Подпишитесь на наши новости
Вернуться к началу с статьи up
 

КРА́ТНЫЙ ИНТЕГРА́Л

  • рубрика

    Рубрика: Математика

  • родственные статьи
  • image description

    В книжной версии

    Том 15. Москва, 2010, стр. 653

  • image description

    Скопировать библиографическую ссылку:




КРА́ТНЫЙ ИНТЕГРА́Л, ин­те­грал от функ­ции мно­гих пе­ре­мен­ных $f(x_1,...,x_m), m⩾ 2$, взя­тый по об­лас­ти $m$-мер­но­го про­стран­ст­ва. При $m=2$ К. и. на­зы­ва­ют двой­ным ин­те­гра­лом, при $m=3$ – трой­ным.

Ха­рак­тер­ным при­ме­ром яв­ля­ют­ся двой­ные ин­те­гра­лы. Пусть функ­ция $f(x,y)$ за­да­на в квад­ри­руе­мой об­лас­ти $D$ на плос­ко­сти. Об­ласть $D$ раз­би­ва­ют на $n$ час­тич­ных об­лас­тей $d_i$, ко­то­рые име­ют пло­ща­ди $s_i$. В ка­ж­дой об­лас­ти $d_i$ про­из­воль­ным об­ра­зом вы­би­ра­ет­ся (см. рис.) точ­ка $(x_i,y_i)$ и со­став­ля­ет­ся ин­те­граль­ная сум­ма $$S_n=\sum_{i=1}^nf(x_i,y_i)s_i.$$Ес­ли при не­ог­ра­ни­чен­ном умень­ше­нии макс. диа­мет­ра об­лас­тей $d_i, i=1,...,n$, сум­мы $S_n$ име­ют пре­дел, не за­ви­ся­щий от вы­бо­ра об­лас­тей $d_i$ и то­чек $(x_i,y_i)$, то этот пре­дел на­зы­ва­ют двой­ным ин­те­гралом от функ­ции $f(x,y)$ по об­лас­ти $D$ и обо­зна­ча­ют $$\iint_{D}f(x,y)ds,$$ Ес­ли функ­ция $f$ не­пре­рыв­на и об­ласть $D$ замк­ну­та, то ин­те­грал за­ве­до­мо су­ще­ст­ву­ет. Ана­ло­гич­но оп­ре­де­ля­ют­ся трой­ной ин­те­грал и во­об­ще $m$-крат­ные ин­те­гра­лы.

На К. и. пе­ре­но­сят­ся мн. свой­ст­ва ин­те­гра­ла Ри­ма­на по от­рез­ку (ли­ней­ность, ад­ди­тив­ность от­но­си­тель­но об­лас­ти ин­тег­ри­ро­ва­ния, воз­мож­ность ин­тег­ри­ро­ва­ния не­ра­венств и др.). Вме­сте с тем ин­тег­ри­руе­мая функ­ция мно­гих пе­ре­мен­ных мо­жет быть и не­ог­ра­ни­чен­ной на $D$.

Для вы­чис­ле­ния К. и. их обыч­но сво­дят к ин­те­гра­лам от мень­ше­го чис­ла пе­ре­мен­ных (см. По­втор­ный ин­те­грал). Для при­бли­жён­но­го вы­чис­ле­ния ис­поль­зу­ют т. н. ку­ба­тур­ные фор­му­лы.

К. и. име­ют разл. при­ме­не­ния, с их по­мо­щью вы­ра­жа­ют­ся объ­ё­мы и мас­сы тел, ста­тич. мо­мен­ты, мо­мен­ты инер­ции и т. п.

Лит.: Ни­коль­ский С. М. Курс ма­те­ма­ти­че­ско­го ана­ли­за. М., 1991. Т. 2; Фих­тен­гольц Г. М. Ос­но­вы ма­те­ма­ти­че­ско­го ана­ли­за. 7-е изд. М., 2002. Т. 2; Иль­ин В. А., Са­дов­ни­чий В. А., Сен­дов Бл. Х. Ма­те­ма­ти­че­ский ана­лиз. 2-е изд. М., 2004. Ч. 2.

Вернуться к началу