ность про­стран­ст­ва $L$. Ес­ли ха­рак­те­ри­стич. мно­го­член име­ет крат­ный ко­рень, то мат­ри­цу Л. п., во­об­ще го­во­ря, нель­зя при­вес­ти к диа­го­наль­но­му ви­ду. В этом слу­чае рас­смат­ри­ва­ет­ся т. н. жор­да­но­ва нор­маль­ная фор­ма мат­ри­цы.

Лит.: Курош А. Г. Курс высшей алгебры. 17-е изд. М., 2008.

Вернуться к началу