Подпишитесь на наши новости
Вернуться к началу с статьи up
 

ИНТЕГРА́Л

  • рубрика

    Рубрика: Математика

  • родственные статьи
  • image description

    В книжной версии

    Том 11. Москва, 2008, стр. 418

  • image description

    Скопировать библиографическую ссылку:




Авторы: В. А. Ильин

ИНТЕГРА́Л, од­но из важ­ней­ших по­ня­тий ма­те­ма­ти­ч. анализа, воз­ник­шее в свя­зи с по­треб­но­стью, с од­ной сто­ро­ны, оты­ски­вать функ­цию по её про­из­вод­ной, напр., на­хо­дить функ­цию, вы­ра­жаю­щую путь, прой­ден­ный дви­жу­щей­ся точ­кой, по ско­ро­сти этой точ­ки, с дру­гой – вы­чис­лять пло­ща­ди, объ­ё­мы, дли­ны дуг, ра­бо­ту сил за оп­ре­де­лён­ный про­ме­жу­ток вре­ме­ни и т. п. При этом раз­ли­ча­ют не­оп­ре­де­лён­ный и оп­ре­де­лён­ный ин­те­гра­лы (см. Ин­те­граль­ное ис­чис­ле­ние). Тер­мин «И.» впер­вые встре­ча­ет­ся у Я. Бер­нул­ли (1690).

Для не­пре­рыв­ной функ­ции $f(x)$ и чи­сел $a$ оп­ре­де­лён­ный И. с нижним пре­делом $a$ и верхним пределом $b$ по О. Ко­ши (1823) $$\int\limits_{a}^{b}f(x)dx \qquad(1)$$вво­дит­ся сле­дую­щим об­ра­зом. Отрезок $[a, \, b]$ про­из­воль­ным об­ра­зом раз­би­ва­ет­ся точ­ка­ми $x_0,\, x_1,\, x_2,\, ...,\, x_{n-1},\, x_n$ та­ки­ми, что $$a=x_0$$ на час­тич­ные отрезки $[x_{k–1},\, x_k],\, k =1,\, 2,\, ...,\, n$, и при про­из­воль­ном вы­бо­ре то­чек $ξ_k$ на отрезках $[x_{k–1},\, x_k]$ со­став­ля­ют­ся ин­те­граль­ные сум­мы $$S_n=f(ξ_1)(x_1-x_0)+f(ξ_2)(x_2-x_1)+  ...+f(ξ_n)(x_n-x_{n-1}). \quad (3)$$  Оп­ре­де­лён­ным И. на­зы­ва­ет­ся пре­дел сумм $S_n$ при стрем­ле­нии к ну­лю наи­боль­шей из раз­но­стей $x_k-x_{k-1}$. Для не­пре­рыв­ных функ­ций этот пре­дел су­ще­ст­ву­ет и не за­ви­сит ни от раз­бие­ний (2), ни от вы­бо­ра то­чек $ξ_k$ на час­тич­ных от­рез­ках и его мож­но вы­чис­лять по фор­му­ле Нью­то­на – Лейб­ни­ца  $$\int\limits_a^b f(x)dx=F(b)-F(a),$$ где $F$ – лю­бая пер­во­об­раз­ная функ­ции $f$.

Интеграл Римана

 

