Подпишитесь на наши новости
Вернуться к началу с статьи up
 

ИНТЕГРА́ЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕ́НИЕ

  • рубрика

    Рубрика: Математика

  • родственные статьи
  • image description

    В книжной версии

    Том 11. Москва, 2008, стр. 423

  • image description

    Скопировать библиографическую ссылку:




Авторы: В. А. Ильин

ИНТЕГРА́ЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕ́НИЕ, раз­дел ма­те­ма­тич. ана­ли­за, в ко­то­ром изу­ча­ют­ся ин­те­гра­лы, их свой­ст­ва, ме­то­ды вы­чис­ле­ния и различные при­ло­же­ния. И. и. тес­но свя­за­но с диф­фе­рен­ци­аль­ным ис­чис­ле­ни­ем и со­став­ля­ет вме­сте с ним ос­новную часть ма­те­ма­тического ана­ли­за (или ана­ли­за бес­ко­неч­но ма­лых). Центр. по­ня­тия­ми И. и. яв­ля­ют­ся по­ня­тия оп­ре­де­лён­но­го и не­оп­ре­де­лён­но­го ин­те­гра­лов функ­ций од­ной дей­ст­ви­тель­ной пе­ре­мен­ной.

Определённый интеграл

 К это­му по­ня­тию при­во­дят две фун­дам. за­да­чи: за­да­ча о вы­чис­ле­нии пу­ти, прой­ден­но­го дви­жу­щей­ся вдоль оси $Oy$ ма­те­ри­аль­ной точ­кой за про­ме­жу­ток времени от $x=a$ до $x=b, {a}<{b}$, по известной в лю­бой мо­мент вре­ме­ни $x$ ско­ро­сти $f(x)$ этой точ­ки, и гео­мет­рич. за­да­ча о вы­чис­ле­нии пло­ща­ди т. н. кри­во­ли­ней­ной тра­пе­ции, т. е. фи­гу­ры, ог­ра­ни­чен­ной гра­фи­ком функ­ции $y=f(x)$ на от­рез­ке $a⩽x⩽b$, осью абс­цисс и дву­мя вер­ти­каль­ны­ми пря­мы­ми $x=a$ и $x=b$ (на рис. эта фи­гу­ра за­штри­хо­ва­на).

Для ре­ше­ния пер­вой за­да­чи про­ме­жу­ток вре­ме­ни $a⩽x⩽b$ мож­но раз­бить на ма­лые про­ме­жут­ки, ог­ра­ни­чен­ные мо­мен­та­ми вре­ме­ни $a={x_0}<{x_1}<{x_2}<{...}<{x_{n–1}}<{x_n}=b$. На ка­ж­дом ма­лом про­ме­жут­ке вре­ме­ни $x_{k–1}⩽x⩽x_k$ ско­рость ме­ня­ет­ся ма­ло и её мож­но счи­тать по­сто­ян­ной и рав­ной $f(\textξ_k)$, где $\textξ_k$ – не­ко­то­рое зна­че­ние вре­ме­ни из про­ме­жут­ка $[x_{k–1}, x_k], k=1,..., n$. При этом путь $S[x_{k–1}, x_k]$, прой­ден­ный дви­жу­щей­ся точ­кой за про­ме­жу­ток вре­ме­ни от $x_{k–1}$ до $x_k$, при­бли­жён­но мож­но счи­тать рав­ным про­из­ве­де­нию $f(\textξ_k)$ на дли­ну $Δx_k=x_k-x_{k–1}$ про­ме­жут­ка $[x_{k–1}, x_k]$, т. е. $S[x_{k–1}, x_k]=f(\textξ_k)Δx_k$. В та­ком слу­чае путь $S[a, b]$, прой­ден­ный дви­жу­щей­ся точ­кой за весь про­ме­жу­ток вре­ме­ни от $x=a$ до $x=b$, при­бли­жён­но ра­вен сум­ме $$f(\textξ_1)Δx_1+f(\textξ_2)Δx_2+...+f(\textξ_n)Δx_n. \qquad {(1)}$$ Точ­ное зна­че­ние пу­ти $S[a, b]$ по­лу­ча­ет­ся, ес­ли в сум­ме (1) пе­рей­ти к пре­де­лу при стрем­ле­нии к ну­лю наи­боль­шей из длин $Δx_k$ (при этом об­щее чис­ло $n$ час­тич­ных про­ме­жут­ков бу­дет не­ог­ра­ни­чен­но воз­рас­тать). Т. е. ес­ли $d$ – наи­боль­шая из длин $Δx_k$, то $$S[a, b]=\lim\limits_{d\to 0} f(\textξ_1)Δx_1+f(\textξ_2)Δx_2+...+f(\textξ_n)Δx_n)=\lim\limits_{d\to 0}\sum\limits_{k=1}^{n}f(\textξ_k)Δx_k \qquad{(2)}$$

