КОНСТРУКТИ́ВНАЯ МАТЕМА́ТИКА

КОНСТРУКТИ́ВНАЯ МАТЕМА́ТИКА, раз­дел ма­те­ма­ти­ки, изу­чаю­щий кон­ст­рук­тив­ные про­цес­сы, воз­мож­ность их осу­ще­ст­в­ле­ния и ре­зуль­та­ты этих про­цес­сов – кон­ст­рук­тив­ные объ­ек­ты. В К. м. сис­те­ма­ти­че­ски при­ме­ня­ют­ся две аб­ст­рак­ции: аб­ст­рак­ция по­тен­ци­аль­ной осу­ще­ст­ви­мо­сти и аб­ст­рак­ция ото­жде­ст­в­ления. Аб­ст­рак­цию по­тен­ци­аль­ной осу­щест­ви­мо­сти ис­поль­зу­ют, от­вле­ка­ясь от прак­тич. ог­ра­ни­че­ний кон­ст­рук­тив­ных воз­мож­но­стей в про­стран­ст­ве, вре­ме­ни и ма­те­риа­ле. Аб­ст­рак­ция ото­жде­ст­в­ле­ния при­ме­ня­ет­ся, ко­гда го­во­рят о двух в том или ином смыс­ле оди­на­ко­вых объ­ек­тах как об од­ном и том же объ­ек­те. В К. м. не при­ме­ня­ет­ся ха­рак­тер­ная для тео­ре­ти­ко-мно­же­ст­вен­ной ма­те­ма­ти­ки аб­ст­рак­ция ак­ту­аль­ной бес­ко­неч­но­сти, свя­зан­ная с рас­смот­ре­ни­ем ни­ко­гда не за­вер­шае­мых про­цес­сов как бес­ко­неч­но про­дол­жен­ных и тем са­мым как бы за­вер­шён­ных.

Кон­ст­рук­тив­ный про­цесс, ре­зуль­та­том ко­то­ро­го яв­ля­ет­ся объ­ект, оди­на­ко­вый с $A$, на­зы­ва­ет­ся по­строе­ни­ем объ­ек­та $A$. Вы­ска­зы­ва­ния, свя­зан­ные с воз­мож­но­стью осу­ще­ст­в­лять кон­ст­рук­тив­ные про­цес­сы, в К. м. час­то фор­му­ли­ру­ют­ся в ви­де тео­рем су­ще­ст­во­ва­ния, ут­вер­ж­даю­щих, что су­ще­ст­ву­ет объ­ект, удов­ле­тво­ряю­щий оп­ре­де­лён­ным тре­бо­ва­ни­ям. Под этим под­ра­зу­ме­ва­ют, что по­строе­ние та­ко­го объ­ек­та по­тен­ци­аль­но осу­ще­ст­ви­мо, т. е. что име­ет­ся спо­соб его по­строе­ния. Это по­ни­ма­ние тео­рем су­ще­ст­во­ва­ния от­ли­ча­ет­ся от их по­ни­ма­ния в тео­ре­ти­ко-мно­же­ст­вен­ной ма­те­ма­ти­ке, что при­во­дит к не­об­хо­ди­мо­сти по­строе­ния для К. м. сво­ей ло­ги­ки, ко­то­рая от­ли­ча­ет­ся от клас­сич. ма­те­ма­тич. ло­ги­ки, ис­поль­зую­щей­ся в тео­ре­ти­ко-мно­же­ст­вен­ной ма­те­ма­ти­ке. По­ня­тия кон­ст­рук­тив­но­го про­цес­са и кон­ст­рук­тив­но­го объ­ек­та в К. м. фор­маль­но не оп­ре­де­ля­ют­ся. В та­ких фор­маль­ных оп­ре­де­ле­ни­ях нет на­доб­но­сти, по­сколь­ку в К. м. обыч­но име­ют де­ло не с кон­ст­рук­тив­ны­ми про­цес­са­ми и кон­струк­тив­ны­ми объ­ек­та­ми во­об­ще, а с оп­ре­де­лён­ны­ми ви­да­ми тех и дру­гих.

