Подпишитесь на наши новости
Вернуться к началу с статьи up
 

КВАТЕРНИО́НЫ

  • рубрика

    Рубрика: Математика

  • родственные статьи
  • image description

    В книжной версии

    Том 13. Москва, 2009, стр. 487

  • image description

    Скопировать библиографическую ссылку:




КВАТЕРНИО́НЫ, обоб­ще­ние по­ня­тия ком­плекс­ных чи­сел. Ком­плекс­ные чис­ла $x+iy$, где $x$ и $y$ – дей­ст­ви­тель­ные чис­ла, $i$ – ба­зис­ная еди­ни­ца, удов­ле­тво­ряю­щая ус­ло­вию $i^2=-1$, изо­бра­жа­ют­ся гео­мет­ри­че­ски точ­ка­ми $(x,y)$ плос­ко­сти, и дей­ст­вия над ни­ми со­от­вет­ст­ву­ют про­стей­шим гео­мет­рич. пре­об­ра­зо­ва­ни­ям плос­ко­сти (сдви­гу, вра­ще­нию, рас­тя­же­нию или сжа­тию и их ком­би­на­ци­ям). По­ис­ки чи­сло­вой сис­те­мы, ко­то­рая гео­мет­ри­че­ски реа­ли­зо­ва­лась бы с по­мо­щью то­чек 3-мер­но­го про­стран­ст­ва, при­ве­ли к ус­та­нов­ле­нию то­го, что из то­чек про­стран­ст­ва трёх и вы­ше из­ме­ре­ний нель­зя по­стро­ить чи­сло­вую сис­те­му, в ко­то­рой ал­геб­ра­ич. опе­ра­ции со­хра­ня­ли бы все свой­ст­ва сло­же­ния и ум­но­же­ния ком­плекс­ных чи­сел. Из то­чек про­стран­ст­ва че­ты­рёх из­ме­ре­ний мож­но по­стро­ить чи­сло­вую сис­те­му, ес­ли от­ка­зать­ся от свой­ст­ва ком­му­та­тив­но­сти ум­но­же­ния, со­хра­нив все ос­таль­ные свой­ст­ва сло­же­ния и ум­но­же­ния. Чис­ла, со­став­ляю­щие та­кую сис­те­му, на­зы­ва­ют­ся К.; они пред­став­ля­ют со­бой ли­ней­ные ком­би­на­ции $$X=x_01+x_1i+x_2j+x_3k$$че­ты­рёх ба­зис­ных еди­ниц $1$$i$$j$$k$, где $x_0$$x_1$$x_2$$x_3$ – дей­ст­ви­тель­ные чис­ла. Дей­ст­вия над К. про­из­во­дят­ся по обыч­ным пра­ви­лам дей­ст­вия над мно­го­чле­на­ми от­но­си­тель­но $1$$i$$j$$k$ (нель­зя лишь ис­поль­зо­вать ком­му­та­тив­ность ум­но­же­ния), пра­ви­ла ум­но­же­ния ба­зис­ных еди­ниц со­сто­ят в сле­дую­щем:

 $1$$i$$j$$k$
$1$$1$$i$$j$$k$
$i$$i$$-1$$k$$-j$
$j$$j$$-k$$-1$$i$
$k$$k$$j$$-i$$-1$

 Ба­зис­ная еди­ни­ца $1$ иг­ра­ет роль обыч­ной еди­ни­цы и в за­пи­си К. опус­ка­ет­ся, т. е. $X$ за­пи­сы­ва­ют в ви­де $X=x_0+x_1i+x_2j+x_3k$. В $X$ раз­ли­ча­ют ска­ляр­ную часть $x_0$ и век­тор­ную часть $V=x_1i+x_2j+x_3k$, так что $X=x_0+V$. Ес­ли $x_0=0$, то $X=V$ на­зы­ва­ет­ся век­то­ром; его мож­но ото­жде­ст­вить с обыч­ным 3-мер­ным век­то­ром. Про­из­ве­де­ние К. $X_1=V_1$ и $X_2=V_2$ вы­ра­жа­ет­ся че­рез ска­ляр­ное $(V_1,V_2)$ и век­тор­ное $[V_1,V_2]$ про­из­ве­де­ния век­то­ров $V_1$ и $V_2$ сле­дую­щим об­ра­зом: $$V_1V_2=-(V_1,V_2)+[V_1,V_2],$$что по­ка­зы­ва­ет тес­ную связь К. с век­тор­ным ис­чис­ле­ни­ем.