.

Сум­мы (1) мож­но рас­смат­ри­вать для про­из­воль­ной функ­ции $f(x)$, за­дан­ной на от­рез­ке $a⩽x⩽b$, их на­зы­ва­ют ин­те­граль­ны­ми сум­ма­ми, от­ве­чаю­щи­ми дан­ным раз­бие­ни­ям от­рез­ка $[a, b]$, а пре­дел, стоя­щий в пра­вой час­ти (2), – оп­ре­де­лён­ным ин­те­гра­лом от функ­ции $f$ по от­рез­ку $[a, b]$. Для ши­ро­ко­го клас­са функ­ций $f(x)$ этот пре­дел су­ще­ст­ву­ет и не за­ви­сит ни от вы­бо­ра кон­крет­ных раз­бие­ний ${x_0}<{x_1}<{...}<{x_n}$, ни от вы­бо­ра то­чек $\textξ_k, x_{k-1}⩽\textξ_k⩽x_k, k=1,..., n$. В этом слу­чае го­во­рят, что оп­ре­де­лён­ный ин­те­грал от функ­ции $f(x)$ по от­рез­ку $[a, b]$ су­ще­ст­ву­ет, его обо­зна­ча­ют $\int_{a}^{b}f(x)dx$. В этом обо­зна­че­нии сим­вол $\int$ (уд­ли­нён­ное $S$ – пер­вая бу­к­ва сло­ва Summa) на­зы­ва­ет­ся зна­ком ин­те­гра­ла, $f(x)$ – по­дын­те­граль­ной функ­ци­ей, а чис­ла $a$ и $b$ – со­от­вет­ст­вен­но ниж­ним и верх­ним пре­де­ла­ми ин­тег­ри­ро­ва­ния.

Ре­ше­ние вто­рой за­да­чи (о вы­чис­ле­нии пло­ща­ди за­штри­хо­ван­ной на рис. кри­во­ли­ней­ной тра­пе­ции) ос­но­ва­но на том, что ин­те­граль­ная сум­ма (1) гео­мет­ри­че­ски пред­став­ля­ет со­бой сум­му пло­ща­дей пря­мо­уголь­ни­ков, ос­но­ва­ния­ми ко­то­рых слу­жат от­рез­ки $[x_{k–1}, x_k]$ дли­ны $Δx_k$, а вы­со­та­ми – от­рез­ки дли­ны $f(\textξ_k)$, т. е. сум­ма (1) рав­на пло­ща­ди сту­пен­ча­той фи­гу­ры, об­ве­дён­ной на ри­сун­ке крас­ной ли­ни­ей, а пре­дел, стоя­щий в пра­вой час­ти (2), т. е. ин­те­грал $\int_{a}^{b}f(x)dx$, ра­вен пло­ща­ди этой кри­во­ли­ней­ной тра­пе­ции.

Оп­ре­де­лён­ный ин­те­грал об­ла­да­ет свой­ст­вом ли­ней­но­сти: из су­ще­ст­во­ва­ния оп­ре­де­лён­ных ин­те­гра­лов от функ­ций $f_1(x)$ и $f_2(x)$ по от­рез­ку $[a, b]$ вы­те­ка­ет, что для лю­бых дей­ст­ви­тель­ных чи­сел α и β $$\int\limits_{a}^{b}(\textαf_1(x)+\textβf_2(x))dx=\textα\int\limits_{a}^{b}f_1(x)dx+\textβ\int\limits_{a}^{b}f_2(x)dx.$$. Кро­ме то­го, при $a⩾b$ по оп­ре­де­ле­нию по­ла­га­ют $$\int\limits_{a}^{b}f(x)dx=0, \int\limits_{a}^{b}f(x)dt=-\int\limits_{a}^{b}f(x)dx.$$ Зна­че­ние оп­ре­де­лён­но­го ин­те­гра­ла не за­ви­сит от обо­зна­че­ния пе­ре­мен­ной ин­тег­ри­ро­ва­ния, т. е. $$\int\limits_{a}^{b}f(x)dx=\int\limits_{a}^{b}f(t)dt.$$

