КОНСТРУКТИ́ВНАЯ МАТЕМА́ТИКА
-
Рубрика: Математика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
КОНСТРУКТИ́ВНАЯ МАТЕМА́ТИКА, раздел математики, изучающий конструктивные процессы, возможность их осуществления и результаты этих процессов – конструктивные объекты. В К. м. систематически применяются две абстракции: абстракция потенциальной осуществимости и абстракция отождествления. Абстракцию потенциальной осуществимости используют, отвлекаясь от практич. ограничений конструктивных возможностей в пространстве, времени и материале. Абстракция отождествления применяется, когда говорят о двух в том или ином смысле одинаковых объектах как об одном и том же объекте. В К. м. не применяется характерная для теоретико-множественной математики абстракция актуальной бесконечности, связанная с рассмотрением никогда не завершаемых процессов как бесконечно продолженных и тем самым как бы завершённых.
Конструктивный процесс, результатом которого является объект, одинаковый с $A$, называется построением объекта $A$. Высказывания, связанные с возможностью осуществлять конструктивные процессы, в К. м. часто формулируются в виде теорем существования, утверждающих, что существует объект, удовлетворяющий определённым требованиям. Под этим подразумевают, что построение такого объекта потенциально осуществимо, т. е. что имеется способ его построения. Это понимание теорем существования отличается от их понимания в теоретико-множественной математике, что приводит к необходимости построения для К. м. своей логики, которая отличается от классич. математич. логики, использующейся в теоретико-множественной математике. Понятия конструктивного процесса и конструктивного объекта в К. м. формально не определяются. В таких формальных определениях нет надобности, поскольку в К. м. обычно имеют дело не с конструктивными процессами и конструктивными объектами вообще, а с определёнными видами тех и других.
Простейшими из конструктивных объектов являются слова в фиксиров. алфавите, т. е. ряды букв этого алфавита (алфавит – это набор букв). Конструктивный процесс, результатом которого является слово, состоит в выписывании этого слова буква за буквой. Частным случаем слов являются натуральные числа, которые рассматриваются как слова в алфавите {0,1}, начинающиеся с нуля и не содержащие др. вхождений нуля, т. е. как слова 0, 01, 011, 0111,… Добавляя к этому алфавиту знак «–» (минус) и знак «/» (дробь), получают возможность строить рациональные числа, как слова в алфавите {0, 1, –, /}. Т. о., рациональные числа оказываются конструктивными объектами.
В рамках К. м. возник вопрос о построении действительных чисел и вопрос о включении математич. анализа в эти рамки. Эти вопросы были положительно решены на основе уточнённого понятия алгоритма. При этом несущественно, каким из известных уточнений этого понятия здесь пользоваться.
Конструктивной последовательностью рациональных (натуральных) чисел называется алгоритм, перерабатывающий всякое натуральное число в рациональное (натуральное) число. О конструктивной последовательности рациональных чисел $\boldsymbol {\mathfrak U}$ говорят, что она регулярно сходится, если для всякого натурального числа $n$ соблюдается условие$$|\boldsymbol{\mathfrak{U}}(n)-\boldsymbol{\mathfrak{U}}(n+1)|⩽2^{–n–1}. $$ Записи регулярно сходящихся последовательностей рациональных чисел называются конструктивными действительными числами (к. д. ч.). Равенство двух к. д. ч., порядковые отношения между ними, а также арифметич. действия над ними и операции взятия абсолютной величины определяются естеств. образом. Арифметич. операции оказываются алгоритмическими: имеется, напр., алгоритм, перерабатывающий всякую пару к. д. ч. в сумму этих к. д. ч. С др. стороны, невозможен алгоритм, распознающий к. д. ч. среди слов в алфавите {0,1}; невозможен алгоритм, распознающий равенство двух к. д. ч. На основе теории алгоритмов можно определить понятие конструктивной последовательности к. д. ч. Для всякой такой последовательности можно построить к. д. ч., не равное ни одному члену этой последовательности. Это конструктивный аналог теоремы Кантора о несчётности континуума. В К. м. определяются понятия конструктивной сходимости конструктивной последовательности к. д. ч. в себе и к к. д. ч. Справедлива теорема полноты, утверждающая, что всякая конструктивная последовательность к. д. ч., конструктивно сходящаяся в себе, конструктивно сходится к некоторому к. д. ч. Однако существует пример, показывающий, что в К. м. аналог известной теоремы о сходимости ограниченной возрастающей последовательности несправедлив.
Согласно определению, к. д. ч. суть слова в алфавите {0,1}. Алгоритмы над этим алфавитом можно применять к к. д. ч., что даёт возможность строить функцию от действительного переменного как алгоритм, перерабатывающий к. д. ч. в к. д. ч. При этом алгоритм должен перерабатывать равные к. д. ч. в равные к. д. ч. Алгоритм $F$ над алфавитом {0,1} есть конструктивная функция действительного переменного, если соблюдаются следующие условия: 1) $F$ перерабатывает всякое к. д. ч., к которому он применим, в к. д. ч.; 2) всякий раз, когда $F$ применим к какому-либо к. д. ч. $x$, он применим и ко всякому к. д. ч. $y$, равному $x$, и к. д. ч. $F (x)$ и $F (y)$ равны. На основе этого определения была разработана конструктивная теория функций действительного переменного, одним из наиболее интересных её результатов является теорема о непрерывности конструктивных функций: всякая конструктивная функция действительного переменного непрерывна всюду, где она определена. Вместе с тем в теории конструктивных функций не имеют место аналоги классич. теорем Вейерштрасса и Кантора о непрерывных функциях на сегменте. В частности, были построены: 1) пример конструктивной (и потому непрерывной) неограниченной функции на сегменте [0,1]; 2) пример ограниченной на этом сегменте конструктивной функции, не имеющей точной верхней грани; 3) пример конструктивной функции, имеющей на сегменте [0,1] точную верхнюю грань, но не достигающей её; 4) пример ограниченной на сегменте [0,1] конструктивной функции, не являющейся равномерной непрерывной ни на каком сегменте, содержащемся в сегменте [0,1]. Эти результаты выявляют глубокое отличие конструктивного математич. анализа от анализа теоретико-множественного.
Успешно разрабатываются мн. разделы К. м.: конструктивные теории дифференцирования и интегрирования, конструктивная теория метрич. пространств, конструктивный функциональный анализ, конструктивная теория функций комплексного переменного и др.