Подпишитесь на наши новости
Вернуться к началу с статьи up
 

КВА́НТОВАЯ ТЕО́РИЯ ИНФОРМА́ЦИИ

  • рубрика

    Рубрика: Математика

  • родственные статьи
  • image description

    В книжной версии

    Том 13. Москва, 2009, стр. 451

  • image description

    Скопировать библиографическую ссылку:




Авторы: А. С. Холево

КВА́НТОВАЯ ТЕО́РИЯ ИНФОРМА́ЦИИ, раз­дел ма­те­ма­ти­ки, в ко­то­ром изу­ча­ют­ся об­щие за­ко­но­мер­но­сти пе­ре­да­чи, хра­не­ния и пре­об­ра­зо­ва­ния ин­фор­ма­ции в сис­те­мах, под­чи­няю­щих­ся за­ко­нам кван­то­вой ме­ха­ни­ки. К. т. и. ис­поль­зу­ет ма­те­ма­тич. мо­де­ли для ис­сле­до­ва­ния по­тен­ци­аль­ных воз­мож­но­стей та­ких сис­тем, а так­же раз­ра­ба­ты­ва­ет прин­ци­пы их ра­цио­наль­но­го и по­ме­хо­устой­чи­во­го по­строе­ния. К. т. и. при­во­дит к но­во­му по­ни­ма­нию фун­дам. за­ко­но­мер­но­стей кван­то­вой тео­рии, её ос­но­ва­ний и со­от­но­ше­ний с ре­аль­но­стью, а так­же сти­му­ли­ру­ет раз­ви­тие экс­пе­рим. фи­зи­ки.

К. т. и. сфор­ми­ро­ва­лась как са­мо­сто­ят. дис­ци­п­ли­на в 1990-е гг., од­на­ко её за­ро­ж­де­ние от­но­сит­ся к 1950-м гг. и свя­за­но с по­яв­ле­ни­ем ос­нов клас­сич. тео­рии ин­фор­ма­ции и по­ме­хо­устой­чи­вой свя­зи в тру­дах В. А. Ко­тель­ни­ко­ва и К. Шен­но­на. На на­чаль­ном эта­пе (1950–80-е гг.) осн. во­про­сом К. т. и. бы­ло вы­яс­не­ние фун­дам. ог­ра­ни­че­ний на воз­мож­но­сти пе­ре­да­чи и об­ра­бот­ки ин­фор­ма­ции, обус­лов­лен­ных кван­то­во­ме­ха­нич. при­ро­дой её но­си­те­ля. Раз­ви­тие ин­фор­мац. тех­но­ло­гий в на­прав­ле­нии мик­ро­ми­ниа­тюри­за­ции, ис­поль­зо­ва­ние дос­ти­же­ний кван­то­вой оп­ти­ки и кван­то­вой элек­тро­ни­ки, суп­ра­мо­ле­ку­ляр­ной хи­мии, ис­сле­дую­щей ки­бер­не­тич. свой­ст­ва мо­ле­ку­ляр­ных со­еди­не­ний, при­во­дят к вы­во­ду о том, что в обо­зри­мой пер­спек­ти­ве эти ог­ра­ни­че­ния ста­нут осн. пре­пят­ст­ви­ем для даль­ней­ше­го раз­ви­тия су­ще­ст­вую­щих тех­но­ло­гий и прин­ци­пов об­ра­бот­ки ин­форма­ции. С др. сто­ро­ны, по­яв­ле­ние в 1980–90-е гг. идей по­строе­ния кван­то­во­го ком­пь­ю­те­ра, кван­то­вой крип­то­гра­фии и но­вых ком­му­ни­кац. про­то­ко­лов по­зво­ля­ет го­во­рить не толь­ко об ог­ра­ни­че­ни­ях, но и о но­вых воз­мож­но­стях, за­клю­чён­ных в ис­поль­зо­ва­нии спе­ци­фи­че­ски кван­то­вых ре­сур­сов, т. н. кван­то­во­го па­рал­ле­лиз­ма, сце­п­лен­но­сти (пе­ре­пу­тан­но­сти) кван­то­вых со­стоя­ний и до­пол­ни­тель­но­сти ме­ж­ду из­ме­ре­ни­ем и воз­му­ще­ни­ем.

