Подпишитесь на наши новости
Вернуться к началу с статьи up
 

КРИВОЛИНЕ́ЙНЫЙ ИНТЕГРА́Л

  • рубрика

    Рубрика: Математика

  • родственные статьи
  • image description

    В книжной версии

    Том 16. Москва, 2010, стр. 18

  • image description

    Скопировать библиографическую ссылку:




КРИВОЛИНЕ́ЙНЫЙ ИНТЕГРА́Л, ин­те­грал вдоль кри­вой (на плос­ко­сти или в про­стран­ст­ве). Раз­ли­ча­ют К. и. 1-го и 2-го ро­да (ти­па). К. и. 1-го ро­да воз­ни­ка­ет, напр., в за­да­че о вы­чис­ле­нии мас­сы ма­те­ри­аль­ной кри­вой пе­ре­мен­ной плот­но­сти, он обо­зна­ча­ет­ся $$\int \limits_Cf(M)ds$$где $C$ – за­дан­ная кри­вая, $ds$ – диф­фе­рен­ци­ал её ду­ги, а $f(M)$ – функ­ция точ­ки $M$ на кри­вой (плот­ность). Этот ин­те­грал пред­став­ля­ет со­бой пре­дел со­от­вет­ст­вую­щих ин­те­граль­ных сумм (см. Ин­те­грал). В слу­чае пло­ской кри­вой $C$, за­дан­ной урав­не­ни­ем $y=y(x), a⩽x⩽b$, К. и. 1-го ро­да сво­дит­ся к ин­те­гра­лу по от­рез­ку$$\int \limits _Cf(M)ds=\int \limits_a^bf(x,y(x))\sqrt {1+(y'(x))^2dx}.$$

К. и. 2-го ро­да воз­ни­ка­ет, напр., в за­да­че о ра­бо­те си­ло­во­го по­ля. В слу­чае пло­ской кри­вой он име­ет вид $$\int \limits _C P(x,y)dx+Q(x,y)dy,$$где $P(x,y)$ и $Q(x,y)$ – функ­ции (ком­по­нен­ты по­ля), за­дан­ные на C. Он так­же яв­ля­ет­ся пре­де­лом со­от­вет­ст­вую­щих ин­те­граль­ных сумм. К. и. 2-го ро­да по замк­ну­той кри­вой час­то обо­зна­ча­ют$$\oint \limits _CPdx=Qdy.$$

К. и. 2-го ро­да сво­дит­ся к ин­те­гра­лу по от­рез­ку по фор­му­ле $$\oint \limits _C P(x,y)dx+Q(x,y)dy=\int \limits_\alpha^\beta(P(x(t),y(t))x'(t)+Q(x(t),y(t))y'(t))dt,$$где $x=x(t), y=y(t), α⩽t⩽β$, – урав­нение кри­вой $C$ в па­ра­мет­рич. фор­ме, и к К. и. 1-го ро­да по фор­му­ле$$\int \limits _C P(x,y)dx+Q(x,y)dy=\int \limits _C(P\cos \varphi+Q\sin\varphi)ds, $$где $φ$ – угол ме­ж­ду осью $OX$ и ка­са­тель­ной к кри­вой, на­прав­лен­ной в сто­ро­ну воз­рас­та­ния дли­ны ду­ги.

О свя­зи К. и. 2-го ро­да с двой­ны­ми и по­верх­но­ст­ны­ми ин­те­гра­ла­ми см. в стать­ях Гри­на фор­му­лы и Сто­кса фор­му­ла.

К. и. впер­вые встре­ча­ют­ся у А. Кле­ро (1743), в об­щем ви­де их ввёл О. Ко­ши (1825).

Лит.: Иль­ин В. А., По­зняк ЭГ. Ос­но­вы ма­те­ма­ти­че­ско­го ана­ли­за. 4-е изд. М., 2002. Т. 2; Фих­тен­гольц Г. М. Ос­но­вы ма­те­ма­ти­че­ско­го ана­ли­за. 6-е изд. СПб. [и др.], 2005. Ч. 2.

Вернуться к началу