Подпишитесь на наши новости
Вернуться к началу с статьи up
 

ИНТЕГРА́ЛЬНОЕ УРАВНЕ́НИЕ

  • рубрика

    Рубрика: Математика

  • родственные статьи
  • image description

    В книжной версии

    Том 11. Москва, 2008, стр. 426

  • image description

    Скопировать библиографическую ссылку:




Авторы: Б. В. Хведелидзе

ИНТЕГРА́ЛЬНОЕ УРАВНЕ́НИЕ, урав­не­ние, со­дер­жа­щее ис­ко­мую функ­цию под зна­ком ин­те­гра­ла. Раз­ли­ча­ют ли­ней­ные и не­ли­ней­ные И. у.

Ли­ней­ные И. у. име­ют вид,$$A(x)φ(x) + \int\limits_D K(x, s)φ(s)ds=f(x), \ x∈D, \qquad (1)$$ где $A, K, f$ – за­дан­ные функ­ции, $A$ на­зы­ва­ет­ся ко­эф­фи­ци­ен­том, $K$ – ядром, $f$ – сво­бод­ным чле­ном (или пра­вой ча­стью) И. у., $D$ – ог­ра­ни­чен­ная или не­ог­ра­ни­чен­ная об­ласть евк­ли­до­ва про­стран­ст­ва од­но­го или мн. из­ме­ре­ний, $x, s$ – точ­ки это­го про­стран­ст­ва, $ds$ – эле­мент объ­ё­ма, $φ$ – ис­ко­мая функ­ция. Тре­бу­ет­ся най­ти функ­цию $φ$ та­кую, что урав­не­ние (1) удов­ле­тво­ря­ет­ся при всех (или поч­ти всех, ес­ли ин­те­грал рас­смат­ри­ва­ет­ся в смыс­ле Ле­бе­га) то­чек $x$ из $D$. Ес­ли в (1) $A$ и $K$ – мат­ри­цы, $f$ и $φ$ – век­тор-функ­ции, то (1) на­зы­ва­ет­ся сис­те­мой ли­ней­ных И. у. Ес­ли $f$ то­ж­де­ст­вен­но рав­на ну­лю, то И. у. на­зы­ва­ет­ся од­но­род­ным, в про­тив­ном слу­чае – не­од­но­род­ным.

В за­ви­си­мо­сти от ко­эф­фи­ци­ен­та $A$ раз­ли­ча­ют 3 ти­па ли­ней­ных И. у. Ес­ли $A(x)=0$ для всех $x∈D$, то (1) на­зы­ва­ет­ся урав­не­ни­ем 1-го ро­да; ес­ли $A(x)≠0$ для всех $x∈D$ – урав­не­ни­ем 2-го ро­да; ес­ли $A(x)$ об­ра­ща­ет­ся в нуль на не­ко­тором под­мно­же­ст­ве об­лас­ти $D$ – урав­не­ни­ем 3-го ро­да.

Да­лее рас­смат­ри­ва­ют­ся лишь И. у. в слу­чае, ко­гда $D$ – ко­неч­ный от­ре­зок $[a, b]$. В этом слу­чае ли­ней­ные И. у. 1-го и 2-го ро­да мож­но пред­ста­вить со­от­вет­ст­вен­но в ви­де $$\int\limits_a^b K(x, s)φ(s)ds=f(x), \  x∈[a,b], \qquad (2) $$ $$φ(x) - λ \int\limits_a^b K(x, s)φ(s)ds=f(x), \ x∈[a,b], \qquad (3) $$чис­ло $λ$ на­зы­ва­ет­ся па­ра­мет­ром И. у. При ис­сле­до­ва­нии за­дач ма­те­ма­тич. фи­зи­ки осо­бен­но час­то встре­ча­ют­ся урав­не­ния 2-го ро­да. Ес­ли яд­ро $K$ фред­голь­мо­во, т. е. ин­те­граль­ный опе­ра­тор в урав­не­ни­ях (2), (3) впол­не не­пре­ры­вен, то И. у. (2), (3) на­зы­ва­ют­ся урав­не­ния­ми Фред­голь­ма 1-го и 2-го ро­да со­от­вет­ст­вен­но. Важ­ным клас­сом урав­не­ний Фред­голь­ма яв­ля­ют­ся урав­не­ния, в ко­то­рых яд­ро $K$ удов­ле­тво­ря­ет ус­ло­вию $$\int\limits_a^b \int\limits_a^b|K(x, s)|^2dxds{<}\infty, \qquad (4)$$ а пра­вая часть $f$ и ис­ко­мая функ­ция $φ$ – из­ме­ри­мые функ­ции, квад­ра­ты ко­то­рых ин­тег­ри­руе­мы.