О. Ко­ши при­ме­нял своё оп­ре­де­ле­ние И. толь­ко к не­пре­рыв­ным функ­ци­ям. Б. Ри­ман пред­ло­жил (1853) оп­ре­де­лять И. (1) как пре­дел сумм (3) при стрем­ле­нии к ну­лю наи­боль­шей из раз­но­стей $x_k-x_{k–1}$ во всех слу­ча­ях, ко­гда этот пре­дел од­но­знач­но оп­ре­де­лён, а так­же ис­сле­до­вал ус­ло­вия су­ще­ст­во­ва­ния та­ко­го И. За­кон­чен­ную фор­му этим ус­ло­ви­ям при­дал А. Ле­бег (1902), ис­поль­зуя вве­дён­ное им по­ня­тие ме­ры мно­же­ст­ва. Ока­за­лось, что для ин­тег­ри­руе­мо­сти в смыс­ле Ри­ма­на функ­ции $f(x)$ на от­рез­ке $[a,\, b]$ не­об­хо­ди­мо и дос­та­точ­но, что­бы функ­ция $f(x)$ бы­ла ог­ра­ни­че­на на от­рез­ке $[a,\, b]$ и что­бы мно­же­ст­во её то­чек раз­ры­ва на этом от­рез­ке име­ло ме­ру Ле­бе­га, рав­ную ну­лю. Для та­кой функ­ции $f(x)$ спра­вед­ли­ва фор­му­ла Нью­то­на – Лейб­ни­ца  \int\limits_a^b f(t)dt=F(b)-F(a), где $$F(x)=\int\limits_a^x f(t)dt.$$ При этом в точ­ках не­пре­рыв­но­сти функ­ции $f$, т. е. всю­ду на от­рез­ке $[a,\, b]$, кро­ме, быть мо­жет, мно­же­ст­ва то­чек, имею­ще­го ме­ру Ле­бе­га, рав­ную ну­лю, спра­вед­ли­во ра­вен­ст­во $F´(x)=f(x)$.

 

Ж. Г. Дар­бу пред­ло­жил (1879) вме­сто ин­те­граль­ной сум­мы (3) рас­смат­ри­вать верх­нюю сум­му $\bar S_n$ и ниж­нюю сум­му $\underline{S}_n$, оп­ре­де­ляе­мые ра­вен­ст­ва­ми $$\bar S_n=M_1(x_1-x_0)+M_2(x_2-x_1)+...+M_n(x_n-x_{n-1}),$$ $$\underline{S}_n=m_1(x_1-x_0)+m_2(x_2-x_1)+...+m_n(x_n-x_{n-1}),$$ в ко­то­рых $M_k$ – точ­ная верх­няя, а $m_k$ – точ­ная ниж­няя гра­ни зна­че­ний функ­ции $f(x)$ на отрезке $[x_{k–1},\, x_k],\, k=1,\, 2,\, …, \,n$. Для лю­бой ог­ра­ни­чен­ной на от­рез­ке $[a,\, b]$ функ­ции $f(x)$ су­ще­ст­ву­ет точ­ная ниж­няя грань по всем раз­бие­ни­ям (2) верх­них сумм $\bar S_n$, обо­зна­чае­мая сим­во­лом $\bar I$ и на­зы­вае­мая верх­ним ин­те­гра­лом Дар­бу, и точ­ная верх­няя грань по всем раз­бие­ни­ям (2) ниж­них сумм $\underline{S}_n$, обо­зна­чае­мая сим­во­лом $\underline{I}$ и на­зы­вае­мая ниж­ним ин­те­гра­лом Дар­бу. Не­об­хо­ди­мым и дос­та­точ­ным ус­ло­ви­ем ин­тег­ри­руе­мо­сти по Ри­ма­ну ог­ра­ни­чен­ной функ­ции $f(x)$ яв­ля­ет­ся ра­вен­ст­во $\bar I = \underline{I}$ верх­не­го и ниж­не­го ин­те­гра­лов Дар­бу. При вы­пол­не­нии это­го ра­вен­ст­ва об­щее зна­че­ние сов­па­да­ет с И. в смыс­ле Ри­ма­на.

