Подпишитесь на наши новости
Вернуться к началу с статьи up
 

ИНТЕГРА́ЛЬНОЕ МНОГООБРА́ЗИЕ

  • рубрика

    Рубрика: Математика

  • родственные статьи
  • image description

    В книжной версии

    Том 11. Москва, 2008, стр. 425

  • image description

    Скопировать библиографическую ссылку:




Авторы: А. М. Самойленко

ИНТЕГРА́ЛЬНОЕ МНОГООБРА́ЗИЕ сис­те­мы диф­фе­рен­ци­аль­ных урав­не­ний $$\frac{dx}{dt}=X(t, x), \qquad{(*)}$$ мно­же­ст­во $S$ то­чек рас­ши­рен­но­го фа­зо­во­го про­стран­ст­ва (про­стран­ст­ва пе­ре­мен­ных $(t, x)$), ко­то­рое за­пол­не­но ин­те­граль­ны­ми кри­вы­ми этой сис­те­мы (т. е. гра­фи­ка­ми её ре­ше­ний), оп­ре­де­лён­ны­ми для всех $t∈{\bf R}$, и для ко­то­ро­го ко­ор­ди­на­ты $x$ его то­чек $(t, x)$ при лю­бом фик­си­ро­ван­ном $t$ об­ра­зу­ют мно­го­об­ра­зие $S_t$ в фа­зо­вом про­стран­ст­ве этой сис­те­мы (про­стран­ст­ве пе­ре­мен­ной $x$). Ино­гда го­во­рят, что мно­го­об­ра­зие $S_t$ в рас­ши­рен­ном фа­зо­вом про­стран­ст­ве, точ­ки ко­то­ро­го при из­ме­не­нии $t$ из­ме­ня­ют своё по­ло­же­ние со­глас­но $(*)$, как бы ше­ве­лит­ся, это – на­гляд­ный об­раз И. м. До­пол­ни­тель­но час­то под­ра­зу­ме­ва­ют к.-л. ус­ло­вие о ха­рак­те­ре за­ви­си­мо­сти $S_t$ от $t$. Напр., ес­ли $X(t, x)$ за­ви­сит от $t$ пе­рио­ди­че­ски, ин­те­ре­су­ют­ся те­ми $S$, для ко­то­рых $S_t$ так­же за­ви­сит от $t$ пе­рио­ди­че­ски. При оп­ре­де­ле­нии И. м. ино­гда тре­бу­ют ана­ли­тич. пред­ста­ви­мо­сти мно­же­ст­ва $S_t$ урав­не­ни­ем $x=f(t,C)$, где функ­ция $f$, за­дан­ная для всех $t∈{\bf R}$ и для $C=(C_1,…, C_m)$ из не­ко­то­рой об­лас­ти $D$, об­ла­да­ет оп­реде­лён­ной глад­ко­стью по $(t,C)$ при $(t, C)∈{\bf R}×D$. В этом слу­чае И. м. на­зы­ва­ют $m$-мер­ным той же глад­ко­сти, ка­ко­ва глад­кость функ­ции $f$.

При­ме­ры: ин­те­граль­ная кри­вая пе­рио­дич. ре­ше­ния сис­те­мы $(*)$, т. е. пе­рио­дич. ин­те­граль­ная кри­вая; се­мей­ст­во ин­те­граль­ных кри­вых сис­те­мы $(*)$, об­ра­зо­ван­ное се­мей­ст­вом ква­зи­пе­рио­дич. ре­ше­ний сис­те­мы $(*)$, за­пол­няю­щих $m$-мер­ный тор в про­стран­ст­ве пе­ре­мен­ной $x$ при $t=0$, т. е. $m$-мер­ное то­рои­даль­ное ин­те­граль­ное мно­го­об­ра­зие.

Наи­бо­лее изу­чен­ные И. м. – то­рои­даль­ные мно­го­об­ра­зия, для ко­то­рых $S_t$ яв­ля­ют­ся то­ра­ми при лю­бом фик­си­ров. $t∈{\bf R}$. Эти мно­го­об­ра­зия час­то встре­ча­ют­ся в сис­те­мах ви­да $(*)$, опи­сы­ваю­щих ко­ле­ба­тель­ные про­цес­сы.

Род­ст­вен­ным И. м. яв­ля­ет­ся по­ня­тие ин­ва­ри­ант­но­го мно­го­об­ра­зия ав­то­ном­ной сис­те­мы [сис­те­мы с не за­ви­ся­щей от $t$ пра­вой ча­стью $(*)$]. В этом слу­чае ин­те­рес пред­став­ля­ют И. м. $S$, для ко­то­рых $S_t$ не за­ви­сит от $t$; они на­зы­ва­ют­ся ин­ва­ри­ант­ны­ми мно­го­об­ра­зия­ми.

Лит.: Бо­го­лю­бов Н. Н. О не­ко­то­рых ста­ти­сти­че­ских ме­то­дах в ма­те­ма­ти­че­ской фи­зи­ке. К., 1945; Ми­тро­поль­ский Ю. А. Про­бле­мы асим­пто­ти­че­ской тео­рии не­ста­цио­нар­ных ко­ле­ба­ний. М., 1964; Бо­го­лю­бов Н. Н., Ми­тро­поль­ский Ю. А., Са­мой­лен­ко АМ. Ме­тод ус­ко­рен­ной схо­ди­мо­сти в не­ли­ней­ной ме­ха­ни­ке. К., 1969; Ми­тро­поль­ский Ю. А., Лы­ко­ва О. Б. Ин­те­граль­ные мно­го­об­ра­зия в не­ли­ней­ной ме­ха­ни­ке. М., 1973; Ар­нольд В. И. Ма­те­ма­ти­че­ские ме­то­ды клас­си­че­ской ме­ха­ни­ки. 5-е изд. М., 2003.

Вернуться к началу