Подпишитесь на наши новости
Вернуться к началу с статьи up
 

ДИФФЕРЕНЦИА́ЛЬНОЕ УРАВНЕ́НИЕ

  • рубрика

    Рубрика: Математика

  • родственные статьи
  • image description

    В книжной версии

    Том 9. Москва, 2007, стр. 102-104

  • image description

    Скопировать библиографическую ссылку:




ДИФФЕРЕНЦИА́ЛЬНОЕ УРАВНЕ́НИЕ обык­но­вен­ное, урав­не­ние, со­дер­жа­щее ис­ко­мую функ­цию од­ной не­за­ви­си­мой пе­ре­мен­ной, её про­из­вод­ные разл. по­ряд­ков и са­му не­за­ви­си­мую пе­ре­мен­ную. Точ­нее, обык­но­вен­ным Д. у. на­зы­ва­ет­ся урав­не­ние ви­да $$Φ(t, x, x', x'' …, x^{(n)})=0\tag1$$ от­но­си­тель­но функ­ции $x(t)$ пе­ре­мен­ной $t$, где $Φ$ – из­вест­ная функ­ция от $n+2$ пере­мен­ных, а $x' , x'', …, x^{(n)}$ обо­зна­ча­ют про­из­вод­ные функ­ции x со­от­вет­ст­вую­щих по­ряд­ков. Та­кое урав­не­ние на­зы­ва­ет­ся обык­но­вен­ным Д. у. $n$-го по­ряд­ка. Эти урав­не­ния на­зы­ва­ют обык­но­вен­ны­ми Д. у. с тем, что­бы от­ли­чить их от Д. у. с ча­ст­ны­ми про­из­вод­ны­ми. Как для са­мой функ­ции $x$, так и для про­цес­са на­хо­ж­де­ния этой функ­ции ис­поль­зу­ет­ся тер­мин «ре­ше­ние Д. у.» (ино­гда про­цесс на­хо­ж­де­ния ре­ше­ния на­зы­ва­ют «ин­тег­ри­ро­ва­ни­ем Д. у.»). Го­во­рят, что Д. у. $n$-го по­ряд­ка (1) яв­ля­ет­ся раз­ре­шён­ным от­но­си­тель­но стар­шей про­из­вод­ной, ес­ли оно за­пи­са­но в ви­де $$x(n)=f(t, x, x', …, x^{(n–1)}).\tag2$$

Про­стей­шие Д. у. поя­ви­лись в ра­бо­тах И. Нью­то­на: за­да­ча о на­хо­ж­де­нии пер­во­об­раз­ной (не­оп­ре­де­лён­но­го ин­те­гра­ла) $x(t)$ для дан­ной функ­ции $f(t)$ эк­ви­ва­лент­на ре­ше­нию урав­не­ния $x'(t)=f(t)$. Тер­мин «Д. у.» пред­ло­жил Г. В. Лейб­ниц (1676).

При­мер обык­но­вен­но­го Д. у. да­ёт 2-й за­кон Нью­то­на, опи­сы­ваю­щий дви­же­ние по пря­мой ма­те­ри­аль­ной точ­ки под дей­ст­ви­ем внеш­ней си­лы. Ес­ли $m$ – мас­са точ­ки, $x(t)$ – её те­ку­щая, из­ме­няю­щая­ся во вре­ме­ни $t$ ко­ор­ди­на­та на пря­мой, а $F$ – при­ло­жен­ная к точ­ке си­ла (за­ви­ся­щая, во­об­ще го­во­ря, от вре­ме­ни, по­ло­же­ния точ­ки и её ско­ро­сти), то за­кон дви­же­ния $x(t)$ оп­ре­де­ля­ет­ся Д. у. $mx''F(t, x, x').\tag3$

