Подпишитесь на наши новости
Вернуться к началу с статьи up
 

КОММУТАТИ́ВНАЯ А́ЛГЕБРА

  • рубрика

    Рубрика: Математика

  • родственные статьи
  • image description

    В книжной версии

    Том 14. Москва, 2009, стр. 675

  • image description

    Скопировать библиографическую ссылку:




КОММУТАТИ́ВНАЯ А́ЛГЕБРА, раз­дел ал­геб­ры, изу­чаю­щий свой­ст­ва ком­му­та­тив­ных ко­лец и свя­зан­ных с ни­ми объ­ек­тов (см. Ко­лец тео­рия).

Воз­ник­но­ве­ние К. а. свя­за­но с за­да­чами чи­сел тео­рии и ал­геб­раи­че­ской гео­мет­рии. Эти за­да­чи, как пра­ви­ло, от­но­си­лись к кон­крет­ным клас­сам ко­лец. Од­ним из гл. объ­ек­тов тео­рии чи­сел яв­ля­ет­ся коль­цо це­лых ра­цио­наль­ных чи­сел, и осн. факт его ариф­ме­ти­ки со­сто­ит в том, что лю­бое це­лое чис­ло раз­ла­га­ет­ся в про­из­ве­де­ние про­стых чи­сел, напр. 60=2·2·3·5, при­чём раз­ло­же­ние един­ст­вен­но с точ­но­стью до по­ряд­ка и зна­ков со­мно­жи­те­лей: 60=2·5·3·2=(–2)·2(–3)·5= … В 1-й пол. 19 в. К. Га­ус­сом, Э. Кум­ме­ром и др. бы­ла об­на­ру­же­на связь разл. во­про­сов тео­рии чи­сел с ариф­ме­ти­кой не­ко­то­рых рас­ши­ре­ний по­ля ра­цио­наль­ных чи­сел. Изу­че­нию этих во­про­сов клас­сич. ме­тода­ми ме­ша­ло от­сут­ст­вие од­но­знач­но­сти раз­ло­же­ния ал­геб­ра­ич. чи­сел в про­из­ве­де­ние не­раз­ло­жи­мых мно­жи­те­лей. Напр., ес­ли рас­смат­ри­вать чис­ла ви­да $m+n\sqrt{-5}$, где $m$ и $n$ – лю­бые це­лые (ра­цио­наль­ные) чис­ла, то (так же, как для обыч­ных це­лых чи­сел) ка­ж­дое та­кое чис­ло мож­но раз­ло­жить в про­из­ве­де­ние да­лее не­раз­ло­жи­мых мно­жи­те­лей, од­на­ко в этом слу­чае на­ру­ша­ет­ся един­ст­вен­ность раз­ло­же­ния. Так, чис­ло 9 (ко­то­рое по­лу­ча­ет­ся при $m=9 $, $n=0 $) до­пус­ка­ет 2 разл. раз­ло­же­ния, $9=3·3 $ и $9=(2+\sqrt{−5}) (2-\sqrt{-5})$, при­чём ни один из мно­жи­те­лей $3, (2+\sqrt{-5}), (2-\sqrt{-5})$ да­лее раз­ло­жить в про­из­ве­де­ние чи­сел ви­да $m+n\sqrt{-5}$ нель­зя. На­ру­ше­ния един­ст­вен­но­сти раз­ло­же­ния не бу­дет, ес­ли свой­ст­во раз­ло­жи­мо­сти свя­зы­вать не с чис­ла­ми, а с т. н. идеа­ла­ми. Идеа­лы вво­дят­ся в про­из­воль­ных коль­цах. В слу­чае чи­сло­вых ко­лец иде­алом на­зы­ва­ет­ся со­во­куп­ность чи­сел, при­над­ле­жа­щих чи­сло­во­му коль­цу (а в слу­чае про­из­воль­но­го коль­ца – со­во­куп­ность его эле­мен­тов), об­ла­даю­щая сле­дую­щи­ми свой­ст­ва­ми: сум­ма и раз­ность двух чи­сел (эле­мен­тов) со­во­куп­но­сти при­над­ле­жит этой со­во­куп­но­сти; про­из­ве­де­ние чис­ла (эле­мен­та) из этой со­во­куп­но­сти на лю­бое др. чис­ло (на лю­бой др. эле­мент) коль­ца так­же при­над­ле­жит этой со­во­куп­но­сти. Напр., идеа­лы в коль­це це­лых ра­цио­наль­ных чи­сел – это в точ­но­сти со­во­куп­но­сти чи­сел, крат­ных ка­ко­му-ни­будь фик­си­ро­ван­но­му це­ло­му чис­лу. В слу­чае чис­ло­вых ко­лец (та­ким яв­ля­ет­ся, напр., рас­смот­рен­ная вы­ше со­во­куп­ность чи­сел ви­да $m+n\sqrt{-5}$) иде­ал на­зы­ва­ет­ся так­же иде­аль­ным чис­лом. Лю­бой иде­ал един­ст­вен­ным об­ра­зом раз­ла­га­ет­ся в про­из­ве­де­ние не­раз­ло­жи­мых идеа­лов, ко­то­рые на­зы­ва­ют­ся про­сты­ми. Стро­гое и пол­ное обос­но­ва­ние тео­рии идеа­лов для лю­бых чи­сло­вых по­лей да­ли не­за­ви­си­мо друг от дру­га Р. Де­де­кинд (1871) и Е. И. Зо­ло­та­рёв (1877). Даль­ней­шая раз­ра­бот­ка тео­рии идеа­лов свя­за­на с раз­ви­ти­ем об­щей тео­рии ко­лец.