Интеграл Лебега

Вве­дён­ное А. Ле­бе­гом по­ня­тие ме­ры мно­же­ст­ва при­ве­ло (1902) к зна­чит. рас­ши­ре­нию по­ня­тия И. Пусть функ­ция $f(x)$ ог­ра­ни­че­на на от­рез­ке $[a,\, b]$, т. е. су­ще­ст­ву­ют дей­ст­вит. чис­ла $A$ и $B$ та­кие, что все зна­че­ния $y=f(x)$ этой функ­ции удов­ле­тво­ря­ют не­ра­вен­ст­вам $A⩽y<{B}$. При про­из­воль­ном раз­бие­нии про­ме­жут­ка $A⩽y<{B}$ точ­ка­ми $y_0,\,y_1,\,y_2,\, ...,\, y_{n-1},\,y_n$$$ {A}=y_0<{y}_1<{y}_2<... \,<{y}_{n-1}<{y}_n=B$$ на час­тич­ные про­ме­жут­ки $[y_{k-1},\,y_k],\, k =1,\, 2,\, …, \,n$, и при про­из­воль­ном вы­бо­ре зна­че­ний $η_k$ та­ких, что $y_{k–1}⩽η_k<{y}_{k}$, со­став­ля­ет­ся сум­ма  $$S_n=η_1μ(E_1)+η_2μ(E_2)+...+η_nμ(E_n),$$в ко­то­рой $E_k,\, k= 1,\, 2,\, ...,\, n$ – мно­же­ство тех зна­че­ний $x$, для ко­то­рых $y_{k–1}⩽f(x)<{y}_k$, а $μ(E_k)$ – ме­ра Ле­бе­га мно­же­ст­ва $E_k$. И. (1) в смыс­ле Ле­бе­га от ог­ра­ни­чен­ной функ­ции $f(x)$ на­зы­ва­ет­ся пре­дел сумм $S_n$ при $n \to \infty$ при усло­вии, что наи­боль­шая из раз­но­стей $y_k-y_{k–1}$ стре­мит­ся к ну­лю.

Для ин­тег­ри­руе­мо­сти по Ле­бе­гу ог­ра­ни­чен­ной функ­ции $f(x)$ не­об­хо­ди­мо и дос­та­точ­но, что­бы эта функ­ция яв­ля­лась из­ме­ри­мой функ­ци­ей (в смыс­ле Ле­бе­га), что эк­ви­ва­лент­но су­ще­ст­во­ва­нию мер Ле­бе­га всех мно­жеств ви­да $E_k$. Т. к. функ­ции, обыч­но ис­поль­зую­щие­ся в ма­те­ма­тич. ана­ли­зе, из­ме­ри­мы в смыс­ле Ле­бе­га, для ог­ра­ни­чен­ных функ­ций Ле­бег ре­шил за­да­чу оп­ре­де­ле­ния И. ис­чер­пы­ваю­щим об­ра­зом.

Из су­ще­ст­во­ва­ния для ог­ра­ни­чен­ной функ­ции $f(x)$ И., по­ни­мае­мо­го в смыс­ле Ри­ма­на, сле­ду­ет су­ще­ст­во­ва­ние И., по­ни­мае­мо­го в смыс­ле Ле­бе­га, и их ра­вен­ст­во. Об­рат­ное не­вер­но – сре­ди функ­ций, ин­тег­ри­руе­мых в смыс­ле Ле­бе­га, име­ют­ся всю­ду раз­рыв­ные и по­то­му не­ин­тег­ри­руе­мые по Ри­ма­ну функ­ции, напр. функ­ция Ди­рих­ле $f(x)$, рав­ная ну­лю для ир­ра­цио­наль­ных $x$ и рав­ная еди­ни­це для ра­цио­наль­ных $x$.

Для рас­про­стра­не­ния по­ня­тия И. в смыс­ле Ле­бе­га на не­ог­ра­ни­чен­ные функ­ции для не­ог­ра­ни­чен­ной из­ме­ри­мой функ­ции $f(x)$ вво­дит­ся сре­зан­ная функ-ция $[f(x)]_A^B$, рав­ная $f(x)$ при $x$ та­ких, что $A⩽f(x)⩽B$, рав­ная $A$ при $x$ та­ких, что $f({x})<{A}$, и рав­ная $B$ при $x$ та­ких, что $f(x)>B$. И. (1) от не­ог­ра­ни­чен­ной из­ме­ри­мой функ­ции $f(x)$ оп­ре­де­ля­ет­ся как пре­дел по­ни­мае­мо­го в смыс­ле Ле­бе­га И. (1) от функ­ции $[f(x)]_A^B$, ко­гда $A→∞ , \,B→∞$ не­за­ви­си­мо друг от дру­га, ес­ли этот пре­дел яв­ля­ет­ся ко­неч­ным. В этом слу­чае функ­ция $f(x)$ на­зы­ва­ет­ся ин­тег­ри­руе­мой по Ле­бе­гу (или сум­ми­руе­мой) на от­рез­ке $[a,\, b]$.