Про­стей­ши­ми из кон­ст­рук­тив­ных объ­ек­тов яв­ля­ют­ся сло­ва в фик­си­ров. ал­фа­ви­те, т. е. ря­ды букв это­го ал­фа­ви­та (ал­фа­вит – это на­бор букв). Кон­ст­рук­тив­ный про­цесс, ре­зуль­та­том ко­то­ро­го яв­ля­ет­ся сло­во, со­сто­ит в вы­пи­сы­ва­нии это­го сло­ва бу­к­ва за бу­к­вой. Ча­ст­ным слу­ча­ем слов яв­ля­ют­ся на­ту­раль­ные чис­ла, ко­то­рые рас­смат­ри­ва­ют­ся как сло­ва в ал­фа­ви­те {0,1}, на­чи­наю­щие­ся с ну­ля и не со­дер­жа­щие др. вхо­ж­де­ний ну­ля, т. е. как сло­ва 0, 01, 011, 0111,… До­бав­ляя к это­му ал­фа­ви­ту знак «–» (ми­нус) и знак «/» (дробь), по­лу­ча­ют воз­мож­ность стро­ить ра­цио­наль­ные чис­ла, как сло­ва в ал­фа­ви­те {0, 1, –, /}. Т. о., ра­цио­наль­ные чис­ла ока­зы­ва­ют­ся кон­ст­рук­тив­ны­ми объ­ек­та­ми.

В рам­ках К. м. воз­ник во­прос о по­строе­нии дей­ст­ви­тель­ных чи­сел и во­прос о вклю­че­нии ма­те­ма­тич. ана­ли­за в эти рам­ки. Эти во­про­сы бы­ли по­ло­жи­тель­но ре­ше­ны на ос­но­ве уточ­нён­но­го по­ня­тия ал­го­рит­ма. При этом не­су­ще­ст­вен­но, ка­ким из из­вест­ных уточ­не­ний это­го по­ня­тия здесь поль­зо­вать­ся.

Кон­ст­рук­тив­ной по­сле­до­ва­тель­но­стью ра­цио­наль­ных (на­ту­раль­ных) чи­сел на­зы­ва­ет­ся ал­го­ритм, пе­ре­ра­ба­ты­ваю­щий вся­кое на­ту­раль­ное чис­ло в ра­цио­наль­ное (на­ту­раль­ное) чис­ло. О кон­ст­рук­тив­ной по­сле­до­ва­тель­но­сти ра­цио­наль­ных чи­сел $\boldsymbol {\mathfrak U}$ го­во­рят, что она ре­гу­ляр­но схо­дит­ся, ес­ли для вся­ко­го на­ту­раль­но­го чис­ла $n$ со­блю­да­ет­ся ус­ло­вие$$|\boldsymbol{\mathfrak{U}}(n)-\boldsymbol{\mathfrak{U}}(n+1)|⩽2^{–n–1}. $$ За­пи­си ре­гу­ляр­но схо­дя­щих­ся по­сле­до­ва­тель­но­стей ра­цио­наль­ных чи­сел на­зыва­ют­ся кон­ст­рук­тив­ны­ми дей­ст­ви­тель­ны­ми чис­ла­ми (к. д. ч.). Ра­вен­ст­во двух к. д. ч., по­рядко­вые от­но­ше­ния ме­ж­ду ни­ми, а так­же ариф­ме­тич. дей­ст­вия над ни­ми и опе­ра­ции взя­тия аб­со­лют­ной ве­ли­чи­ны оп­ре­де­ля­ют­ся ес­теств. об­ра­зом. Ариф­ме­тич. опе­ра­ции ока­зы­ва­ют­ся ал­го­рит­ми­че­ски­ми: име­ет­ся, напр., ал­го­ритм, пе­ре­ра­ба­ты­ваю­щий вся­кую па­ру к. д. ч. в сум­му этих к. д. ч. С др. сто­ро­ны, не­воз­мо­жен ал­го­ритм, рас­по­знаю­щий к. д. ч. сре­ди слов в ал­фа­ви­те {0,1}; не­воз­мо­жен ал­го­ритм, рас­по­знаю­щий ра­вен­ст­во двух к. д. ч. На ос­но­ве тео­рии ал­го­рит­мов мож­но оп­ре­де­лить по­ня­тие кон­ст­рук­тив­ной по­сле­до­ва­тель­но­сти к. д. ч. Для вся­кой та­кой по­сле­до­ва­тель­но­сти мож­но по­стро­ить к. д. ч., не рав­ное ни од­но­му чле­ну этой по­сле­до­ва­тель­но­сти. Это кон­ст­рук­тив­ный ана­лог тео­ре­мы Кан­то­ра о не­счёт­но­сти кон­ти­нуу­ма. В К. м. оп­ре­де­ля­ют­ся по­ня­тия кон­ст­рук­тив­ной схо­ди­мо­сти кон­ст­рук­тив­ной по­сле­до­ва­тель­но­сти к. д. ч. в се­бе и к к. д. ч. Спра­вед­ли­ва тео­ре­ма пол­но­ты, ут­вер­ждаю­щая, что вся­кая кон­ст­рук­тив­ная по­сле­до­ва­тель­ность к. д. ч., кон­ст­рук­тив­но схо­дя­щая­ся в се­бе, кон­ст­рук­тив­но схо­дит­ся к не­ко­то­ро­му к. д. ч. Од­на­ко су­ще­ст­ву­ет при­мер, по­ка­зы­ваю­щий, что в К. м. ана­лог из­вест­ной тео­ре­мы о схо­ди­мо­сти ог­ра­ни­чен­ной воз­рас­таю­щей по­сле­до­ва­тель­но­сти не­спра­вед­лив.