В К. т. и. но­си­те­лем ин­фор­ма­ции яв­ля­ет­ся со­стоя­ние кван­то­вой сис­те­мы $\mathscr H$, ко­то­рое пред­став­ля­ет со­бой ин­фор­мац. ре­сурс, по­сколь­ку оно име­ет ста­ти­стич. не­оп­ре­де­лён­ность. Ма­те­ма­тич. опи­са­ни­ем чис­то­го со­стоя­ния яв­ля­ет­ся опе­ра­тор про­ек­ти­ро­ва­ния (про­ек­тор) $P_\psi$ на век­тор $\psi$ из гиль­бер­то­ва про­стран­ст­ва сис­те­мы $\mathscr H$. Рас­смат­ри­ва­ют­ся так­же сме­шан­ные со­стоя­ния, пред­став­ляю­щие со­бой ста­ти­стический ан­самбль чис­тых со­стоя­ний $P_{\psi_i}$ с ве­ро­ят­но­стя­ми $p_i$. Та­кое со­стоя­ние опи­сы­ва­ет­ся опе­ра­то­ром плот­но­сти $\rho=\sum_i p_iP_\psi$, ко­то­рый ха­рак­те­ризу­ет­ся сле­дую­щи­ми свой­ст­ва­ми: $\rho$  – по­ло­жи­тель­ный опе­ра­тор; $\rho$ име­ет еди­нич­ный след. Т. о., соб­ст­вен­ные чис­ла $\lambda_j$ опе­ра­то­ра плот­но­сти об­ра­зу­ют рас­пре­де­ле­ние ве­ро­ят­но­стей. Эн­тро­пия это­го рас­пре­де­ле­ния $$H(\rho)=-\sum_j \lambda_j\log_2 \lambda_j,$$на­зы­вае­мая эн­тро­пи­ей фон Ней­ма­на, по­доб­но эн­тро­пии Шен­но­на клас­сич. ис­точ­ни­ка со­об­ще­ний, яв­ля­ет­ся ме­рой не­оп­ре­де­лён­но­сти, т. е. ин­фор­мац. со­дер­жа­ния со­стоя­ния, опи­сы­вае­мо­го опе­ра­то­ром $\rho$.

При пе­ре­да­че клас­сиче­ско­го (не кван­то­во­го) со­об­ще­ния по кван­то­во­му ка­на­лу свя­зи оно за­пи­сы­ва­ет­ся в кван­то­вом со­стоя­нии по­сред­ст­вом за­да­ния зна­че­ний па­ра­мет­ров при­бо­ра, фор­ми­рую­ще­го со­стоя­ние. Од­на­ко вся пол­но­та ин­фор­мац. со­дер­жа­ния кван­то­во­го со­стоя­ния не мо­жет быть све­де­на к клас­сич. со­об­ще­нию, и по­это­му для ин­фор­ма­ции, со­дер­жа­щей­ся в кван­то­вом со­стоя­нии, ис­поль­зу­ет­ся спец. тер­мин «кван­то­вая ин­фор­ма­ция». Это свя­за­но с тем, что оно со­дер­жит в се­бе ста­ти­сти­ку все­воз­мож­ных, в т. ч. и вза­и­мо­ис­клю­чаю­щих (т. н. до­пол­ни­тель­ных), из­ме­ре­ний над сис­те­мой. Наи­бо­лее яр­ким от­ли­чием кван­то­вой ин­фор­ма­ции от клас­си­че­ской яв­ля­ет­ся не­воз­мож­ность ко­пи­ро­ва­ния, ли­ней­ность урав­не­ний кван­то­вой эво­лю­ции при­во­дит к не­воз­мож­но­сти «кван­то­во­го ксе­рок­са», т. е. фи­зич. уст­рой­ст­ва, по­зво­ляю­ще­го ко­пи­ро­вать про­из­воль­ную кван­то­вую ин­фор­ма­цию.