Ес­ли для по­сле­до­ва­тель­но­сти ин­тег­ри­руе­мых по Ле­бе­гу на от­рез­ке $[a,\, b]$ функ­ций $f_1(x),\, f_2(x), \,...$ для ка­ж­до­го $ε> 0$ су­ще­ст­ву­ет чис­ло $N$ та­кое, что для всех $n,\, m>N$ вы­пол­ня­ется ус­ло­вие $$\int\limits_a^b\big| f_n(x)-f_m(x)\big| dx<ε,$$ то су­ще­ст­ву­ет ин­тег­ри­руе­мая по Ле­бе­гу функ­ция $f(x)$, для ко­то­рой $$\lim_{n \to \infty}\int\limits_a^b\big| f_n(x)-f_m(x)\big| dx=0.$$ Для функ­ций, ин­тег­ри­руе­мых по Ри­ма­ну, по­доб­ное свой­ст­во, во­об­ще го­во­ря, не вы­пол­ня­ет­ся.

По­ня­тие И. в смыс­ле Ле­бе­га обоб­ща­ет­ся и на слу­чай И. по по­лу­пря­мой и всей бес­ко­неч­ной пря­мой. По­сле та­ких обоб­ще­ний тео­рия И. в смыс­ле Ле­бе­га ох­ва­ты­ва­ет все слу­чаи аб­со­лют­но схо­дя­щих­ся не­соб­ст­вен­ных ин­те­гра­лов.

Общ­ность, дос­тиг­ну­тая при вве­де­нии И. в смыс­ле Ле­бе­га, су­ще­ст­вен­на для мн. раз­де­лов ма­те­ма­ти­ки и её при­ло­же­ний. Напр., толь­ко ис­поль­зуя И. в смыс­ле Ле­бе­га, мож­но ус­та­но­вить изо­мор­физм двух гиль­бер­то­вых про­странств, про­стран­ст­ва $L_2[a,\, b]$, эле­мен­та­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся все функ­ции $f(x)$, для ко­то­рых су­ще­ст­ву­ют И. $\int_a^b \bigm|f(x) \bigm| ^2 dx$, и про­странст­ва $l_2$, эле­мен­та­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся все по­сле­до­ва­тель­но­сти $\{x_1,\, x_2,\, …\}$, для ко­то­рых схо­дит­ся ряд $\sum_{k=1}^{\infty} \bigm|x_k \bigm|^2$. Указан­ный изо­мор­физм ус­та­нав­ли­ва­ет связь ме­ж­ду вол­но­вой ме­ха­ни­кой Э. Шрё­дин­ге­ра и мат­рич­ной ме­ха­ни­кой В. Гей­зен­бер­га.