К вы­чис­ле­нию оп­ре­де­лён­ных ин­те­гра­лов, кро­ме ука­зан­ных вы­ше двух за­дач, при­во­дят так­же за­да­чи о вы­чис­ле­нии пло­ща­дей, ог­ра­ни­чен­ных кри­вы­ми, длин дуг глад­ких кри­вых, пло­ща­дей по­верх­но­стей тел, объ­ё­мов тел, а так­же за­да­чи оп­ре­де­ле­ния ко­ор­ди­нат цен­тров тя­же­сти, мо­мен­тов инер­ции и др. за­да­чи ес­те­ст­во­зна­ния и тех­ни­ки. Напр., дли­на ду­ги пло­ской глад­кой кри­вой, за­дан­ной на отрезке ${a}⩽{x}⩽{b}$ уравнением $y=f(x)$, вы­ра­жа­ет­ся ин­те­гра­лом $$\int\limits_a^b\sqrt{1+(f'(x))^2}dx$$, объ­ём те­ла, об­ра­зо­ван­но­го вра­ще­ни­ем этой ду­ги во­круг оси $Ox$, – ин­те­гра­лом $$\textπ\int\limits_a^b(f(x))^2dx,$$ а пло­щадь по­верх­ности это­го те­ла – ин­те­гра­лом $$2\textπ\int\limits_a^bf(x)\sqrt{1+(f'(x))^2}dx.$$

Су­ще­ст­ву­ют разл. спо­со­бы ин­тег­ри­ро­ва­ния, т. е. вы­чис­ле­ния оп­ре­де­лён­ных ин­те­гра­лов. В отд. слу­ча­ях уда­ёт­ся не­по­сред­ст­вен­но вы­чис­лить пре­дел, стоя­щий в пра­вой час­ти (2). Не­ко­то­рые оп­ре­де­лён­ные ин­те­гра­лы уда­ёт­ся вы­чис­лить с по­мо­щью не­оп­ре­де­лён­ных ин­те­гра­лов (см. ни­же). Од­на­ко, как пра­ви­ло, при­хо­дит­ся при­бе­гать к при­бли­жён­но­му вы­чис­ле­нию оп­ре­де­лён­ных ин­те­гра­лов, при­ме­няя разл. квад­ра­тур­ные фор­му­лы.

В слу­чае ко­гда по­дын­те­граль­ная функ­ция $f$, кро­ме пе­ре­мен­ной $x$, по ко­то­рой идёт ин­тег­ри­ро­ва­ние, за­ви­сит ещё от пе­ре­мен­ной $\textα$, рас­смат­ри­ва­ют оп­ре­де­лён­ные ин­те­гра­лы ви­да $$\textφ(\textα)=\int\limits_a^b(f(x, \textα)dx,$$ на­зы­вае­мые ин­те­гра­ла­ми, за­ви­ся­щи­ми от па­ра­мет­ра. Они слу­жат осн. сред­ст­вом для изу­че­ния мн. спе­ци­аль­ных функ­ций.

По­ня­тие оп­ре­де­лён­но­го ин­те­гра­ла по от­рез­ку $[a, b]$ до­пус­ка­ет разл. обоб­ще­ния (см. Ин­те­грал). Оно рас­про­стра­ня­ет­ся так­же на слу­чай не­ог­ра­ни­чен­но­го про­ме­жут­ка ин­тег­ри­ро­ва­ния и на не­ко­то­рые клас­сы не­ог­ра­ни­чен­ных функ­ций (та­кие обоб­ще­ния на­зы­ва­ют не­соб­ст­вен­ны­ми ин­те­гра­ла­ми), а так­же на функ­ции мн. дей­ст­ви­тель­ных пе­ре­мен­ных (см. Крат­ный ин­те­грал, Кри­во­ли­ней­ный ин­те­грал, По­верх­но­ст­ный ин­те­грал), на функ­ции ком­плекс­ной пе­ре­мен­ной (см. Ко­ши ин­те­грал) и на век­тор-функ­ции (см. Ост­ро­град­ско­го фор­му­ла, Сто­кса фор­му­ла).