По­доб­но то­му как ко­ли­че­ст­во клас­сич. ин­фор­ма­ции мо­жет быть из­ме­ре­но ми­ним. чис­лом дво­ич­ных сим­во­лов (би­тов), не­об­хо­ди­мым для ко­ди­ро­ва­ния (сжа­тия) со­об­ще­ния, ко­ли­че­ст­во кван­то­вой ин­фор­ма­ции мо­жет быть оп­ре­де­ле­но как ми­ним. чис­ло эле­мен­тар­ных кван­то­вых сис­тем с дву­мя уров­ня­ми (q-би­тов, ку­би­тов), не­об­хо­ди­мое для хра­не­ния или пе­ре­да­чи дан­но­го ан­самб­ля кван­то­вых со­стоя­ний при оп­ти­маль­ном ко­ди­ро­ва­нии. Для асим­пто­ти­че­ски без­оши­боч­но­го ко­ди­ро­ва­ния кван­то­во­го со­об­ще­ния дли­ны $n$, в ко­то­ром со­стоя­ния $P_{\psi_i}$ по­яв­ля­ют­ся с ве­ро­ят­но­стя­ми $p_i$, не­об­хо­ди­мое чис­ло q-би­тов асим­пто­ти­че­ски (при $n \to \infty$) рав­но $nH(\rho)$. Это оз­на­ча­ет, что раз­мер­ность кван­то­вой сис­те­мы, в ко­то­рой осу­ще­ст­в­ля­ет­ся оп­ти­маль­ное сжа­тие кван­то­вой ин­фор­ма­ции, со­дер­жа­щей­ся в со­стоя­нии $\rho$, асим­пто­ти­че­ски рав­на $2^{nH(\rho)}$, что да­ёт ин­фор­мац. ин­тер­пре­та­цию эн­тро­пии фон Ней­ма­на.

В ос­но­ве фе­но­ме­на сце­п­лен­но­сти кван­то­вых со­стоя­ний ле­жат не­обыч­ные (для клас­сич. сис­тем) свой­ст­ва со­став­ных кван­то­вых сис­тем, ко­то­рые опи­сы­ва­ют­ся тен­зор­ным (а не де­кар­то­вым, как в клас­сич. ме­ха­ни­ке) про­из­ве­де­ни­ем $\otimes$ под­сис­тем. Про­стран­ст­во со­став­ной сис­те­мы $AB$, на­ря­ду с век­то­ра­ми ви­да $\psi_A \otimes\psi_B$, со­дер­жит и все­воз­мож­ные их ли­ней­ные ком­би­на­ции $\sum_j \psi_A^j \otimes \psi_B^j$. Со­стоя­ния со­ставной сис­те­мы, за­да­вае­мые век­то­ра­ми-про­из­ве­де­ния­ми, на­зы­ва­ют­ся не­сцеп­лен­ны­ми, а не сво­дя­щие­ся к та­ко­вым – сце­п­лен­ны­ми. Сце­п­лен­ность пред­став­ля­ет со­бой чис­то кван­то­вое свой­ст­во, от­час­ти род­ст­вен­ное клас­сич. кор­ре­ли­ро­ван­но­сти, од­на­ко к ней не сво­дя­щее­ся (го­во­рят о кор­ре­ля­ци­ях Эйн­штей­на – По­доль­ско­го – Ро­зе­на). Имен­но на­ли­чие сце­п­лен­ных со­стоя­ний про­ти­во­ре­чит ги­по­те­зе о воз­мож­но­сти клас­сич. ста­ти­стич. опи­са­ния кван­то­вых сис­тем, удов­ле­тво­ряю­щих т. н. фи­зич. тре­бо­ва­нию ло­каль­но­сти. Ко­ли­че­ст­вен­ная тео­рия сце­п­лен­но­сти пред­став­ля­ет со­бой свое­об­раз­ную ком­би­на­тор­ную гео­мет­рию тен­зор­ных про­из­ве­де­ний гиль­бер­то­вых про­ст­ранств.

