Подпишитесь на наши новости
Вернуться к началу с статьи up
 

КООРДИНА́ТЫ

  • рубрика

    Рубрика: Математика

  • родственные статьи
  • image description

    В книжной версии

    Том 15. Москва, 2010, стр. 197

  • image description

    Скопировать библиографическую ссылку:




КООРДИНА́ТЫ (от лат. co – со­вме­ст­но и ordinatus – упо­ря­до­чен­ный, оп­ре­де­лён­ный), чис­ла, за­да­ни­ем ко­то­рых оп­ре­де­ля­ет­ся по­ло­же­ние точ­ки на плос­ко­сти, на по­верх­но­сти или в про­стран­ст­ве. Пер­вы­ми К., во­шед­ши­ми в сис­те­ма­тич. упот­реб­ле­ние, яв­ля­ют­ся ас­тро­но­ми­че­ские (см. Не­бес­ные ко­ор­ди­на­ты) и гео­гра­фи­че­ские ко­ор­ди­на­ты – ши­ро­та и дол­го­та, оп­ре­де­ляю­щие по­ло­же­ние точ­ки на не­бес­ной сфе­ре или на по­верх­но­сти зем­но­го ша­ра. В 14 в. Н. Орем поль­зо­вал­ся К. на плос­ко­сти для по­строе­ния гра­фи­ков, на­зы­вая дол­го­той и ши­ро­той то, что ны­не на­зы­ва­ют абс­цис­сой и ор­ди­на­той. Сис­те­ма­ти­че­ски ме­тод К., по­зво­ляю­щий пе­ре­во­дить за­да­чи гео­мет­рии на язык ма­те­ма­тич. ана­ли­за и об­рат­но и тем са­мым гео­мет­ри­че­ски ис­тол­ко­вы­вать фак­ты ана­ли­за, на­чал при­ме­нять Р. Де­карт. Кро­ме К. точ­ки, рас­смат­ри­ва­ют так­же К. пря­мой, плос­ко­сти и др. гео­мет­рич. объ­ек­тов, счи­тая па­ра­мет­ры, од­но­знач­но оп­ре­де­ляю­щие эти объ­ек­ты, их ко­ор­ди­ната­ми. Ана­ло­га­ми К. яв­ля­ют­ся, напр., ко­эф­фи­ци­ен­ты мно­го­чле­на и ко­эф­фи­ци­ен­ты Фу­рье ря­да.

Рис. 1.
Рис. 2.

На плос­ко­сти и в про­стран­ст­ве по­ми­мо де­кар­то­вой сис­те­мы ко­ор­ди­нат ис­поль­зу­ют­ся по­ляр­ные К. на плос­ко­сти и сфе­рич. К. в про­стран­ст­ве. По­ляр­ные К. точ­ки на плос­ко­сти (рис. 1) по­лу­ча­ют, вы­би­рая точ­ку $O$ (по­люс) и вы­хо­дя­щий из неё луч $ON$ (по­ляр­ную ось). К. точ­ки $M$ слу­жат рас­стоя­ние $ρ=| \overrightarrow {OM}| $ (по­ляр­ный ра­ди­ус) и угол $φ = \angle NOM$ (по­ляр­ный угол). Ка­ж­дой точ­ке $M$ плос­ко­сти со­от­вет­ст­ву­ет па­ра чи­сел $(ρ ,φ)$, где $0⩽ρ<∞$, $0⩽φ< 2π$, эти чис­ла на­зы­ва­ют­ся по­ляр­ны­ми К. точ­ки $M$. Со­от­вет­ст­вие ме­ж­ду точ­ка­ми $M$, от­лич­ны­ми от $O$, и па­ра­ми $(ρ ,φ )$, под­чи­нён­ны­ми ука­зан­ным ус­ло­ви­ям, вза­им­но од­но­знач­но. Для точ­ки $O$ ве­ли­чи­на $ρ=0$, а угол $φ$ не оп­ре­де­лён. Ес­ли на плос­ко­сти ис­поль­зу­ет­ся и де­кар­то­ва пря­мо­уголь­ная, и по­ляр­ная сис­те­ма К. та­кие, что по­люс $O$ по­ляр­ной сис­те­мы и на­ча­ло ко­ор­ди­нат $O$ де­кар­то­вой сис­те­мы сов­па­да­ют, а луч $ON$ сов­па­да­ет с осью $Ox$, то де­кар­то­вы К. $(x,y)$ и по­ляр­ные К. $(ρ ,φ)$ (рис. 2) свя­за­ны ра­вен­ст­ва­ми $$x=ρ \cos\,φ,\,y=ρ \cos\,φ.$$

По­ляр­ные К. в не­яв­ном ви­де ис­поль­зо­вал др.-греч. учё­ный Ди­но­ст­рат (4 в. до н. э.). И. Нью­тон в «Ме­то­де флюк­сий» (1670–71) три­ж­ды ис­поль­зо­вал по­ляр­ные К. и при­вёл фор­му­лы, свя­зы­ваю­щие их с пря­мо­уголь­ны­ми К. В поч­ти совр. ви­де по­ляр­ные К. поя­ви­лись у Я. Бер­нул­ли (1691), чёт­кое пред­став­ле­ние об оп­ре­де­ле­нии точ­ки на плос­ко­сти при по­мо­щи по­ляр­ных К. име­ет­ся у Л. Эй­ле­ра (1748).

Рис. 3.