Неопределённый интеграл

По­ми­мо оп­ре­де­лён­но­го ин­те­гра­ла от дан­ной функ­ции $f$ по от­рез­ку $[a, b]$, ко­то­рый яв­ляется чис­лом, рас­смат­ри­ва­ет­ся так­же неоп­ре­де­лён­ный ин­те­грал, яв­ляю­щий­ся функ­ци­ей, по­лу­чаю­щей­ся из $f$ с по­мо­щью опе­ра­ции ин­тег­ри­ро­ва­ния, ко­то­рая об­рат­на опе­ра­ции диф­фе­рен­ци­ро­ва­ния. К не­оп­ре­де­лён­но­му ин­те­гра­лу при­во­дит, напр., за­да­ча о на­хож­де­нии функ­ции, вы­ра­жаю­щей путь, прой­ден­ный дви­жу­щей­ся точ­кой, по ско­ро­сти этой точ­ки. При диф­фе­рен­ци­ро­ва­нии дан­ной функ­ции ищет­ся её про­из­вод­ная. При ин­те­гри­ро­ва­нии функ­ции ищет­ся функ­ция, на­зы­вае­мая пер­во­об­раз­ной или при­ми­тив­ной, про­из­вод­ная ко­то­рой рав­на дан­ной функ­ции. Функ­ция $F(x)$ яв­ля­ет­ся пер­во­об­раз­ной функ­ции $f(x)$ на ин­тер­ва­ле ${a}<{x}<{b}$, ес­ли всю­ду на этом ин­тер­ва­ле функ­ция $F(x)$ име­ет про­из­вод­ную, удов­ле­тво­ряю­щую ра­вен­ст­ву $F′(x)=f(x)$, или, что то же са­мое, ес­ли всю­ду на этом ин­тер­ва­ле $dF(x)=f(x)dx$. Ес­ли функ­ция $F(x)$ яв­ля­ет­ся пер­во­об­раз­ной функ­ции $f(x)$ на дан­ном ин­тер­ва­ле, то и функ­ция $F(x)+C$, где $C$ – лю­бая по­сто­ян­ная, так­же яв­ля­ет­ся пер­во­об­раз­ной функ­ции $f(x)$ на этом ин­тер­ва­ле (по­сколь­ку про­из­вод­ная по­сто­ян­ной рав­на ну­лю). Лю­бые две пер­во­об­раз­ные функ­ции для $f(x)$ от­ли­ча­ют­ся лишь по­сто­ян­ным сла­гае­мым. Ес­ли $F(x)$ яв­ля­ет­ся од­ной из пер­во­об­раз­ных функ­ции $f(x)$, то все пер­во­об­раз­ные функ­ции $f(x)$ име­ют вид $F(x)+C$; это вы­ра­же­ние на­зы­ва­ет­ся не­оп­ре­де­лён­ным ин­те­гра­лом от функ­ции $f(x)$ и обо­зна­ча­ет­ся $\int{f(x)dx}$, т. о., $$\int {f(x)dx}=F(x)+C.$$

f(x)dx=F(x)+C.

 

Для не­пре­рыв­ной по­дын­те­граль­ной функ­ции $f$ оп­ре­де­лён­ный ин­те­грал с пере­мен­ным верх­ним пре­де­лом $\int\limits_{a}^{x}f(t)dt$ су­ще­ст­ву­ет и яв­ля­ет­ся од­ной из пер­во­об­раз­ных по­дын­те­граль­ной функ­ции. Лю­бая пер­во­об­раз­ная $F(x)$ по­дын­те­граль­ной функ­ции име­ет вид $$F(x)=\int\limits_{a}^{x}f(t)dt+C.$$След­ст­ви­ем это­го ра­вен­ст­ва яв­ля­ет­ся т. н. осн. фор­му­ла И. и. (фор­му­ла Нью­то­на – Лейб­ни­ца)$$\int\limits_{a}^{b}f(t)dt=F(b)-F(a),$$ вы­ра­жаю­щая оп­ре­де­лён­ный ин­те­грал че­рез раз­ность зна­че­ний лю­бой пер­во­об­раз­ной на кон­цах ин­тер­ва­ла ин­тег­ри­ро­ва­ния.