Двой­ст­вен­ным об­ра­зом в со­став­ных кван­то­вых сис­те­мах су­ще­ст­ву­ют сце­п­лен­ные и не­сце­п­лен­ные на­блю­дае­мые (из­ме­ре­ния). Ес­ли кван­то­вые сис­те­мы $A$ и $B$ на­хо­дят­ся в не­сце­п­лен­ном со­стоя­нии, то мак­сим. шен­но­нов­ские ко­ли­че­ст­ва ин­фор­ма­ции $I_A$, $I_B$, $I_{AB}$ о со­стоя­ни­ях сис­тем $A$, $B$ и со­став­ной сис­те­мы $AB$ удов­ле­тво­ря­ют в об­щем слу­чае со­от­но­ше­нию $I_{AB} \gt I_A+I_B$. Этот не­клас­сич. фе­но­мен стро­гой су­пер­ад­ди­тив­но­сти ин­фор­ма­ции иг­ра­ет важ­ную роль в тео­рии про­пу­ск­ной спо­соб­но­сти кван­то­во­го ка­на­ла свя­зи.

По­ня­тие ка­на­ла свя­зи и его про­пу­ск­ной спо­соб­но­сти, даю­щей пре­дель­ную ско­рость без­оши­боч­ной пе­ре­да­чи, иг­ра­ет центр. роль в ин­фор­ма­ции тео­рии. Ма­те­ма­тич. под­ход при­да­ёт этим по­ня­ти­ям уни­вер­саль­ную зна­чи­мость: напр., па­мять ком­пь­ю­те­ра (клас­сиче­ско­го или кван­то­во­го) мо­жет рас­смат­ри­вать­ся как ка­нал из про­шло­го в бу­ду­щее, то­гда про­пу­ск­ная спо­соб­ность да­ёт ко­ли­че­ст­вен­ное вы­ра­же­ние для пре­дель­ной ём­ко­сти па­мя­ти при ис­прав­ле­нии оши­бок. Важ­ность рас­смот­ре­ния кван­то­вых ка­на­лов свя­зи об­у­слов­ли­ва­ет­ся тем, что вся­кий фи­зич. ка­нал в ко­неч­ном счё­те яв­ля­ет­ся кван­то­вым и та­кой под­ход по­зво­ля­ет учесть фун­дам. кван­то­во­ме­ха­нич. за­ко­но­мер­но­сти. Су­ще­ст­вен­но, что в кван­то­вом слу­чае по­ня­тие про­пу­ск­ной спо­соб­но­сти раз­ветв­ля­ет­ся, по­ро­ж­дая це­лый спектр ин­фор­мац. ха­рак­те­ри­стик ка­на­ла, за­ви­ся­щих от ви­да пе­ре­да­вае­мой ин­фор­ма­ции (кван­то­вой или клас­си­че­ской), а так­же от до­пол­нит. ре­сур­сов, ис­поль­зуе­мых при пе­ре­да­че.