Па­рал­лель­но про­ис­хо­ди­ло фор­ми­ро­ва­ние К. а. внут­ри ал­геб­раи­че­ской гео­мет­рии. В на­ча­ле сво­его раз­ви­тия ал­геб­ра­ич. гео­мет­рия изу­ча­ла свой­ст­ва ал­геб­ра­ич. кри­вых на плос­ко­сти и, бо­лее об­що, ал­геб­ра­ич. мно­го­об­ра­зий в $n$-мер­ном про­стран­ст­ве, за­да­вае­мых как мно­же­ст­во $M$ об­щих ну­лей не­сколь­ких мно­го­чле­нов от $n$ пе­ре­мен­ных. По­сколь­ку мно­го­об­ра­зие $M$ мож­но за­да­вать и др. урав­не­ния­ми, то бо­лее ес­те­ст­вен­но с мно­го­об­ра­зи­ем $M$ свя­зы­вать иде­ал всех мно­го­чле­нов, об­ра­щаю­щих­ся в нуль на $M$. Это ещё один путь, при­во­дя­щий к по­ня­тию идеа­ла.

Ин­тен­сив­ное раз­ви­тие К. а. на­ча­лось по­сле пуб­ли­ка­ции в 1890-х гг. ра­бот Д. Гиль­бер­та, по­лу­чив­ше­го ряд фун­дам. ре­зуль­та­тов о коль­це мно­го­чле­нов. К нач. 20 в. бы­ли по­лу­че­ны ре­зуль­та­ты, от­но­ся­щие­ся к коль­цам ал­геб­ра­ич. чи­сел и мно­го­чле­нов, од­на­ко кон­крет­ность ис­ход­ных объ­ек­тов ме­ша­ла уви­деть не­ко­то­рые об­щие за­ко­но­мер­но­сти и свя­зи. Раз­ви­тие совр. К. а. свя­за­но так­же с воз­ник­но­ве­ни­ем тео­рии $p$-ади­че­ских чи­сел, по­слу­жив­шей толч­ком к сис­те­ма­тич. изу­че­нию строе­ния разл. клас­сов ком­му­та­тив­ных ко­лец. Дру­гим ис­точ­ни­ком раз­ви­тия К. а. ста­ла её гео­мет­ри­за­ция, пре­вра­тив­шая К. а. в со­став­ную часть ал­геб­ра­ич. гео­мет­рии. Это по­зво­ля­ет ис­поль­зо­вать в ис­сле­до­ва­ни­ях гео­мет­рич. ме­то­ды.

Лит.: За­рис­ский О., Са­мю­эль П. Ком­му­та­тив­ная ал­геб­ра. М., 1963. Т. 1; Атья М., Мак­до­нальд И. Вве­де­ние в ком­му­та­тив­ную ал­геб­ру. М., 2003; Ван дер-Вар­ден Б. Л. Ал­геб­ра. СПб., 2004.

Вернуться к началу