Подпишитесь на наши новости
Вернуться к началу с статьи up
 

КВАДРАТИ́ЧНАЯ ФО́РМА

  • рубрика

    Рубрика: Математика

  • родственные статьи
  • image description

    Электронная версия

    2009 год

  • image description

    Скопировать библиографическую ссылку:




КВАДРАТИ́ЧНАЯ ФО́РМА, од­но­род­ный мно­го­член 2-й сте­пе­ни от $n$ пе­ре­мен­ных $x_1$$x_2$,…, $x_n$, т. е. мно­го­член ви­да $$q=\displaystyle \sum_{i=1}^n b_{ii}x_i^2 + \sum_{i \lt j}b_{ij}x_ix_j.$$Обыч­но пред­по­ла­га­ет­ся, что ко­эф­фи­ци­ен­ты К. ф. яв­ля­ют­ся дей­ст­ви­тель­ны­ми или ком­плекс­ны­ми чис­ла­ми, в этом слу­чае К. ф. мож­но за­пи­сать в ви­де $$q=\sum^n_{i,j=1}a_{ij}x_ix_j,\tag{*}$$где $a_{ij}=a_{ji}, i, j=1, \dots, n$. Сим­мет­рич­ная мат­ри­ца $A=||a_{ij}||$ на­зы­ва­ет­ся мат­ри­цей квад­ра­тич­ной фор­мы.

 

К. ф. мож­но рас­смат­ри­вать как функ­цию от $n$ пе­ре­мен­ных или от век­то­ра в $n$-мер­ном век­тор­ном про­стран­ст­ве. Пе­ре­ход к др. сис­те­ме ко­ор­ди­нат (др. ба­зи­су) в этом век­тор­ном про­стран­ст­ве при­во­дит к за­ме­не пе­ре­мен­ных $x_1, \dots, x_n$ в К. ф. но­вы­ми пе­ре­мен­ны­ми $y_1, \dots, y_n$, ли­ней­но вы­ра­жаю­щи­ми­ся че­рез $x_1, \dots, x_n$. Мат­ри­ца К. ф. $(\ast)$ в но­вой сис­те­ме ко­ор­ди­нат име­ет вид $\tilde{A}=C^TAC$, где $C=||c_{ij}||$ – мат­ри­ца пе­ре­хо­да от ста­ро­го ба­зи­са к ново­му $(x_i=\sum^n_{j=1}c_{ij}y_i, i=1, \dots, n)$, а $T$ озна­ча­ет транс­по­ни­ро­ва­ние (см. Мат­ри­ца). Пе­ре­ход к но­во­му ба­зи­су ис­поль­зу­ет­ся, напр., для уп­ро­ще­ния урав­не­ния ли­нии (по­верх­но­сти) 2-го по­ряд­ка.

Для лю­бой К. ф. су­ще­ст­ву­ет ба­зис, в ко­то­ром её мат­ри­ца диа­го­наль­на, в этом слу­чае $$q=a_{11}x_1^2+ \ldots +a_{nn}x_n^2.$$Та­кой вид К. ф. на­зы­ва­ет­ся ка­но­ни­че­ским. Ес­ли ко­эф­фи­ци­ен­ты К. ф. – ком­плекс­ные чис­ла, то мож­но вы­брать все не­ну­ле­вые ко­эф­фи­ци­ен­ты $a_{11}, \dots, a_{nn}$ рав­ны­ми еди­ни­це. Ба­зис, в ко­то­ром К. ф. при­ни­ма­ет ка­но­нич. вид, не един­ст­ве­нен, но чис­ло не­ну­ле­вых ко­эф­фи­ци­ен­тов в ка­но­нич. ви­де не за­ви­сит от вы­бо­ра ба­зи­са и на­зы­ва­ет­ся ран­гом К. ф. Над по­лем дей­ст­ви­тель­ных чи­сел К. ф. мож­но при­вес­ти к ка­но­нич. ви­ду, в ко­то­ром все не­ну­ле­вые ко­эф­фи­ци­ен­ты рав­ны 1 или –1. Та­кой вид К. ф. на­зы­ва­ет­ся нор­маль­ным. Ко­ли­че­ст­во ко­эф­фи­ци­ен­тов, рав­ных 1 или –1, не за­ви­сит от вы­бо­ра ба­зи­са (тео­ре­ма Силь­ве­ст­ра, или за­кон инер­ции). Раз­ность ме­ж­ду чис­лом по­ло­жи­тель­ных и чис­лом от­ри­ца­тель­ных чле­нов в нор­маль­ном ви­де К. ф. на­зы­ва­ет­ся её сиг­на­ту­рой. Ес­ли все не­ну­ле­вые ко­эф­фи­ци­ен­ты в нор­маль­ном ви­де К. ф. рав­ны 1 (–1), то К. ф. на­зы­ва­ет­ся по­ло­жи­тель­но оп­ре­де­лён­ной (от­ри­ца­тель­но оп­ре­де­лён­ной), в про­тив­ном слу­чае фор­ма на­зы­ва­ет­ся не­оп­ре­де­лён­ной.

Для К. ф., за­дан­ных в евк­ли­до­вом про­стран­ст­ве и имею­щих дей­ст­ви­тель­ные ко­эф­фи­ци­ен­ты, спра­вед­ли­ва тео­ре­ма о при­ве­де­нии к гл. осям: от лю­бо­го ор­то­нор­ми­ро­ван­но­го ба­зи­са мож­но пе­рей­ти к др. та­ко­му ор­то­нор­ми­ро­ван­но­му ба­зи­су, что К. ф. име­ет в нём ка­но­нич. вид. За­ме­на ко­ор­ди­нат осу­ще­ст­в­ля­ет­ся при этом ор­то­го­наль­ной мат­ри­цей. В при­ме­не­нии к ли­ни­ям и по­верх­но­стям 2-го по­ряд­ка это да­ёт их при­ве­де­ние к гл. осям.

Тео­рия К. ф. впер­вые из­ло­же­на Ж. Лаг­ран­жем (1798). Об­щая тео­рия К. ф. со­зда­на К. Га­ус­сом (1801); ему же при­над­ле­жит тер­мин «квад­ра­тич­ная фор­ма».

Лит.: Маль­цев А. И. Ос­но­вы ли­ней­ной ал­геб­ры. 3-е изд. М., 2005.

Вернуться к началу