В К. т. и. кван­то­вый ка­нал свя­зи за­да­ёт­ся ото­бра­же­ни­ем Φ, пе­ре­во­дя­щим со­стоя­ния на вхо­де в со­стоя­ния на вы­хо­де, $\rho \to Ф[\rho]$, ко­то­рое да­ёт сжа­тое ста­ти­с­тич. опи­са­ние ре­зуль­та­та взаи­мо­дей­ст­вия сис­те­мы на вхо­де с её ок­ру­же­ни­ем (шу­мом). Клас­сич. про­пу­ск­ная спо­соб­ность $C(Ф)$ оп­ре­де­ля­ет­ся как макс. ско­рость пе­ре­да­чи клас­сич. со­об­ще­ний че­рез ка­нал $Ф^{\otimes n}$ с $n$ бло­ка­ми с асим­пто­ти­че­ски (при $n \to \infty$) ис­че­заю­щей ошиб­кой и рав­на макс. ко­ли­че­ст­ву ин­фор­ма­ции Шен­но­на, ко­то­рое мо­жет быть по­лу­че­но при­ме­не­ни­ем про­из­воль­ных ко­ди­ро­ва­ний клас­сич. со­об­ще­ний в со­стоя­ния на вхо­де и кван­то­вых из­ме­ре­ний – де­ко­ди­ро­ва­ний на вы­хо­де ка­на­ла. Для ве­ли­чи­ны $C(Ф)$ по­лу­че­но яв­ное вы­ра­же­ние че­рез эн­тро­пий­ные ха­рак­те­ри­сти­ки ка­на­ла, со­став­ляю­щее со­дер­жа­ние тео­ре­мы ко­ди­ро­ва­ния Хо­ле­во – Шу­махе­ра – Вест­мор­лен­да.

Клас­сич. про­пу­ск­ная спо­соб­ность ка­на­ла Φ мо­жет быть уве­ли­че­на пу­тём ис­поль­зо­ва­ния сце­п­лен­но­сти ме­ж­ду вхо­дом и вы­хо­дом ка­на­ла, при этом од­на толь­ко сце­п­лен­ность не по­зво­ля­ет пе­ре­да­вать ин­фор­ма­цию, сце­п­лен­ность иг­ра­ет роль «ка­та­ли­за­то­ра», вы­яв­ляю­ще­го скры­тые ин­фор­мац. ре­сур­сы кван­то­вой сис­те­мы. Ес­ли Φ – иде­аль­ный ка­нал, т. е. ка­нал без шу­ма, то вы­иг­рыш в про­пу­ск­ной спо­соб­но­сти, дос­тав­ляе­мый т. н. сверх­плот­ным ко­ди­ро­ва­ни­ем, дву­кра­тен. Чем бо­лее ка­нал от­ли­ча­ет­ся от иде­аль­но­го, тем вы­иг­рыш боль­ше и асим­пто­ти­че­ски (для ка­на­лов с очень боль­ши­ми шу­ма­ми) мо­жет быть сколь угод­но боль­шим. Со­от­вет­ст­вую­щая макс. ско­рость пе­ре­да­чи $C_{ea}(Ф)$ но­сит назв. клас­сич. про­пу­ск­ной спо­соб­но­сти с ис­поль­зо­ва­ни­ем сце­п­лен­но­го со­стоя­ния; для неё так­же име­ет­ся яв­ная фор­му­ла, по­лу­чен­ная амер. учё­ны­ми Ч. Бен­нет­том, П. Шо­ром, Дж. Смо­ли­ном и А. Тап­лиялом.

Са­мо пре­об­ра­зо­ва­ние кван­то­во­го со­стоя­ния $\rho \to Ф[\rho]$ мож­но рас­смат­ри­вать как пе­ре­да­чу кван­то­вой ин­фор­ма­ции. Тео­рия пред­ска­зы­ва­ет воз­мож­ность не­три­ви­аль­но­го спо­со­ба пе­ре­да­чи, при ко­то­ром со­стоя­ния фи­зи­че­ски не пе­ре­сы­ла­ют­ся, а пе­ре­да­ёт­ся лишь не­ко­то­рая клас­сич. ин­фор­ма­ция (т. н. кван­то­вая те­ле­пор­та­ция). При этом не­об­хо­ди­мым до­пол­нит. ре­сур­сом вновь яв­ля­ет­ся сце­п­лен­ность ме­ж­ду вхо­дом и вы­хо­дом ка­на­ла свя­зи. Све­сти пе­ре­да­чу про­из­воль­но­го кван­то­во­го со­стоя­ния толь­ко к пе­ре­да­че клас­сич. ин­фор­ма­ции, не ис­поль­зуя до­пол­нит. кван­то­во­го ре­сур­са, не­воз­мож­но: по­сколь­ку клас­сич. ин­фор­ма­ция ко­пи­руе­ма, это оз­на­ча­ло бы воз­мож­ность ко­пи­ро­ва­ния и кван­то­вой ин­фор­ма­ции.