Сфе­рич. К. точ­ки $M$ в про­стран­ст­ве яв­ля­ют­ся три чис­ла $r, θ ,φ$, ко­то­рые оп­ре­де­ля­ют­ся сле­дую­щим об­ра­зом. Че­рез фик­си­ро­ван­ную точ­ку $O$ про­во­дят­ся три вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ные оси $Ox, Oy, Oz$ (рис. 3). Чис­ло $r$ рав­но рас­стоя­нию от точ­ки $O$ до точ­ки $M$, $θ$ пред­став­ля­ет со­бой угол ме­ж­ду век­то­ром $\overrightarrow{OM}$ и по­ло­жи­тель­ным на­прав­ле­ни­ем оси $Oz$, $φ$ – угол, на ко­то­рый на­до по­вер­нуть про­тив ча­со­вой стрел­ки по­ло­жи­тель­ную по­лу­ось $Ox$ до сов­па­де­ния с на­прав­ле­ни­ем век­то­ра $\overrightarrow{ON}$ ($N$ – про­ек­ция точ­ки $M$ на плос­кость $xOy$). Сфе­рич. К. точ­ки $M$ за­ви­сят от вы­бо­ра точ­ки $O$ и трёх осей $Ox, Oy, Oz$. Связь сфе­рич. К. с пря­мо­уголь­ны­ми де­кар­то­вы­ми К. ус­та­нав­ли­ва­ет­ся фор­му­ла­ми $$x=r \sin θ \cos φ, y=r \sin θ \sin φ, z=r \cos θ.$$ Фор­му­лы, свя­зы­ваю­щие сфе­рич. К. с пря­мо­уголь­ны­ми К., при­ве­де­ны Ж. Ла­гран­жем (1773), назв. «сфе­ри­че­ские коор­ди­на­ты» пред­ло­жил нем. учё­ный Г. Бальт­цер (1882).

В слу­чае об­щих де­кар­то­вых К. на пло­с­ко­сти ли­нии $x=c, -∞\lt c \lt ∞$, об­ра­зу­ют мно­же­ст­во пря­мых, па­рал­лель­ных оси $Oy$, а ли­нии $y=c, -∞\lt c \lt ∞$, – мно­же­ст­во пря­мых, па­рал­лель­ных оси $Ox$; че­рез точ­ку $M$ с де­кар­то­вы­ми К. $(x_0,y_0)$ про­хо­дит од­на пря­мая $x=x_0$ из пер­во­го мно­же­ст­ва и од­на пря­мая $y=y_0$ из вто­ро­го мно­же­ст­ва. В слу­чае по­ляр­ных К. ли­нии $ρ=c, c>0$, яв­ля­ют­ся ок­руж­но­стя­ми, а ли­нии $φ=c, 0⩽c<2π$, – лу­ча­ми, вы­хо­дя­щи­ми из на­чаль­ной точ­ки $O$; че­рез точ­ку $M$ с по­ляр­ны­ми К. $(ρ_0,φ_0)$ от­лич­ную от $O$ про­хо­дит по од­ной ли­нии $ρ=ρ_0$  и $φ=φ_0$ ка­ж­до­го из двух ука­зан­ных се­мейств, эти ли­нии пе­ре­се­ка­ют­ся в точ­ке $M$. В бо­лее об­щем слу­чае рас­смат­ри­ва­ют в к.-л. об­лас­ти $G$ плос­ко­сти две функ­ции точ­ки $u(M)$ и $v(M)$ та­кие, что ка­ж­дая ли­ния $u(M)=const$ пе­ре­се­ка­ет­ся с ка­ж­дой ли­ни­ей се­мей­ст­ва $v(M)=const$ в пре­де­лах об­лас­ти $G$ в од­ной точ­ке. В этом слу­чае чис­ла $u(M)$ и $v(M)$ на­зы­ва­ют­ся кри­во­ли­ней­ны­ми К., они од­но­знач­но оп­ре­де­ля­ют по­ло­же­ние точ­ки $M$ в об­лас­ти $G$, т. е. яв­ля­ют­ся К. точ­ки $M$ в этой об­лас­ти. В про­стран­ст­ве так­же поль­зу­ют­ся сис­те­ма­ми кри­во­ли­ней­ных К., схе­ма по­строе­ния ко­то­рых та­ко­ва: в к.-л. об­лас­ти $G$ про­стран­ст­ва рас­смат­ри­ва­ют­ся три функ­ции точ­ки $u(M)$, $v(M)$, $w(M)$ та­кие, что че­рез ка­ж­дую точ­ку $M$ об­лас­ти $G$ про­хо­дит од­на по­верх­ность се­мей­ст­ва $u=const$, од­на по­верх­ность се­мей­ст­ва $v=const$ и од­на по­верх­ность се­мей­ст­ва $w=const$. Тем са­мым ка­ж­дой точ­ке $M$ ста­вят­ся в со­от­вет­ст­вие три чис­ла $u,v,w$) – её К. в об­лас­ти $G$. Ана­ло­гич­но вво­дят­ся кри­во­ли­ней­ные К. на по­верх­но­сти. Напр., для слу­чая дол­го­ты $φ$ и ши­ро­ты $θ$ на сфе­ре ли­ния­ми $φ=const$ яв­ля­ют­ся ме­ри­диа­ны, а ли­ния­ми $θ=const$ – па­рал­ле­ли. Кри­во­ли­ней­ные К. на про­из­воль­ной по­верх­но­сти при­ме­ня­ют­ся в диф­фе­рен­ци­аль­ной гео­мет­рии. Кри­во­ли­ней­ные К. впер­вые ис­поль­зо­вал Я. Бер­нул­ли (1691), ко­ор­ди­на­та­ми на­звал их год спус­тя Г. В. Лейб­ниц. С име­нем К. Га­ус­са свя­за­ны кри­во­ли­ней­ные К. на по­верх­но­сти. Кри­во­ли­ней­ные К. в про­стран­ст­ве и назв. «кри­во­ли­ней­ные ко­ор­ди­на­ты» ввёл Г. Ла­ме (1833).

Вернуться к началу