Интеграл Стилтьеса

В 1894 Т.Стил­ть­е­сом бы­ло да­но др. обоб­ще­ние И. в смыс­ле Ри­ма­на. Пусть $f(x)$ – не­пре­рыв­ная на от­рез­ке $[a,\, b]$ функ­ция дей­ст­ви­тель­ной пе­ре­мен­ной $x$, а функ­ция $V(x)$ ог­ра­ни­чен­на и мо­но­тон­на (т. е. ли­бо не убы­ва­ет, ли­бо не воз­рас­та­ет) на этом от­рез­ке. Для про­из­воль­но­го раз­бие­ния от­рез­ка $[a,\, b]$ точ­ка­ми (2) и про­из­воль­но­го вы­бо­ра то­чек $ξ_k$ на час­тич­ных отрезках $[x_{k–1},\, x_k]$ вме­сто сум­мы (3) со­став­ля­ет­ся сум­ма $$S_n=f(ξ_1)[V(x_1)-V(x_0)]+ f(ξ_2)[V(x_2)-V(x_1)]+... + f(ξ_n)[V(x_n)-V(x_{n-1})].$$Для не­пре­рыв­ной функ­ции $f(x)$ пре­дел сумм $S_n$ при стрем­ле­нии к ну­лю наи­боль­шей из раз­но­стей $x_k–x_{k–1}$ обо­зна­ча­ет­ся сим­во­лом $$\int\limits _a^b f(x)dV(x) \qquad(4)$$ и на­зы­ва­ет­ся И. в смыс­ле Стил­ть­е­са (или Ри­ма­на – Стил­ть­е­са) от функ­ции $f(x)$ от­но­си­тель­но функ­ции $V(x)$ (на от­рез­ке $[a,\, b]$). При этом $V(x)$ на­зы­ва­ет­ся ин­тег­ри­рую­щей функ­ци­ей. И. в смыс­ле Стил­ть­е­са (4) су­ще­ст­ву­ет и в слу­чае, ко­гда ог­ра­ни­чен­ная ин­тег­ри­рую­щая функ­ция $V(x)$, не бу­ду­чи мо­но­тон­ной, пред­ста­ви­ма в ви­де раз­но­сти двух ог­ра­ни­чен­ных мо­но­тон­ных функ­ций $V_1(x)-V_2(x)$ (т. е. яв­ля­ет­ся функ­ци­ей ог­ра­ни­чен­ной ва­риа­ции, см. Ва­риа­ция функ­ции). Ес­ли ин­тег­ри­рую­щая функ­ция $V(x)$ име­ет на от­рез­ке $[a,\, b]$ ог­ра­ни­чен­ную ин­тег­ри­руе­мую по Ри­ма­ну про­из­вод­ную $V´ (x)$, то И. в смыс­ле Стил­ть­е­са (4) сво­дит­ся к И. в смыс­ле Ри­ма­на по фор­му­ле $$\int\limits_a^b f(x)dV(x)=\int\limits_a^b f(x)V'(x)dx.$$ В ча­ст­но­сти, при $V(x)=x+C$ И. в смыс­ле Стил­ть­е­са пре­вра­ща­ет­ся в обыч­ный И. в смыс­ле Ри­ма­на. Рас­смат­ри­ва­ет­ся так­же ин­те­грал Ле­бе­га – Стил­ть­е­са.

Дальнейшие обобщения

Обоб­ще­ния по­ня­тия И., дан­ные Т. Стил­ть­е­сом и А. Ле­бе­гом, в даль­ней­шем уда­лось объ­е­ди­нить и пе­ре­не­сти на ин­тег­ри­ро­ва­ние по лю­бым из­ме­ри­мым мно­же­ст­вам в мно­го­мер­ных про­стран­ст­вах. Та­кое обоб­ще­ние ох­ва­ты­ва­ет клас­сич. крат­ные ин­те­гра­лы.

По­треб­но­сти тео­рии ве­ро­ят­но­стей, тео­рии ди­на­мич. сис­тем, спек­траль­ной тео­рии диф­фе­рен­ци­аль­ных опе­ра­то­ров при­ве­ли к по­ня­тию аб­ст­ракт­но­го ин­те­гра­ла Ле­бе­га, ос­но­ван­но­му на об­щих по­ня­ти­ях тео­рии ме­ры.

Пусть $X$ – про­стран­ст­во, в ко­то­ром вы­де­ле­на сис­те­ма $\mathscr B$ его под­мно­жеств, об­ла­даю­щая свой­ст­вом замк­ну­то­сти по от­но­ше­нию к обыч­ным тео­ре­ти­ко-мно­же­ст­вен­ным опе­ра­ци­ям, про­из­во­ди­мым в ко­неч­ном или счёт­ном чис­ле (т. е. $\mathscr B$ яв­ля­ет­ся $σ$-ал­геб­рой), $μ$ – за­дан­ная на $\mathscr B$ ко­неч­ная ме­ра.

