Подпишитесь на наши новости
Вернуться к началу с статьи up
 

КРИВИЗНА́

  • рубрика

    Рубрика: Математика

  • родственные статьи
  • image description

    В книжной версии

    Том 16. Москва, 2010, стр. 15

  • image description

    Скопировать библиографическую ссылку:




КРИВИЗНА́, ве­ли­чи­на, ха­рак­те­ри­зую­щая от­кло­не­ние кри­вой (по­верх­но­сти) от пря­мой (плос­ко­сти). От­кло­не­ние ду­ги MM кри­вой $L$ от ка­са­тель­ной $MT$ в точ­ке $M$ (рис.) мож­но оха­рак­те­ри­зо­вать с по­мощью т. н. сред­ней К. $k_{cp}$ этой ду­ги, рав­ной от­но­ше­нию $α/Δs$ ве­ли­чи­ны α уг­ла ме­ж­ду ка­са­тель­ны­ми в точ­ках $M$ и $M'$ к дли­не $Δs$ ду­ги $MM'$. Для ду­ги ок­руж­но­сти сред­няя К. в ка­ж­дой точ­ке рав­на ве­ли­чи­не, об­рат­ной ра­диу­су этой ок­руж­но­сти, и ха­рак­те­ри­зу­ет сте­пень ис­крив­лён­но­сти ок­руж­но­сти: с умень­ше­ни­ем ра­диу­са уве­ли­чи­ва­ет­ся ис­крив­лён­ность ду­ги. Пре­дель­ное зна­че­ние сред­ней К. при стрем­ле­нии точ­ки $M'$ к точ­ке $M$, т. е. при $Δs→ 0$, на­зы­ва­ет­ся К. $k$ кри­вой $L$ в точ­ке $M$$$k=\lim_{M'\to M}k_{ср}=\lim_{\Delta s \to 0}\frac {\alpha}{\Delta s}.$$Ве­ли­чи­ну $R=1/k$, об­рат­ную К., обыч­но на­зы­ва­ют ра­диу­сом К. кри­вой $L$ в точ­ке $M$.

Ес­ли кри­вая $L$ яв­ля­ет­ся гра­фи­ком функ­ции $у=f(x)$, то К. $k$ этой кри­вой в точ­ке $x$ мо­жет быть вы­чис­ле­на по фор­му­ле $$k=\frac{|f''(x)|}{(1+f'^2(x))^{3/2}}.$$К. $k$ кри­вой $L$ пред­став­ля­ет со­бой, во­обще го­во­ря, функ­цию дли­ны ду­ги $s$, от­счи­ты­вае­мой от не­ко­то­рой точ­ки $M$ этой кри­вой. Ес­ли для двух пло­ских кри­вых $L_1$ и $L_2$ К. как функ­ции дли­ны ду­ги оди­на­ко­вы, то кри­вые $L_1$ и $L_2$ кон­гру­энт­ны, т. е. они мо­гут быть со­вме­ще­ны дви­же­ни­ем. Урав­не­ние, за­даю­щее пло­скую кри­вую с по­мо­щью К. $k$ как функ­цию дли­ны ду­ги, обыч­но на­зы­ва­ет­ся на­ту­раль­ным урав­не­ни­ем этой кри­вой.

Для ха­рак­те­ри­сти­ки от­кло­не­ния про­стран­ст­вен­ной кри­вой $L$ от плос­ко­сти вво­дят по­ня­тие кру­че­ния. К. и кру­че­ние, за­дан­ные как функ­ции дли­ны ду­ги, оп­ре­де­ля­ют кри­вую $L$ с точ­но­стью до по­ло­же­ния в про­стран­ст­ве.

Опи­са­ние от­кло­не­ния по­верх­но­сти от плос­ко­сти мо­жет быть про­ве­де­но сле­дую­щим об­ра­зом. Че­рез нор­маль в дан­ной точ­ке $M$ по­верх­но­сти про­во­дят все­воз­мож­ные плос­ко­сти. Се­че­ния по­верх­но­сти эти­ми плос­ко­стя­ми на­зы­ва­ют нор­маль­ны­ми се­че­ния­ми, а К. нор­маль­ных се­че­ний в точ­ке $M$ – нор­маль­ны­ми К. по­верх­но­сти в этой точ­ке. Мак­си­маль­ная и ми­ни­маль­ная из нор­маль­ных К. в дан­ной точ­ке $M$ на­зы­ва­ют­ся глав­ны­ми К. Ве­ли­чи­ны $K=k_1k_2$ и $Н=(k_1+k_2)/2$, где $k_1$ и $k_2$ – глав­ные К., на­зы­ва­ют­ся со­от­вет­ст­вен­но га­ус­со­вой К. и сред­ней К. по­верх­но­сти в точ­ке $M$. Эти К. по­верх­но­сти оп­ре­де­ля­ют нор­маль­ные К., по­это­му они мо­гут слу­жить ха­рак­те­ри­сти­ка­ми от­кло­не­ния по­верх­но­сти от плос­ко­сти. В ча­ст­но­сти, ес­ли $K=0$ и $H=0$ во всех точ­ках по­верх­но­сти, то она яв­ля­ет­ся плос­ко­стью.

Га­ус­со­ва К. не ме­ня­ет­ся при из­ги­ба­ни­ях по­верх­но­сти. Ес­ли, напр., га­ус­со­ва К. рав­на ну­лю во всех точ­ках по­верх­но­сти, то ка­ж­дый дос­та­точ­но ма­лый её ку­сок мо­жет быть из­ги­ба­ни­ем сде­лан пло­ским. Га­ус­со­ва К. на по­верх­но­сти без об­ра­ще­ния к объ­ем­лю­ще­му про­стран­ст­ву со­став­ля­ет объ­ект т. н. внут­рен­ней гео­мет­рии по­верх­но­сти. Сред­няя К. свя­за­на с внеш­ней фор­мой по­верх­но­сти.

По­ня­тие К. обоб­ща­ет­ся на объ­ек­ты бо­лее об­щей при­ро­ды. Напр., оно воз­ни­ка­ет в т. н. ри­ма­но­вых про­стран­ст­вах (см. Ри­ма­но­ва гео­мет­рия), пред­став­ляя со­бой ме­ру от­кло­не­ния этих про­странств от евк­ли­до­вых.

Лит.: Бляш­ке В. Диф­фе­рен­ци­аль­ная гео­мет­рия и гео­мет­ри­че­ские ос­но­вы тео­рии от­но­си­тель­но­сти Эйн­штей­на. М.; Л., 1935. Т. 1; По­го­ре­лов А. В. Диф­фе­рен­ци­аль­ная гео­мет­рия. 6-е изд. М., 1974; Ра­шев­ский П. К. Кри­виз­на // Ра­шев­ский П. К. Курс диф­фе­рен­ци­аль­ной гео­мет­рии. 5-е изд. М., 2008.

Вернуться к началу