Урав­не­ние $$φ(x) - λ \int\limits_a^b K(x, s)φ(s)ds=0, \ x∈[a,b] \qquad (5)$$ на­зы­ва­ет­ся од­но­род­ным И. у., со­от­вет­ст­вую­щим не­од­но­род­но­му И. у. (3). Ана­ло­гич­но оп­ре­де­ля­ет­ся од­но­род­ное И. у., со­от­вет­ст­вую­щее урав­не­нию (2). Од­но­род­ное И. у. все­гда име­ет ре­ше­ние $φ≡0$, ко­то­рое на­зы­ва­ет­ся ну­ле­вым (или три­ви­аль­ным) ре­ше­ни­ем. Зна­че­ние па­ра­мет­ра $λ$, при ко­то­ром И. у. (5) име­ет не­ну­ле­вое ре­ше­ние $φ$, на­зы­ва­ет­ся соб­ст­вен­ным (или ха­рак­те­ри­стич.) зна­че­ни­ем яд­ра $K$ или И. у. (5), а не­ну­ле­вое ре­ше­ние $φ$ – собств. функ­ци­ей яд­ра $K$ или И. у. (5), со­от­вет­ст­вую­щей дан­но­му собств. зна­че­нию $λ$. Ес­ли $λ$ не яв­ля­ет­ся собств. зна­че­ни­ем, то его на­зы­ва­ют пра­виль­ным зна­че­ни­ем па­ра­мет­ра.

Ком­плекс­ное яд­ро $K$ на­зы­ва­ет­ся эр­ми­то­вым, ес­ли $$\overline{K(x, s)}=K(s, x), \qquad (6)$$ где чер­та оз­на­ча­ет пе­ре­ход к ком­плекс­но со­пря­жён­но­му зна­че­нию. В слу­чае дей­ст­ви­тель­но­го яд­ра ра­вен­ст­во (6) при­ни­ма­ет вид $K(x, s)=K(s, x)$. Та­кое яд­ро на­зы­ва­ет­ся сим­мет­рич­ным.

Ес­ли фред­голь­мо­во яд­ро $K$ об­ра­ща­ет­ся в нуль при $s>x$ (т. н. яд­ро Воль­тер­ры), то урав­не­ния (2) и (3) со­от­вет­ст­вен­но при­ни­ма­ют вид $$\int\limits_a^x K(x, s)φ(s)ds=f(x), \ a{⩽}s{⩽}x{⩽}b, \qquad (7)$$ $$φ(x) - λ \int\limits_a^x K(x, s)φ(s)ds=f(x), \ a{⩽}s{⩽}x{⩽}b. \qquad (8)$$ Эти урав­не­ния на­зы­ва­ют­ся урав­не­ния­ми Воль­тер­ры 1-го и 2-го ро­да со­от­вет­ст­вен­но.

Фред­голь­мо­во яд­ро мо­жет не иметь собств. зна­че­ний (напр., в слу­чае яд­ра Воль­тер­ры). Ес­ли яд­ро сим­мет­рич­но и не рав­но ну­лю поч­ти всю­ду, то оно име­ет, по край­ней ме­ре, од­но собств. зна­че­ние, и все его собств. зна­че­ния дей­ст­ви­тель­ны.

Отд. при­ме­ры И. у. на­ча­ли по­яв­лять­ся в 1-й пол. 19 в. Сис­те­ма­тич. изу­че­ние И. у. на­ча­лось в кон. 19 в. по­сле то­го, как уда­лось све­сти ре­ше­ние за­да­чи Ди­рих­ле для урав­не­ния Ла­п­ла­са к ис­сле­до­ва­нию ли­ней­но­го И. у. 2-го ро­да. В это же вре­мя на­ча­лось по­строе­ние об­щей тео­рии ли­ней­ных И. у. Ос­но­во­по­лож­ни­ка­ми этой тео­рии счи­та­ют­ся В. Воль­тер­ра, Д. Гиль­берт, Э. И. Фред­гольм и нем. ма­те­ма­тик Э. Шмидт. Ещё до ис­сле­до­ва­ний этих учё­ных для по­строе­ния ре­ше­ния И. у. был пред­ло­жен ме­тод по­сле­до­ва­тель­ных при­бли­же­ний. Этот ме­тод при­ме­нял­ся сна­ча­ла для ре­ше­ния не­ли­ней­ных И. у. ти­па урав­не­ний Воль­тер­ры (по совр. тер­ми­но­ло­гии) в свя­зи с ис­сле­до­ва­ния­ми обык­но­вен­ных диф­фе­рен­ци­аль­ных урав­не­ний в ра­бо­тах Ж. Лиу­вил­ля (1838), И. Фук­са (1870), Дж. Пеа­но (1888) и др., а К. Ней­ма­ном (1877) – для по­строе­ния ре­ше­ния ли­ней­но­го И. у. 2-го ро­да. Об­щую фор­му ме­то­ду по­сле­до­ва­тель­ных при­бли­же­ний при­дал Э. Пи­кар (1893).

