Подпишитесь на наши новости
Вернуться к началу с статьи up
 

КОНИ́ЧЕСКИЕ СЕЧЕ́НИЯ

  • рубрика

    Рубрика: Математика

  • родственные статьи
  • image description

    В книжной версии

    Том 15. Москва, 2010, стр. 45

  • image description

    Скопировать библиографическую ссылку:




КОНИ́ЧЕСКИЕ СЕЧЕ́НИЯ, ли­нии, ко­то­рые по­лу­ча­ют­ся се­че­ни­ем пря­мо­го кру­го­во­го ко­ну­са плос­ко­стя­ми, не про­хо­дя­щи­ми че­рез его вер­ши­ну. Су­ще­ст­ву­ют К. с. трёх ти­пов. 1) Се­ку­щая плос­кость пе­ре­се­ка­ет все об­ра­зую­щие ко­ну­са в точ­ках од­ной его по­лос­ти (рис., а); ли­ния пе­ре­се­че­ния есть замк­ну­тая оваль­ная кри­вая – эл­липс; ок­руж­ность как ча­ст­ный слу­чай эл­лип­са по­лу­ча­ет­ся, ко­гда се­ку­щая плос­кость пер­пен­ди­ку­ляр­на оси ко­ну­са. 2) Се­ку­щая плос­кость па­рал­лель­на од­ной из ка­са­тель­ных плос­ко­стей ко­ну­са (рис., б); в се­че­нии по­лу­ча­ет­ся не­замк­ну­тая, ухо­дя­щая в бес­ко­неч­ность кри­вая – па­ра­бо­ла, це­ли­ком ле­жа­щая на од­ной по­лос­ти. 3) Се­ку­щая плос­кость пе­ре­се­ка­ет обе по­лос­ти ко­ну­са (рис., в); ли­ния пе­ре­се­че­ния – ги­пер­бо­ла – со­стоит из двух оди­на­ко­вых не­замк­ну­тых, про­сти­раю­щих­ся в бес­ко­неч­ность час­тей (вет­вей ги­пер­бо­лы), ка­ж­дая из ко­то­рых ле­жит на сво­ей по­лос­ти ко­ну­са.

В ана­ли­ти­че­ской гео­мет­рии К. с.  дей­ст­ви­тель­ные, не­рас­па­даю­щие­ся ли­нии вто­ро­го по­ряд­ка. В тех слу­ча­ях, ко­гда К. с. име­ет центр сим­мет­рии (центр), т. е. яв­ля­ет­ся эл­лип­сом или ги­пер­бо­лой, его урав­не­ние в де­кар­то­вой сис­те­ме ко­ор­ди­нат мо­жет быть при­ве­де­но (пу­тём пе­ре­не­се­ния на­ча­ла ко­ор­ди­нат в центр) к ви­ду $a_{11}x^2 + 2a_{12}xy+a_{22}y^2=a_{33}$, где $a_{11}, a_{12}, a_{22}, a_{33}$ – по­сто­ян­ные. Урав­не­ния этих кри­вых мо­гут быть при­ве­де­ны к бо­лее про­сто­му ви­ду $$Ax^2+By^2=C,\tag{*}$$ ес­ли за на­прав­ле­ния осей ко­ор­ди­нат вы­брать т. н. глав­ные на­прав­ле­ния – на­прав­ле­ния глав­ных осей (осей сим­мет­рии) К. с. Ес­ли по­сто­ян­ные $A$ и $B$ име­ют оди­на­ко­вые зна­ки (сов­па­даю­щие со зна­ком $C$), то урав­не­ние $(*)$ оп­ре­де­ля­ет эл­липс; ес­ли $A$ и $B$ раз­но­го зна­ка, то – ги­пер­бо­лу.

Урав­не­ние па­ра­бо­лы при­вес­ти к ви­ду $(*)$ нель­зя. При над­ле­жа­щем вы­бо­ре осей ко­ор­ди­нат (од­на ось ко­ор­ди­нат – един­ст­вен­ная ось сим­мет­рии па­ра­бо­лы, дру­гая – пер­пен­ди­ку­ляр­ная к ней пря­мая, про­хо­дя­щая че­рез вер­ши­ну па­ра­бо­лы) её урав­не­ние мож­но при­вес­ти к ви­ду $y^2=2px$.

