ИНТЕРВА́Л И ОТРЕ́ЗОК

ИНТЕРВА́Л И ОТРЕ́ЗОК, про­стей­шие мно­же­ст­ва то­чек на пря­мой. Ин­тер­ва­лом (от­кры­тым про­ме­жут­ком) на­зы­ва­ет­ся мно­же­ст­во то­чек на пря­мой, за­клю­чён­ных ме­ж­ду точ­ка­ми $a$ и $b$, при­чём са­ми точ­ки $a$ и $b$ в ин­тер­вал не вклю­ча­ют­ся. От­рез­ком (сег­мен­том, замк­ну­тым про­ме­жут­ком) на­зы­ва­ет­ся мно­же­ст­во то­чек на пря­мой, за­клю­чён­ных ме­ж­ду точ­ка­ми $a$ и $b$, $a⩽b$, при­чём са­ми точ­ки $a$ и $b$ вклю­ча­ют­ся в от­ре­зок. Тер­ми­ны «ин­тер­вал» и «от­ре­зок» ис­поль­зу­ют­ся так­же для со­от­вет­ст­вую­щих мно­жеств дей­ст­вит. чи­сел: ин­тер­вал со­сто­ит из чи­сел $x$, удов­ле­тво­ряю­щих не­ра­вен­ствам $a<{x}<{b}$ сег­мент – из чи­сел $x$, удов­ле­тво­ряю­щих не­ра­вен­ст­вам $a⩽x⩽b$. Ин­тер­вал обо­зна­ча­ет­ся $(a,\, b)$, ино­гда $]a,\, b[$, от­ре­зок обо­зна­ча­ет­ся $[a,\, b]$.

Тер­мин «ин­тер­вал» (ча­ще «про­ме­жу­ток») упот­реб­ля­ют и в бо­лее ши­ро­ком смыс­ле для обо­зна­че­ния про­из­воль­но­го связ­но­го мно­же­ст­ва на пря­мой. В этих слу­ча­ях име­ют­ся в ви­ду соб­ст­вен­но ин­тер­вал $(a,\, b)$, бес­ко­неч­ные (не­соб­ст­вен­ные) ин­тер­ва­лы $(-∞,\, a),\, (a,\, +∞),\, (-∞,\, +∞)$, от­ре­зок $[a,\, b]$ и по­лу­ин­тер­ва­лы (по­лу­от­рез­ки) $[a,\, b),\, (a,\, b],\, (-∞,\, a],\, [a,\, +∞)$. При этом круг­лая скоб­ка оз­на­ча­ет, что со­от­вет­ст­вую­щий ко­нец ин­тер­ва­ла не при­над­ле­жит, а квад­рат­ная, что он при­над­ле­жит к рас­смат­ри­вае­мо­му мно­же­ст­ву. Напр., $(a,\, b]$ обо­зна­ча­ет мно­же­ст­во чи­сел $x$, удов­ле­тво­ряю­щих не­ра­вен­ст­вам $a<{x}⩽{b}$.

Обо­зна­че­ние $(a,\, b)$ ввёл нем. ма­те­ма­тик Г. Ко­ва­лев­ский (1909), $[a\,< b]$ – нем. ма­те­ма­тик Х. Хан (1921).