Подпишитесь на наши новости
Вернуться к началу с статьи up
 

ИНТЕРПОЛЯ́ЦИЯ

  • рубрика

    Рубрика: Математика

  • родственные статьи
  • image description

    В книжной версии

    Том 11. Москва, 2008, стр. 454

  • image description

    Скопировать библиографическую ссылку:




Авторы: Ю. Н. Субботин

ИНТЕРПОЛЯ́ЦИЯ (от лат. interpolatio – под­нов­ле­ние, из­ме­не­ние) в ма­те­ма­ти­ке, ме­тод вос­ста­нов­ле­ния (обыч­но при­бли­жён­но­го) функ­ции по зна­че­ни­ям са­мой функ­ции и, воз­мож­но, не­ко­то­рых её про­из­вод­ных на ко­неч­ном мно­же­ст­ве то­чек. Напр., ес­ли с по­мо­щью таб­ли­цы зна­че­ний функ­ции $f$ нуж­но най­ти её зна­че­ние в точ­ке $x$, не вхо­дя­щей в таб­ли­цу, на­ходят 2 со­сед­них зна­че­ния ар­гу­мен­та $x_1$ и $x_2,\, {x}_1<{x}<{x}_2$, и поль­зу­ют­ся фор­му­лой ку­соч­но ли­ней­ной ин­тер­по­ля­ции $$f(x)\cong f(x_1)\frac{x_2-x}{x_2-x_1}+f(x_2)\frac {x-x_1}{x_2-x_1}.$$

Для ре­ше­ния за­дач И. час­то ис­поль­зу­ют­ся мно­го­чле­ны $P_n(x)=\sum_{k=0}^n c_kx^k$, где $c^k$ – дей­ст­ви­тель­ные чис­ла. Та­кой вы­бор ап­прок­си­ми­рую­щих функ­ций свя­зан с тем, что мно­го­чле­на­ми мож­но сколь угод­но точ­но при­бли­зить лю­бую не­пре­рыв­ную функ­цию на ко­неч­ном от­рез­ке.

Рас­смат­ри­ва­ют­ся 3 ти­па за­дач.

1. Про­стая (ла­гран­же­ва) И. Функ­ция $f(x)$ за­да­на в точ­ках (уз­лах И.) $a⩽x_0<{x}_1<...\,<{x}_{n}⩽{b}$. Ищет­ся мно­го­член $P_n(x)$, удов­ле­тво­ряю­щий ус­ло­ви­ям $P_n(x_i)(x_i)=f(x_i),\, i=0,\, 1,\,...,\,n$.

2. Крат­ная (эр­ми­то­ва) И. За­да­ны зна­че­ния функ­ции и её про­из­вод­ных $f^{(s)}(x_i),\, s=0,\, 1,\,...,\,k_i,\, k_i$ – на­ту­раль­ные чис­ла, $i=0,\, 1,\,...,\,n$. Ищет­ся мно­го­член $P_N(x)$, сте­пе­ни $N$ рав­ной $\sum_{i=0}^n (k_1=1)-1$, удов­летво­ряю­щий ус­ло­ви­ям $P_N^{(s)} (x_i)=f^{(s)}(x_i), \,s=0, \,1,\,...,\,k_i ;\, i=0,\, 1,\,...,\,n$.

3. Бирк­го­фо­ва И. ана­ло­гич­на пре­ды­ду­щей, но в отд. точ­ках мо­гут не за­да­вать­ся зна­че­ния функ­ции или зна­че­ния её про­из­вод­ных. За­да­чи 1 и 2 все­гда раз­ре­ши­мы, их ре­ше­ния вы­пи­сы­ва­ют­ся в яв­ном ви­де. За­да­ча 3 мо­жет не иметь ре­ше­ния.