Вся­ко­му К. $X=x_0+V$ мож­но со­пос­та­вить со­пря­жён­ный К. $\overline X=x_0-V$, при этом $$X \overline X=\overline XX=x_0^2+x_1^2+x_2^2+x_3^2.$$Это не­от­ри­ца­тель­ное чис­ло на­зы­ва­ет­ся нор­мой К. $X$ и обо­зна­ча­ет­ся $N(X)$; она удов­ле­тво­ря­ет со­от­но­ше­нию $N(XY)=N(X)N(Y)$. У ка­ж­до­го К. $X$ есть един­ст­вен­ный об­рат­ный К. $X^{-1}$ (т. е. та­кой, что $XX^{-1}=X^{-1}X=1$), он ра­вен $\overline X/N(X)$. Это да­ёт воз­мож­ность ре­шать урав­не­ния ви­да $XA=B$ и $AY=B$$X=BA^{-1}$$Y=A^{-1}B$; т. о., К. об­ра­зу­ют ал­геб­ру с де­ле­ни­ем.

Обоб­ще­ни­ем ком­плекс­ных чи­сел и К. яв­ля­ют­ся ги­пер­ком­плекс­ные чис­ла ран­га $n$, ко­то­рые пред­став­ля­ют со­бой ли­ней­ные ком­би­на­ции $x_0+x_1e_1+\dots+x_{n-1}e_{n-1}$ не­ко­то­рой сис­те­мы ба­зис­ных еди­ниц $1,e_1,\dots,e_{n-1}$ с дей­ст­ви­тель­ны­ми ко­эф­фи­ци­ен­та­ми $x_0,x_1,\dots,x_{n-1}$. Сло­же­ние и вы­чи­та­ние ги­пер­ком­плекс­ных чи­сел оп­ре­де­ля­ет­ся, как и в лю­бом век­тор­ном про­стран­ст­ве, по­ком­по­нент­но. Что­бы за­дать в этой сис­те­ме ум­но­же­ние, на­до оп­ре­де­лить $(n-1)^2$ зна­че­ний для про­из­ве­де­ний ба­зис­ных еди­ниц $e_ie_j, i, j=1,\dots,n-1$ (про­из­ве­де­ния на еди­ни­цу оп­ре­де­ля­ют­ся ес­теств. об­ра­зом: $1 \cdot e_i=e_i \cdot 1=e_i$, т. е. за­дать мат­ри­цу по­ряд­ка $n-1$ т. н. струк­тур­ных кон­стант). Из ги­пер­ком­плекс­ных чи­сел К. ока­зы­ва­ют­ся в не­ко­то­ром смыс­ле са­мы­ми близ­ки­ми к дей­ст­ви­тель­ным и ком­плекс­ным чис­лам. Точ­нее, все ко­неч­но­мер­ные дей­ст­ви­тель­ные ас­со­циа­тив­ные ал­геб­ры без де­ли­те­лей ну­ля ис­чер­пы­ва­ют­ся по­ля­ми дей­ст­ви­тель­ных чи­сел $\mathbf R$, ком­плекс­ных чи­сел $\mathbf C$ и те­лом ква­тер­нио­нов.

К. бы­ли вве­де­ны У. Га­миль­то­ном в 1843. В сер. 19 в. К. вос­при­ни­ма­лись как обоб­ще­ние по­ня­тия чис­ла, при­зван­но­го иг­рать в нау­ке столь же зна­чит. роль, как и ком­плекс­ные чис­ла. Эта точ­ка зре­ния под­кре­п­ля­лась тем, что бы­ли най­де­ны при­ло­же­ния К. к элек­тро­ди­на­ми­ке и ме­ха­ни­ке. Од­на­ко век­тор­ное ис­чис­ле­ние в его совр. фор­ме вы­тес­ни­ло К. из этих об­лас­тей. Роль К. не­срав­ни­ма с ро­лью ком­плекс­ных чи­сел, имею­щих мно­го­числ. и раз­но­об­раз­ные при­ло­же­ния в разл. от­рас­лях нау­ки и тех­ни­ки.

Лит.: Кан­тор И. Л., Со­ло­дов­ни­ков АС. Ги­пер­ком­плекс­ные чис­ла. М., 1973; Ка­луж­нин Л. А. Вве­де­ние в об­щую ал­геб­ру. М., 1973.

Вернуться к началу