Вза­им­но об­рат­ный ха­рак­тер опе­ра­ций ин­тег­ри­ро­ва­ния и диф­фе­рен­ци­ро­ва­ния вы­ра­жа­ет­ся ра­вен­ст­ва­ми $$d\int {f(x)dx}=f(x)dx, \int {dF(x)}=F(x)+C,$$ из ко­то­рых вы­те­ка­ет воз­мож­ность по­лу­че­ния из фор­мул диф­фе­рен­ци­ро­ва­ния со­от­вет­ст­вую­щих фор­мул ин­тег­ри­ро­ва­ния: $$\int{x^αdx}=\frac{x^{α+1}}{α+1}+C \quad{(α\neq-1)},$$ $$\int{\frac{dx}{x}}=\ln{x}+C\quad{(x>0)},$$  $$\int{a^xdx}=\frac{a^x}{\ln{a}}+C\quad{({0}<{a}\neq{1})},$$ в ча­ст­но­сти $\int{e^xdx}=e^x+C,$ $$\int{\sin{x}dx}=-\cos{x}+C,$$ $$\int\cos{x}dx=\sin{x}+C,$$ $$\int{\frac{dx}{\cos^2{x}}}=\text{tg} x+C({-\frac{\textπ}{2}+\textπn}<{x}<{\frac{\textπ}{2}+\textπn}, \text{где} \quad{n=0, ±1, ±2, ...)},$$ $$\int{\frac{dx}{\sin^2{x}}}=-\text{ctg} x+C({\textπn}<{x}<{\textπ+\textπn}, \text{где} \quad{n=0, ±1, ±2,...)},$$ $$\int{\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}}=\arcsin{x}+C \quad{(|x|<1)},$$ $$\int{\frac{dx}{1+x^2}}=\text{arctg}x+C.$$

Не­оп­ре­де­лён­ный ин­те­грал об­ла­да­ет спра­вед­ли­вым с точ­но­стью до про­из­воль­но­го по­сто­ян­но­го сла­гае­мо­го ли­ней­ным свойством $$\int{(\textαf_1(x)+\textβf_2(x))dx}=\textα\int{f_1(x)dx}+\textβ\int{f_2(x)dx}$$($\textα$ и $\textβ$ – про­из­воль­ные дей­ст­ви­тель­ные чис­ла).

В то вре­мя как про­из­вод­ные всех эле­мен­тар­ных функ­ций вы­ра­жа­ют­ся че­рез эле­мен­тар­ные функ­ции, ин­те­гра­лы от эле­мен­тар­ных функ­ций не все­гда вы­ра­жа­ют­ся че­рез эле­мен­тар­ные функ­ции, т. е., как го­во­рят, не все­гда «бе­рут­ся в ко­неч­ном ви­де». И. и. рас­по­ла­га­ет лишь отд. приё­ма­ми ин­тег­ри­ро­ва­ния в ко­неч­ном ви­де. Сре­ди пра­вил ин­тег­ри­ро­ва­ния ос­нов­ны­ми яв­ля­ют­ся пра­ви­ло ин­тег­ри­ро­ва­ния по час­тям, опи­раю­щее­ся на ра­вен­ст­во $$\int{ud\textν}=u\textν-\int{\textνdu},$$ и ин­тег­ри­ро­ва­ние за­ме­ной пе­ре­мен­ной, опи­раю­щее­ся на то, что, ес­ли $$x=\textφ(t),$$ то $$dx=\textφ′(t)dt$$ и $$\int{f(\textφ(t))\textφ′(t)dt}=\int{f(x)dx}.$$

К клас­су функ­ций, ин­те­гра­лы от ко­то­рых все­гда вы­ра­жа­ют­ся че­рез эле­мен­тар­ные функ­ции, от­но­сят­ся мно­же­ст­во всех ра­цио­наль­ных функ­ций (т. е. от­но­ше­ний двух мно­го­чле­нов $P(x)$ и $Q(x)$), мно­же­ст­во функ­ций, ра­цио­наль­но за­вися­щих от $\sqrt{ax^2+bx+c}$ и от $x$ или от $x$ и от ра­цио­наль­ной сте­пе­ни дро­би $(ax+b)/(cx+d)$, мно­же­ст­во функ­ций, ра­цио­наль­но за­ви­ся­щих от $\cos{x}$ и $\sin{x}$.