Со­глас­но оп­ре­де­ле­нию, к. д. ч. суть сло­ва в ал­фа­ви­те {0,1}. Ал­го­рит­мы над этим ал­фа­ви­том мож­но при­ме­нять к к. д. ч., что да­ёт воз­мож­ность стро­ить функ­цию от дей­ст­ви­тель­но­го пе­ре­мен­но­го как ал­го­ритм, пе­ре­ра­ба­ты­ваю­щий к. д. ч. в к. д. ч. При этом ал­го­ритм дол­жен пе­ре­ра­ба­ты­вать рав­ные к. д. ч. в рав­ные к. д. ч. Ал­го­ритм $F$ над ал­фа­ви­том {0,1} есть кон­ст­рук­тив­ная функ­ция дей­ст­ви­тель­но­го пе­ре­мен­но­го, ес­ли со­блю­да­ют­ся сле­дую­щие ус­ло­вия: 1) $F$ пе­ре­ра­ба­ты­ва­ет вся­кое к. д. ч., к ко­то­ро­му он при­ме­ним, в к. д. ч.; 2) вся­кий раз, ко­гда $F$ при­ме­ним к ка­ко­му-ли­бо к. д. ч. $x$, он при­ме­ним и ко вся­ко­му к. д. ч. $y$, рав­но­му $x$, и к. д. ч. $F (x)$ и $F (y)$ рав­ны. На ос­но­ве это­го оп­ре­де­ле­ния бы­ла раз­ра­бо­та­на кон­ст­рук­тив­ная тео­рия функ­ций дей­ст­ви­тель­но­го пе­ре­мен­но­го, од­ним из наи­бо­лее ин­те­рес­ных её ре­зуль­та­тов яв­ля­ет­ся тео­ре­ма о не­пре­рыв­но­сти кон­ст­рук­тив­ных функ­ций: вся­кая кон­ст­рук­тив­ная функ­ция дей­ст­ви­тель­но­го пе­ре­мен­но­го не­пре­рыв­на всю­ду, где она опре­де­ле­на. Вме­сте с тем в тео­рии кон­струк­тив­ных функ­ций не име­ют ме­сто ана­ло­ги клас­сич. тео­рем Вей­ер­шт­рас­са и Кан­то­ра о не­пре­рыв­ных функ­ци­ях на сег­мен­те. В ча­ст­но­сти, бы­ли по­строе­ны: 1) при­мер кон­ст­рук­тив­ной (и по­то­му не­пре­рыв­ной) не­ог­ра­ни­чен­ной функ­ции на сег­мен­те [0,1]; 2) при­мер ог­ра­ни­чен­ной на этом сег­мен­те кон­ст­рук­тив­ной функ­ции, не имею­щей точ­ной верх­ней гра­ни; 3) при­мер кон­ст­рук­тив­ной функ­ции, име­ю­щей на сег­мен­те [0,1] точ­ную верх­нюю грань, но не дос­ти­гаю­щей её; 4) при­мер ог­ра­ни­чен­ной на сег­мен­те [0,1] кон­ст­рук­тив­ной функ­ции, не яв­ляю­щей­ся рав­но­мер­ной не­пре­рыв­ной ни на ка­ком сег­мен­те, со­дер­жа­щем­ся в сег­мен­те [0,1]. Эти ре­зуль­та­ты вы­яв­ля­ют глу­бо­кое от­ли­чие кон­ст­рук­тив­но­го ма­те­ма­тич. ана­ли­за от ана­ли­за тео­ре­ти­ко-мно­же­ст­вен­но­го.

Ус­пеш­но раз­ра­ба­ты­ва­ют­ся мн. раз­де­лы К. м.: кон­ст­рук­тив­ные тео­рии диф­фе­рен­ци­ро­ва­ния и ин­тег­ри­ро­ва­ния, кон­ст­рук­тив­ная тео­рия мет­рич. про­странств, кон­ст­рук­тив­ный функ­цио­наль­ный ана­лиз, кон­ст­рук­тив­ная тео­рия функ­ций ком­плекс­но­го пе­ре­мен­но­го и др.