Ес­ли на $[a,\,b]$ не­пре­рыв­на про­из­вод­ная $f^{(n+1)}(x)$ и $|f^{(n+1)}(x)|⩽M$, то для по­сле­до­ва­тель­но­сти ин­тер­по­ля­ци­он­ных мно­го­чле­нов Ла­гран­жа спра­вед­ли­ва оцен­ка $$\bigl|f(x)-P_n(x)\bigl|\leqslant \frac{M}{(n+1)!}\bigl|(x-x_0)(x-x_1)...\,(x-x_n)\bigl|.$$

Од­на­ко да­же в этом слу­чае при за­да­нии $f(x_i)$ с по­греш­но­стью мо­дуль $P_n(x)$ при рос­те $n$ не­ог­ра­ни­чен­но воз­рас­та­ет. По­это­му ис­поль­зо­вать мно­го­чле­ны вы­со­кой сте­пе­ни для вос­ста­нов­ле­ния функ­ций не ре­ко­мен­ду­ет­ся. Кро­ме то­го, для лю­бой по­сле­до­ва­тель­но­сти уз­лов И. су­ще­ст­ву­ет не­пре­рыв­ная на $[a,\,b]$ функ­ция, для ко­то­рой по­сле­до­ва­тель­ность ин­тер­по­ля­ци­он­ных мно­го­чле­нов Ла­гран­жа не схо­дит­ся к этой функ­ции.

Ку­соч­но ли­ней­ная И. не име­ет по­добных не­дос­тат­ков. По­сле­до­ва­тель­ность ин­тер­по­ля­ци­он­ных ло­ма­ных схо­дит­ся к ин­тер­по­ли­руе­мой не­пре­рыв­ной функ­ции при ус­ло­вии, что макс. рас­стоя­ние ме­ж­ду со­сед­ни­ми уз­ла­ми И. стре­мит­ся к ну­лю. Ес­ли же зна­че­ния функ­ции в уз­лах И. за­да­ны с по­греш­но­стью $δ$, то к по­греш­но­сти ку­соч­но ли­ней­ной ап­прок­си­ма­ции до­бав­ля­ет­ся сла­гае­мое, по мо­ду­лю не пре­вос­хо­дя­щее $δ$. Ана­ло­гич­ны­ми свой­ст­ва­ми об­ла­да­ют по­ли­но­ми­аль­ные сплай­ны про­из­воль­ной сте­пе­ни $k$ де­фек­та 1 с рав­но­мер­ны­ми уз­ла­ми склей­ки и ин­тер­по­ля­ции. Ку­соч­но ли­ней­ная функ­ция – это по­ли­но­ми­аль­ный сплайн сте­пе­ни 1 де­фек­та 1. Кро­ме мно­го­чле­нов и по­ли­но­ми­аль­ных сплай­нов, в за­да­чах И. ис­поль­зу­ют­ся три­го­но­мет­рич. мно­го­чле­ны, ра­цио­наль­ные функ­ции (от­но­ше­ния мно­го­чле­нов) и др. сис­те­мы сплай­нов.

Ме­то­ды И. ис­поль­зу­ют­ся для при­бли­жён­но­го ин­тег­ри­ро­ва­ния, в ма­шин­ной гра­фи­ке, при чис­лен­ном ре­ше­нии диф­фе­рен­ци­аль­ных урав­не­ний. Раз­ви­ва­ют­ся так­же ме­то­ды И. для функ­ций не­сколь­ких пе­ре­мен­ных. При этом про­бле­мы раз­ре­ши­мо­сти за­дач И. ока­зы­ва­ют­ся бо­лее слож­ны­ми. Мно­го­мер­ные за­да­чи ку­соч­но по­ли­но­ми­аль­ной И. ис­поль­зу­ют­ся в ме­то­дах чис­лен­но­го ре­ше­ния крае­вых за­дач для урав­не­ний с ча­ст­ны­ми про­из­вод­ны­ми.

Лит.: Гон­ча­ров В. Л. Тео­рия ин­тер­по­ли­ро­ва­ния и при­бли­же­ния функ­ций. М., 1954; Стеч­кин С. Б., Суб­бо­тин Ю. Н. Сплай­ны в вы­чис­ли­тель­ной ма­те­ма­ти­ке. М., 1976; Сьяр­ле Ф. Ме­тод ко­неч­ных эле­мен­тов для эл­лип­ти­че­ских за­дач. М., 1980; Shumaker L. L. Spline functions: basic theory. Malabar, 1993.

Вернуться к началу