К. с. бы­ли из­вест­ны ма­те­ма­ти­кам Древ­ней Гре­ции. То, что эл­липс, ги­пер­бо­ла и па­ра­бо­ла яв­ля­ют­ся се­че­ния­ми ко­ну­сов, от­кры­то Ме­нех­мом (ок. 340 до н. э.). Наи­бо­лее пол­ное со­чи­не­ние, по­свя­щён­ное этим кри­вым,  «Ко­ни­че­ские се­чения» Апол­ло­ния Перг­ско­го (ок. 200 до н. э.). Даль­ней­шее раз­ви­тие тео­рии К. с. свя­за­но с соз­да­ни­ем в 17 в. про­ек­тив­но­го (Ж. Де­зарг, Б. Пас­каль) и ко­ор­ди­нат­но­го (Р. Де­карт, П. Фер­ма) ме­то­дов. При над­ле­жа­щем вы­бо­ре сис­те­мы ко­ор­ди­нат (ось абс­цисс – ось сим­мет­рии К. с., ось ор­ди­нат – ка­са­тель­ная к вер­ши­не К. с.) урав­не­ние К. с. при­во­дит­ся к ви­ду $y^2=2px+λx^2 $, где $p$ и $λ$ – по­сто­ян­ные, $p≠0 $. При $λ=0 $ это урав­не­ние за­да­ёт па­ра­бо­лу, при $\lambda\lt  0 $ – эл­липс, при $\lambda\gt 0 $ – ги­пер­бо­лу. Это свой­ст­во К. с., со­дер­жа­щее­ся в по­след­нем урав­не­нии, бы­ло из­вест­но др.-греч. гео­мет­рам и по­слу­жи­ло для Апол­ло­ния Перг­ско­го по­во­дом при­сво­ить отд. ти­пам К. с. на­зва­ния, со­хра­нив­шие­ся до сих пор: сло­во «па­ра­бо­ла» оз­на­ча­ет при­ло­же­ние (т. к. в греч. гео­мет­рии пре­вра­ще­ние пря­мо­уголь­ни­ка дан­ной пло­ща­ди $y^2 $ в рав­но­ве­ли­кий ему пря­мо­уголь­ник с дан­ным ос­но­ва­ни­ем $2p$ на­зы­ва­ет­ся при­ло­же­ни­ем дан­но­го пря­мо­уголь­ни­ка к это­му ос­но­ва­нию); сло­во «эл­липс»  не­дос­та­ток (при­ло­же­ние с не­дос­тат­ком); сло­во «ги­пер­бо­ла»  из­бы­ток (при­ло­же­ние с из­быт­ком).

Сте­рео­мет­рич. оп­ре­де­ле­ние К. с. мож­но за­ме­нить пла­ни­мет­рич. оп­ре­де­ле­ния­ми этих кри­вых как мно­жеств то­чек на плос­ко­сти. Так, напр., эл­липс яв­ля­ет­ся мно­же­ст­вом то­чек, для ко­то­рых сум­ма рас­стоя­ний до двух дан­ных то­чек (фо­ку­сов) име­ет од­но и то же зна­че­ние. Мо­ж­но дать и др. пла­ни­мет­рич. оп­ре­де­ле­ние К. с., ох­ва­ты­ваю­щее все три ти­па этих кри­вых: К. с.  мно­же­ст­во то­чек, для ка­ж­дой из ко­то­рых от­но­ше­ние рас­стоя­ний до дан­ной точ­ки (фо­ку­са) к рас­стоя­нию до дан­ной пря­мой (ди­рек­три­сы) рав­но дан­но­му по­ло­жи­тель­но­му чис­лу (экс­цен­три­си­те­ту) $e$. При $e\lt 1 $ К. с.  эл­липс; при $e\gt 1 $ – ги­пер­бо­ла; при $e=1 $ – па­ра­бо­ла.

Ин­те­рес к К. с. все­гда под­дер­жи­вал­ся тем, что эти ли­нии час­то встре­ча­ют­ся в опи­са­ни­ях разл. яв­ле­ний при­ро­ды и в че­ло­ве­че­ской дея­тель­но­сти. К. с. при­об­ре­ли осо­бое зна­че­ние по­сле то­го, как И. Ке­п­лер (1609) ус­та­но­вил с по­мо­щью на­блю­де­ний, а И. Нью­тон (1687) тео­ре­ти­че­ски обос­но­вал за­ко­ны дви­же­ния пла­нет (один из ко­то­рых ут­вер­жда­ет, что пла­не­ты и ко­ме­ты Сол­неч­ной сис­те­мы дви­жут­ся по К. с., в од­ном из фо­ку­сов ко­то­ро­го на­хо­дит­ся Солн­це).

Лит.: Вар­ден Б. Л. ван дер. Про­бу­ж­даю­щая­ся нау­ка. 2-е изд. М., 2006; Алек­сан­д­ров П. С. Лек­ции по ана­ли­ти­че­ской гео­мет­рии. 2-е изд. М., 2008.

Вернуться к началу