В свя­зи с раз­ра­бот­кой кван­то­вых ко­дов, ис­прав­ляю­щих ошиб­ки, воз­ник во­прос об асим­пто­ти­че­ски (при $n \to \infty$) без­оши­боч­ной пе­ре­да­че кван­то­вой ин­фор­ма­ции ка­на­лом $Ф^{\otimes n}$. При этом кван­то­вая про­пу­ск­ная спо­соб­ность $Q(Ф)$ оп­ре­де­ля­ет­ся как макс. ско­рость пе­ре­да­чи кван­то­вой ин­фор­ма­ции. Изу­че­ние кван­то­вой про­пу­ск­ной спо­соб­но­сти ос­но­ва­но на ана­ло­гии ме­ж­ду кван­то­вым ка­на­лом и клас­сич. ка­на­лом с пе­ре­хва­том, при­чём в кван­то­вом слу­чае роль пе­ре­хват­чи­ка ин­фор­ма­ции иг­ра­ет ок­ру­же­ние рас­смат­ривае­мой сис­те­мы. Ока­за­лось, что ве­ли­чи­на $Q(Ф)$ свя­за­на с крип­то­гра­фич. ха­рак­те­ри­сти­ка­ми ка­на­ла, та­ки­ми как про­пу­ск­ная спо­соб­ность для сек­рет­ной пе­ре­да­чи клас­сич. ин­фор­ма­ции $C_p(Ф)$ и ско­рость рас­пре­де­ле­ния слу­чай­но­го клю­ча. Про­пу­ск­ные спо­соб­но­сти ка­на­ла Φ свя­за­ны со­от­но­ше­ния­ми $$Q(Ф) \leq C_p(Ф) \leq C(Ф) \leq C_{ea}(Ф).$$

Боль­шой раз­дел К. т. и. свя­зан с ис­сле­до­ва­ния­ми сис­тем с не­пре­рыв­ны­ми пе­ре­мен­ны­ми, ос­но­ван­ных на прин­ци­пах кван­то­вой оп­ти­ки. Для них по­лу­чен ряд ре­зуль­та­тов, ка­саю­щих­ся про­пу­ск­ных спо­соб­но­стей, сце­п­лен­но­сти со­стоя­ний и др. ин­фор­мац. ха­рак­те­ри­стик. Мн. экс­пе­ри­мен­ты по кван­то­вой об­ра­бот­ке ин­фор­ма­ции, вклю­чая сверх­плот­ное ко­ди­ро­ва­ние и те­ле­пор­та­цию фо­тон­ных со­стоя­ний, а так­же кван­то­вые крип­то­гра­фич. про­то­ко­лы, реа­ли­зо­ва­ны имен­но в та­ких сис­те­мах. См. так­же Кван­то­вая связь.

Лит.: Bennett C. H., Shor PW. Quantum in­formation theory // Transactions on Infor­ma­tion Theory. 1998. Vol. 44. № 6; Ва­ли­ев К. А., Ко­кин А. А. Кван­то­вые ком­пь­ю­те­ры: на­де­ж­ды и ре­аль­ность. М., 2001; Фи­зи­ка кван­то­вой ин­фор­ма­ции / Под ред. Д. Бо­умей­сте­ра и др. М., 2002; Хо­ле­во А. С. Вве­де­ние в кван­то­вую тео­рию ин­фор­ма­ции. М., 2002; он же. Ве­ро­ят­но­ст­ные и ста­ти­сти­че­ские ас­пек­ты кван­то­вой тео­рии. 2-е изд. М., 2003; Ниль­сен М. А., Чу­анг И. Кван­то­вые вы­чис­ле­ния и кван­то­вая ин­фор­ма­ция. М., 2006; Hayashi M. Quantum information: an introduction. B.; N. Y., 2006.

Вернуться к началу