Функ­ции, ко­то­рые пред­став­ля­ют­ся не­оп­ре­де­лён­ны­ми ин­те­гра­ла­ми, не бе­ру­щи­ми­ся в ко­неч­ном ви­де, пред­став­ля­ют со­бой но­вые транс­цен­дент­ные функ­ции, не­ко­то­рые из ко­то­рых хо­ро­шо изу­че­ны (см., напр., Ин­те­граль­ный ло­га­рифм, Ин­те­граль­ные си­нус и ко­си­нус, Ин­те­граль­ная по­ка­за­тель­ная функ­ция).

О рас­ши­ре­нии и обоб­ще­нии по­ня­тия ин­те­гра­ла см. Ин­те­грал.

Историческая справка

Воз­ник­но­ве­ние И. и. свя­за­но с на­хо­ж­де­ни­ем пло­ща­дей и объ­ё­мов. Ряд за­дач та­ко­го ро­да был ре­шён ма­те­ма­ти­ка­ми Древ­ней Гре­ции. Ан­тич­ная ма­те­ма­ти­ка пред­вос­хи­ти­ла идеи И. и. в зна­чи­тель­но боль­шей сте­пе­ни, чем диф­фе­рен­ци­аль­но­го ис­чис­ле­ния. Боль­шую роль при ре­ше­нии та­ких за­дач иг­рал ис­чер­пы­ва­ния ме­тод, соз­дан­ный Ев­док­сом Книд­ским и ши­ро­ко при­ме­няв­ший­ся Ар­хи­ме­дом. Од­на­ко Ар­хи­мед не вы­де­лил об­ще­го со­дер­жа­ния ин­те­гра­ци­он­ных приё­мов и по­ня­тия об ин­те­гра­ле, и тем бо­лее не соз­дал ал­го­рит­ма И. и. Учё­ные Сред­не­го и Ближ­не­го Вос­то­ка в 9–15 вв. изу­ча­ли и пе­ре­во­ди­ли тру­ды Ар­хи­ме­да на об­ще­дос­туп­ный в их сре­де араб. яз., но су­ще­ст­вен­но но­вых ре­зуль­та­тов в И. и. они не по­лу­чи­ли. Дея­тель­ность ев­роп. учё­ных в это вре­мя бы­ла ещё бо­лее скром­ной. Лишь в 16–17 вв. раз­ви­тие ес­теств. на­ук по­ста­ви­ло пе­ред ма­те­ма­ти­ка­ми Ев­ро­пы ряд но­вых за­дач, в ча­ст­но­сти за­да­чи на­хо­ж­де­ния квад­ра­тур, ку­ба­тур и оп­ре­де­ле­ние цен­тров тя­же­сти. Тру­ды Ар­хи­ме­да, впер­вые из­дан­ные в 1544 (на лат. и греч. язы­ках), ста­ли при­вле­кать ши­ро­кое вни­ма­ние, и их изу­че­ние яви­лось од­ним из важ­ней­ших от­прав­ных пунк­тов даль­ней­ше­го раз­ви­тия И. и. Ан­тич­ный «не­де­ли­мых» ме­тод был воз­ро­ж­дён И. Ке­п­ле­ром. В бо­лее об­щей фор­ме идеи это­го ме­то­да бы­ли раз­ви­ты Б. Ка­валь­е­ри, Э. Тор­ри­чел­ли, Дж. Вал­ли­сом, Б. Пас­ка­лем. Ме­то­дом «не­де­ли­мых» был ре­шён ряд гео­мет­рич. и ме­ханич. за­дач. К это­му же вре­ме­ни от­но­сят­ся опуб­ли­ко­ван­ные позд­нее ра­бо­ты П. Фер­ма по квад­ри­ро­ва­нию па­ра­бол $n$-й сте­пе­ни, а за­тем – ра­бо­ты Х. Гюй­ген­са по спрям­ле­нию кри­вых.

