Подпишитесь на наши новости
Вернуться к началу с статьи up
 

КАСА́ТЕЛЬНАЯ

  • рубрика

    Рубрика: Математика

  • родственные статьи
  • image description

    В книжной версии

    Том 13. Москва, 2009, стр. 264

  • image description

    Скопировать библиографическую ссылку:




Рис. 1.
Рис. 2.

КАСА́ТЕЛЬНАЯ к кри­вой ли­нии, пря­мая, пред­став­ляю­щая со­бой пре­дель­ное по­ло­же­ние се­ку­щей. Пусть $M$ – точ­ка кри­вой $L$ (рис. 1). На $L$ вы­би­ра­ет­ся вто­рая точ­ка $M'$, и че­рез них про­во­дит­ся се­ку­щая $l'$. Точ­ка $M$ счи­та­ет­ся не­под­виж­ной, а точ­ка $M'$ при­бли­жа­ет­ся к $M$ по кри­вой $L$. Ес­ли при не­ог­ра­ни­чен­ном при­бли­же­нии $M'$ к $M$ се­ку­щие $l'$ стре­мят­ся к оп­ре­де­лён­ной пря­мой $l$, как бы $M'$ не прибли­жа­лась к $M$, то $l$ на­зы­ва­ет­ся К. к кри­вой $L$ в точ­ке $M$. Не у вся­кой не­пре­рыв­ной кри­вой име­ют­ся К. в ка­ж­дой точ­ке $M$, по­сколь­ку се­ку­щие мо­гут не стре­мить­ся к пре­дель­но­му по­ло­же­нию или мо­гут стре­мить­ся к двум раз­ным пре­дель­ным по­ло­же­ни­ям, ко­гда $M'$ при­бли­жа­ет­ся к $M$ с раз­ных сто­рон (рис. 2). Встре­чаю­щие­ся в эле­мен­тар­ной гео­мет­рии кри­вые име­ют впол­не оп­ре­де­лён­ные К. во всех точ­ках, кро­ме не­ко­то­ро­го чис­ла осо­бых то­чек. Ес­ли кри­вая на плос­ко­сти в пря­мо­уголь­ных ко­ор­ди­на­тах оп­ре­де­ля­ет­ся урав­не­ни­ем $y=f(x)$ и $f(x)$ диф­фе­рен­ци­руе­ма в точ­ке $x_0$, то кри­вая име­ет ка­са­тель­ную в точ­ке $(x_0, f'(x_0))$ и уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент К. в этой точ­ке ра­вен зна­че­нию про­из­вод­ной $f'(x_0)$; урав­не­ние К. в этой точ­ке име­ет вид $$y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0).$$Ка­са­тель­ной (пря­мой) к по­верх­но­сти $S$ в точ­ке $M$ на­зы­ва­ют лю­бую пря­мую, про­хо­дя­щую че­рез точ­ку $M$ и ле­жа­щую в ка­са­тель­ной плос­ко­сти к $S$ в точ­ке $M$.

Вернуться к началу