При изу­че­нии урав­не­ния ко­леб­лю­щей­ся мем­бра­ны А. Пу­ан­ка­ре (1896) ввёл пе­ре­мен­ный па­ра­метр $λ$ в урав­не­ние (3). То­гда же им бы­ла вы­ска­за­на ги­по­те­за, что (ана­ло­гич­но слу­чаю урав­не­ния ко­леб­лю­щей­ся мем­бра­ны) ре­ше­ние И. у. (3) яв­ля­ет­ся ме­ро­морф­ной функ­ци­ей от $λ$. Эту ги­по­те­зу до­ка­зал Э. И. Фред­гольм (1900–03). Ра­бо­там Фред­голь­ма пред­ше­ст­во­ва­ли ис­сле­до­ва­ния В. Воль­тер­ры (1896–97), ко­то­рый изу­чал И. у. ви­да (7), (8). Он до­ка­зал, что ес­ли яд­ро и пра­вая часть урав­не­ния не­пре­рыв­ны, то урав­не­ние (8) име­ет при лю­бом ко­неч­ном зна­че­нии $λ$ од­но и толь­ко од­но не­пре­рыв­ное ре­ше­ние, ко­то­рое мож­но по­стро­ить ме­то­дом по­сле­до­ва­тель­ных при­бли­же­ний. Урав­не­ние (3) изу­ча­лось Фред­голь­мом в пред­по­ло­же­нии, что яд­ро, а так­же пра­вая часть и ис­ко­мое ре­ше­ние – не­пре­рыв­ные функ­ции со­от­вет­ст­вен­но на квад­ра­те $[a, b]×[a, b]$ и на сег­мен­те $[a, b]$. Сле­дуя Воль­тер­ре, Фред­гольм за­ме­нил ин­те­грал в урав­не­нии (3) ин­те­граль­ной сум­мой и рас­смот­рел И. у. (3) как пре­дель­ный слу­чай ко­неч­ной сис­те­мы ли­ней­ных ал­геб­ра­ич. урав­не­ний. С по­мо­щью фор­маль­но­го пе­ре­хо­да к пре­де­лу Фред­гольм по­лу­чил фор­му­лу для ре­ше­ния урав­не­ния (3); до­ка­зал, что эта фор­му­ла да­ёт ре­ше­ние урав­не­ния (3) для всех $λ$, за ис­клю­че­ни­ем ко­неч­но­го или счёт­но­го мно­же­ст­ва зна­че­ний, и до­ка­зал тео­ре­мы об ус­ло­ви­ях раз­ре­ши­мо­сти урав­не­ния (3). По­стро­ен­ную тео­рию урав­не­ния (3) Фред­гольм рас­про­стра­нил на слу­чай сис­те­мы ин­те­граль­ных урав­не­ний.

Д. Гиль­берт по­ка­зал (1904), что тео­ре­мы Фред­голь­ма мож­но до­ка­зать пу­тём стро­го­го обос­но­ва­ния пре­дель­но­го пе­ре­хо­да, и по­стро­ил об­щую тео­рию ли­ней­ных И. у. на ба­зе тео­рии ли­ней­ных и би­ли­ней­ных форм с бес­ко­неч­ным чис­лом пе­ре­мен­ных. Э. Шмидт при­дал бо­лее про­стую и не­сколь­ко бо­лее об­щую фор­му ис­сле­до­ва­ни­ям Гиль­бер­та. Он по­стро­ил тео­рию ли­ней­ных И. у. с дей­ст­ви­тель­ным сим­мет­рич­ным ядром, не­за­ви­си­мую от тео­рии Фред­голь­ма.

Ес­ли ли­ней­ное И. у. не яв­ля­ет­ся урав­не­ни­ем Фред­голь­ма, то его на­зы­ва­ют син­гу­ляр­ным ин­те­граль­ным урав­не­ни­ем. Об­щая тео­рия Гиль­бер­та квад­ра­тич­ных форм с бес­ко­неч­ным чис­лом пе­ре­мен­ных да­ёт воз­мож­ность и в этом слу­чае по­лу­чить ряд важ­ных ре­зуль­та­тов. Для не­ко­то­рых кон­крет­ных клас­сов син­гу­ляр­ных И. у. раз­ра­бо­та­ны спец. спо­со­бы их ре­ше­ния, учи­ты­ваю­щие ха­рак­тер­ные свой­ст­ва этих урав­не­ний.

На­ря­ду с ли­ней­ны­ми изу­ча­лись не­ли­ней­ные И. у., в ко­то­рых не­из­вест­ная функ­ция вхо­дит в урав­не­ние в сте­пе­ни $n, n> 1$, как это, напр., име­ет ме­сто в урав­не­нии $$φ(x) - λ \int\limits_a^b K(x, s)φ^n(s)ds=f(x), \ x∈[a,b].$$ Она мо­жет вхо­дить и бо­лее об­щим об­разом, как, напр., в урав­не­нии $$φ(x) = λ \int\limits_a^b K(x, s, φ(s))ds.$$

.

Лит.: При­ва­лов И. И. Ин­те­граль­ные урав­не­ния. 2-е изд. М.; Л., 1937; Смир­нов В. И. Курс выс­шей ма­те­ма­ти­ки. 6-е изд. М., 1974. Т. 4. Ч. 1; Пет­ров­ский И. Г. Лек­ции по тео­рии ин­те­граль­ных урав­не­ний. 4-е изд. М., 1984.

Вернуться к началу