В ито­ге этих ис­сле­до­ва­ний вы­яви­лась общ­ность приё­мов ин­тег­ри­ро­ва­ния при ре­ше­нии внеш­не не­сход­ных за­дач гео­мет­рии и ме­ха­ни­ки, при­во­див­ших­ся к квад­ра­ту­рам как к гео­мет­рич. эк­ви­ва­лен­ту оп­ре­де­лён­но­го ин­те­гра­ла. За­клю­чит. зве­ном в це­пи от­кры­тий это­го пе­рио­да бы­ло ус­та­нов­ле­ние вза­им­но об­рат­ной свя­зи ме­ж­ду за­да­ча­ми на про­ве­де­ние ка­са­тель­ной и на квад­ра­ту­ры, т. е. ме­ж­ду диф­фе­рен­ци­ро­ва­ни­ем и ин­тег­ри­ро­ва­ни­ем. Ос­нов­ные по­ня­тия и ал­го­ритм И. и. бы­ли соз­да­ны не­за­ви­си­мо друг от дру­га И. Нью­то­ном и Г. В. Лейб­ни­цем. По­след­не­му при­над­ле­жит тер­мин «И. и.» и обо­зна­че­ние ин­те­гра­ла $\int{ydx}$.

При этом в ра­бо­тах Нью­то­на осн. роль иг­ра­ло по­ня­тие не­оп­ре­де­лён­но­го ин­те­гра­ла (флю­ен­ты; см. Флюк­сий ис­чис­ле­ние), то­гда как Лейб­ниц ис­хо­дил из по­ня­тия оп­ре­де­лён­но­го ин­те­гра­ла. Даль­ней­шее раз­ви­тие И. и. в 18 в. свя­за­но с име­на­ми И. Бер­нул­ли и осо­бен­но Л. Эй­ле­ра. В нач. 19 в. И. и. вме­сте с диф­фе­рен­ци­аль­ным ис­чис­ле­ни­ем бы­ло пе­ре­строе­но О. Ко­ши на ос­но­ве тео­рии пре­де­лов. В раз­ви­тии И. и. в 19 в. при­ня­ли уча­стие М. В. Ост­ро­град­ский, В. Я. Бу­ня­ков­ский, П. Л. Че­бы­шев. В кон. 19 – нач. 20 вв. раз­ви­тие тео­рии мно­жеств и тео­рии функ­ций дей­ст­ви­тель­ной пе­ре­мен­ной при­ве­ло к уг­луб­ле­нию и обоб­ще­нию осн. по­ня­тий И. и. (Б. Ри­ман, А. Ле­бег и др.).

Лит.: Ис­то­рия ма­те­ма­ти­ки с древ­ней­ших вре­мен до на­ча­ла XIX сто­ле­тия: В 3 т. М., 1970–1972; Рыб­ни­ков КА. Ис­то­рия ма­те­ма­ти­ки. М., 1994; Ни­коль­ский СМ. Курс ма­те­ма­ти­че­ско­го ана­ли­за. 6-е изд. М., 2001; Зо­рич ВА. Ма­те­ма­ти­че­ский ана­лиз. 4-е изд. М., 2002. Ч. 1–2; Куд­ряв­цев ЛД. Курс ма­те­ма­ти­че­ско­го ана­ли­за: В 3 т. 5-е изд. М., 2003–2006; Фих­тен­гольц Г. М. Курс диф­фе­рен­ци­аль­но­го и ин­те­граль­но­го ис­чис­ле­ния. 8-е изд. М., 2003–2005. Т. 1, 3; Иль­ин ВА., Кур­ки­на АВ. Выс­шая ма­те­ма­ти­ка. 2-е изд. М., 2004; Иль­ин ВА., По­зняк ЭГ. Ос­но­вы ма­те­ма­ти­че­ско­го ана­ли­за. М., 2005. Ч. 1. 7-е изд. М., 2006. Ч. 2. 5-е изд.; Иль­ин ВА., Са­дов­ни­чий ВА., Сен­дов БлХ. Ма­те­ма­ти­че­ский ана­лиз. 3-е изд. М., 2006. Ч. 1–2.

Вернуться к началу