Подпишитесь на наши новости
Вернуться к началу с статьи up
 

КРАЕВЫ́Е ЗАДА́ЧИ

  • рубрика

    Рубрика: Математика

  • родственные статьи
  • image description

    В книжной версии

    Том 15. Москва, 2010, стр. 563

  • image description

    Скопировать библиографическую ссылку:




КРАЕВЫ́Е ЗАДА́ЧИ, за­да­чи, в ко­то­рых из не­ко­то­ро­го клас­са функ­ций, оп­ре­де­лён­ных в дан­ной об­лас­ти, тре­бу­ет­ся вы­де­лить ту, ко­то­рая удов­ле­тво­ря­ет за­дан­ным на гра­ни­це (крае) этой об­лас­ти ус­ло­ви­ям. Функ­ции, опи­сы­ваю­щие ре­аль­ные про­цес­сы (фи­зич., хи­мич. и др.), как пра­ви­ло, пред­став­ля­ют со­бой ре­ше­ния урав­не­ний ма­те­ма­тич. фи­зи­ки, вы­ве­ден­ных из об­щих за­ко­нов, опи­сы­ваю­щих эти про­цес­сы. Ко­гда рас­смат­ри­вае­мые урав­не­ния до­пус­ка­ют це­лые се­мей­ст­ва ре­ше­ний, до­пол­ни­тель­но за­да­ют т. н. крае­вые (гра­нич­ные) или на­чаль­ные ус­ло­вия, по­зво­ляю­щие од­но­знач­но вы­де­лить нуж­ное ре­ше­ние. Крае­вые ус­ло­вия за­да­ют­ся в гра­нич­ных точ­ках об­лас­ти, где ищет­ся ре­ше­ние, на­чаль­ные ус­ло­вия мо­гут за­да­вать­ся на оп­ре­де­лён­ном мно­же­ст­ве то­чек внут­ри об­лас­ти. Напр., урав­не­ние $$\frac{\partial^2u}{\partial x_1^2}-\frac{\partial^2u}{\partial x_2^2}=0\tag1$$ име­ет бес­ко­неч­ное мно­же­ст­во ре­ше­ний $u(x_1,x_2)=f(x_1+x_2)+g(x_1-x_2)$, где $f$ и $g$ – про­из­воль­ные два­ж­ды не­пре­рыв­но диф­фе­рен­ци­руе­мые функ­ции. Од­на­ко в пря­мо­уголь­ни­ке $\left\{ 0⩽x_1⩽l, -a⩽x_2⩽a \right\}$ плос­ко­сти с пря­мо­уголь­ны­ми де­кар­то­вы­ми ко­ор­ди­на­та­ми $x_1,x_2$ урав­не­ние (1) име­ет един­ст­вен­ное ре­ше­ние $u(x_1,x_2)$, удов­ле­тво­ряю­щее крае­вым $$u(0,x_2)=0,\\ u(l,x_2)=0, -a⩽x_2⩽a,\tag2$$ и на­чаль­ным$$u(x_1,0)=φ(x_1),\\ \frac{\partial u(x_1,x_2)}{\partial x_2}|_{x_2=0}=ψ(x_1),\,0⩽x_1⩽l\tag3$$ ус­ло­ви­ям. При этом функ­ции $φ$ и $ψ$ (со­от­вет­ст­вен­но два­ж­ды и один раз не­пре­рыв­но диф­фе­рен­ци­руе­мые) счи­та­ют­ся за­дан­ны­ми. Ес­ли пе­ре­мен­ная $x_2$ есть вре­мя $t$, то ре­ше­ние $u(x_1,t)$ урав­не­ния (1), удов­ле­тво­ряю­щее ус­ло­ви­ям (2) и (3), опи­сы­ва­ет ко­ле­ба­ние уп­ру­гой стру­ны дли­ны $l$ с кон­ца­ми, за­кре­п­лён­ны­ми в точ­ках $(0, 0)$ и $(0,l)$. За­да­ча на­хо­ж­де­ния ре­ше­ния урав­не­ния (1) при ус­ло­ви­ях (2) и (3) да­ёт при­мер т. н. сме­шан­ной за­да­чи.

Крае­вы­ми на­зы­ва­ют­ся за­да­чи, для ко­то­рых в за­дан­ной об­лас­ти $G$ про­стран­ст­ва не­за­ви­си­мых пе­ре­мен­ных $x=(x_1,...,x_n)$ ищет­ся ре­ше­ние $u(x)=u(x_1,...,x_n)$ урав­не­ния $$Du(x)=0, x∈G,\tag4$$ при этом тре­бу­ет­ся, что­бы ис­ко­мая функ­ция $u(x)$ на гра­ни­це $S$ об­лас­ти $G$ удов­ле­тво­ря­ла крае­во­му (гра­нич­но­му) ус­ло­вию $$Bu(x)=0, x∈S,\tag5$$ где $D$ и $B$ – за­дан­ные опе­ра­то­ры, при­чём, как пра­ви­ло, $D$ – диф­фе­рен­ци­аль­ный или ин­тег­ро-диф­фе­рен­ци­аль­ный опе­ра­тор. Гра­ни­ца $S$ на­зы­ва­ет­ся но­си­те­лем крае­вых дан­ных (5).