Сна­ча­ла оп­ре­де­ля­ет­ся И. по про­стран­ст­ву $X$ от $\mathscr B$ – из­ме­ри­мой ку­соч­но по­сто­ян­ной функ­ции $y=f(x)$, т. е. функ­ции, при­ни­маю­щей ко­неч­ный или счёт­ный на­бор зна­че­ний $y_1,\, y_2,…$ со­от­вет­ст­вен­но на по­пар­но не­пе­ре­се­каю­щих­ся мно­же­ст­вах $A_1,\, A_2,…\,∈ \mathscr B$, объ­е­ди­не­ние ко­то­рых есть $X$. Он оп­ре­де­ля­ет­ся как сум­ма ря­да $\sum_{k=1}^{\infty} y_k μ(A_k)$, при ус­ло­вии, что этотряд яв­ля­ет­ся аб­со­лют­но схо­дя­щим­ся, и обо­зна­ча­ет­ся сим­во­лом $\int_X f(x)μ(dx)$. Для функ­ции $y=f(x)$ об­ще­го ви­да ин­тег­ри­руе­мость и сам И. оп­ре­де­ля­ют­ся с по­мо­щью не­ко­то­ро­го пре­дель­но­го пе­ре­хо­да от ука­зан­ных ку­соч­но по­сто­ян­ных функ­ций. Ес­ли $A$ – из­ме­ри­мое мно­же­ст­во, т. е. $A∈\mathscr B$, функ­ция $Y_A(x)=1$ для $x∈A$, и $Y_A(x)=0$ для $x∉A$, то И. от $f(x)$ по мно­же­ст­ву $A$ оп­ре­де­ля­ет­ся ра­вен­ст­вом $$\int_A f(x)μ(dx)=\int_X f(x)Y_A(x)μ(dx).$$ При фик­си­ро­ван­ных $μ$ и $A$ И. от $f$ мо­жет рас­смат­ри­вать­ся как ли­ней­ный функ­цио­нал; при фик­си­ро­ван­ной $f$ И., как функ­ция мно­же­ст­ва $A$, яв­ля­ет­ся счёт­но ад­ди­тив­ной функ­ци­ей.

Все при­ве­дён­ные вы­ше обоб­ще­ния по­ня­тия И. та­ко­вы, что функ­ции $f$ и $∣f∣$ ока­зы­ва­ют­ся ин­тег­ри­руе­мы­ми или не­ин­тег­ри­руе­мы­ми од­но­вре­мен­но.

А. Дан­жуа (1912) и нем. ма­те­ма­тик О. Пер­рон (1914) вве­ли бо­лее об­щий про­цесс ин­тег­ри­ро­ва­ния, чем ле­бе­гов­ский, ко­то­рый пол­но­стью ре­ша­ет за­да­чу вос­ста­нов­ле­ния функ­ции по её точ­ной ко­неч­ной про­из­вод­ной. Даль­ней­шие рас­ши­ре­ния по­ня­тия И. бы­ли не­за­ви­симо пред­ло­же­ны А. Дан­жуа (1916) и А. Я. Хин­чи­ным (1916). О др. обоб­ще­ни­ях по­ня­тия И. см. в ст. Не­соб­ст­вен­ный ин­те­грал.

Лит.: Ле­бег А. Ин­тег­ри­ро­ва­ние и оты­ска­ние при­ми­тив­ных функ­ций. М.; Л., 1934; Кам­ке Э. Ин­те­грал Ле­бе­га–Стил­ть­е­са. М., 1959; Уит­ни Х. Гео­мет­ри­че­ская тео­рия ин­тег­ри­ро­ва­ния. М., 1960; Кол­мо­го­ров А. Н., Фо­мин С. В. Эле­мен­ты тео­рии функ­ций и функ­цио­наль­но­го ана­ли­за. 7-е изд. М., 2004; Сакс С. Тео­рия ин­те­гра­ла. М., 2004.

Вернуться к началу