В слу­чае, ко­гда опе­ра­то­ры $D$ и $B$ ли­ней­ны, К. з. (4), (5) на­зы­ва­ет­ся ли­ней­ной. В пред­по­ло­же­ни­ях, что $S$ яв­ля­ет­ся $(n-1)$-мер­ной ги­пер­по­верх­но­стью, $D$ – ли­ней­ным диф­фе­рен­ци­аль­ным опе­ра­то­ром 2-го по­ряд­ка, $$Du(x) \equiv \sum_{i,j=1}^n A_{ij}(x)\frac{\partial^2u}{\partial x_i\partial x_j}+\sum_{i=1}^n B_i(x)\frac{\partial u}{\partial x_i}+C(x)u-F(x), $$ а $$Bu(x)≡u(x)-f(x),$$где $A_{ij}, B_i, C, F, f$ – за­дан­ные функ­ции, за­да­ча (4), (5) на­зы­ва­ет­ся пер­вой К. з., или за­да­чей Ди­рих­ле. Ес­ли же $$Bu(x) \equiv \sum_{i=1}^na_i(x)\frac{\partial u}{\partial x_i}-f(x),$$ где $a_i,\,i=1,...,n,\,f$  – за­дан­ные функ­ции, то за­да­ча (4), (5) на­зы­ва­ет­ся за­да­чей с на­клон­ной (ко­сой) про­из­вод­ной. В ча­ст­но­сти, ко­гда век­тор $(a_1,...,a_n)$ сов­па­да­ет с ко­нор­ма­лью к $S$, т. е. $a_i=A_{ij}(x)v_j, i,j=1,...,n$, где $(v_1,...,v_n)$ – внеш­няя нор­маль к $S$, за­да­ча с на­клон­ной про­из­вод­ной но­сит назв. вто­рой К. з., или за­да­чи Ней­ма­на. За­да­ча Ди­рих­ле (Ней­ма­на) на­зы­ва­ет­ся од­но­род­ной, ес­ли $F(x)≡0, f(x)≡0$.

За­да­чи Ди­рих­ле и Ней­ма­на хо­ро­шо ис­сле­до­ва­ны в ог­ра­ни­чен­ных об­лас­тях с дос­та­точ­но глад­кой гра­ни­цей в слу­чае, ко­гда опе­ра­тор $D$ с дей­ст­ви­тель­ны­ми ко­эф­фи­ци­ен­та­ми удов­ле­тво­ря­ет ус­ло­вию рав­но­мер­ной эл­лип­тич­но­сти, т. е. ко­гда су­ще­ст­ву­ют по­ло­жи­тель­ные чис­ла $k_0$ и $k_1$ та­кие, $$k_0\sum_{j=1}^n\lambda_j^2⩽\sum_{i,j}A_{i,j}(x)\lambda_i\lambda_j⩽k_1\sum_{j=1}^n\lambda_j^2$$ что для лю­бых дей­ст­ви­тель­ных чи­сел $λ_1,...,λ_n$ и лю­бо­го $x∈G$. При дос­та­точ­ной глад­ко­сти ко­эф­фи­ци­ен­тов опе­ра­то­ров $D$ и $B$ и рав­но­мер­ной эл­лип­тич­но­сти опе­ра­то­ра $D$ спра­вед­ли­вы сле­дую­щие ут­вер­жде­ния: чис­ло $k$ ли­ней­но не­за­ви­си­мых ре­ше­ний од­но­род­ной за­да­чи Ди­рих­ле (Ней­ма­на) ко­неч­но; для раз­ре­ши­мо­сти за­да­чи Ди­рих­ле (Ней­ма­на) не­об­хо­ди­мо и дос­та­точ­но, что­бы функ­ции $F(x)$ и $f(x)$ бы­ли под­чи­не­ны до­пол­нит. ог­ра­ни­че­ни­ям ти­па ус­ло­вий ор­то­го­наль­но­сти, чис­ло ко­то­рых рав­но $k$; при вы­пол­не­нии ус­ло­вия $C(x)⩽ 0, x∈G$, за­да­ча Ди­рих­ле име­ет един­ст­вен­ное ре­ше­ние; в об­лас­ти $G$ дос­та­точ­но ма­ло­го диа­мет­ра за­да­ча Ди­рих­ле име­ет един­ст­вен­ное ре­ше­ние; при од­но­знач­ной раз­ре­ши­мо­сти за­да­чи Ди­рих­ле (Ней­ма­на) ма­лое из­ме­не­ние крае­вых дан­ных вы­зы­ва­ет ма­лое из­ме­не­ние ре­ше­ния (т. е. ре­ше­ние ус­той­чи­во).

Лит.: Би­цад­зе А. В. Урав­не­ния ма­те­ма­ти­че­ской фи­зи­ки. 2-е изд. М., 1982; Вла­ди­ми­ров В. С. Урав­не­ния ма­те­ма­ти­че­ской фи­зи­ки. 5-е изд. М., 1988; Ти­хо­нов А. Н., Са­мар­ский АА. Урав­не­ния ма­те­ма­ти­че­ской фи­зи­ки. 7-е изд. М., 2004.

Вернуться к началу