Про­стей­шее Д. у. $x'=0$, ко­то­рое об­ра­ща­ет в то­ж­де­ст­во лю­бая по­сто­ян­ная функ­ция $x(t)≡C$, по­ка­зы­ва­ет, что Д. у. (2), во­об­ще го­во­ря, име­ет бес­ко­неч­но мно­го ре­ше­ний. Вся со­во­куп­ность ре­ше­ний Д. у. (2), как пра­ви­ло, мо­жет быть за­пи­са­на в ви­де функ­ции $x=x(t,C_1,…,C_n)$, со­дер­жа­щей $n$ па­ра­мет­ров (т. н. про­из­воль­ных по­сто­ян­ных) $C_1,…,C_n$ и на­зы­вае­мой об­щим ре­ше­ни­ем Д. у. При лю­бом кон­крет­ном вы­бо­ре чи­сло­вых зна­че­ний этих $n$ па­ра­мет­ров по­лу­ча­ет­ся т. н. ча­ст­ное ре­ше­ние Д. у. (2). Напр., урав­не­нию гар­мо­нич. ко­ле­ба­ний $x''ω^2 x=0$, гдe $ω$ – за­дан­ное по­ло­жи­тель­ное чис­ло, удов­ле­тво­ря­ет лю­бая функ­ция $x(t)=A\sin(ωt+φ)$, опи­сы­ваю­щая пе­рио­дич. ко­ле­ба­ния по вре­ме­ни $t$ с пе­рио­дом $ω$ и про­из­воль­ны­ми ам­пли­ту­дой $A$ и фа­зой $φ$, иг­раю­щи­ми роль про­из­воль­ных по­сто­ян­ных.

Ино­гда об­щее ре­ше­ние лю­бо­го Д. у. (2) уда­ёт­ся за­пи­сать с по­мо­щью яв­ной за­ви­си­мо­сти от t, со­дер­жа­щей ал­геб­ра­ич. опе­ра­ции, эле­мен­тар­ные функ­ции и $n$ про­из­воль­ных по­сто­ян­ных. Так, из­вест­но, что об­щее ре­ше­ние т. н. ли­ней­но­го Д. у. $n$-го по­ряд­ка $$α_nx^{(n)}+α_{n–1}x^{(n–1)}+…+α_1x'+α_0x=0$$ с по­сто­ян­ны­ми ко­эф­фи­ци­ен­та­ми $α_n≠0, α_{n–1}, …, α_1, α_0$ име­ет вид $$x(t)=C_1\exp(λ_1t)+C_2\exp(λ_2t)+…+C_n\exp(λ_nt),$$ где $λ_1,λ_2,…,λ_n$ – кор­ни ха­рак­те­ри­стич. урав­не­ния $α_nλ^n+α_{n–1}λ^{n–1}+ …+α_1λ+α_0=0$. Од­на­ко та­кие фор­му­лы уда­ёт­ся по­лу­чить лишь в ис­клю­чи­тель­ных слу­ча­ях. Это свя­за­но с тем, что на­бор эле­мен­тар­ных функ­ций яв­ля­ет­ся не­дос­та­точ­ным для этих це­лей. Бо­лее то­го, в свя­зи c Д. у. поя­ви­лись но­вые функ­ции, ко­то­рые, в от­ли­чие от эле­мен­тар­ных, на­зы­ва­ют спе­ци­аль­ны­ми функ­ция­ми.

По­сколь­ку Д. у. (2) име­ет бес­ко­неч­ное мно­же­ст­во ре­ше­ний, мож­но ис­кать его ре­ше­ния, под­чи­нён­ные од­но­вре­мен­но до­пол­нит. ус­ло­ви­ям. Осо­бен­но важ­ны та­кие до­пол­нит. ус­ло­вия, при вы­пол­не­нии ко­то­рых вы­де­ля­ет­ся един­ст­вен­ное ре­ше­ние Д. у. (2).

На­чаль­ной за­да­чей (Ко­ши за­да­чей) для Д. у. (2) на­зы­ва­ет­ся за­да­ча оты­ска­ния функ­ции $x(t)$, удов­ле­тво­ряю­щей, по­ми­мо Д. у. (2), на­бо­ру на­чаль­ных ус­ло­вий $$x(t_0)=a_0, x'(t_0)=a_1$$ $$x''(t_0)=a_2,...,x^{(n-1)}(t_0)=a_{n-1},\tag4$$где $t_0$ – фик­си­ро­ван­ное на­чаль­ное зна­че­ние ар­гу­мен­та $t$, а $a_0, a_1, a_2, …, a_{n–1}$ – за­дан­ные чис­ла (на­чаль­ные зна­че­ния). Ес­ли $f$ – всю­ду оп­ре­де­лён­ная диф­фе­рен­ци­руе­мая функ­ция $n+1$ пе­ре­мен­ных, то за­да­ча Ко­ши (2), (4) при лю­бом на­чаль­ном зна­че­нии ар­гу­мен­та и лю­бых на­чаль­ных зна­че­ни­ях од­но­знач­но раз­ре­ши­ма, т. е. име­ет, и при­том един­ст­вен­ное, ре­ше­ние. Для 2-го за­ко­на Нью­то­на (3) это оз­на­ча­ет, что ес­ли в на­чаль­ный мо­мент вре­ме­ни $t_0$ за­да­ны ис­ход­ное по­ло­же­ние точ­ки $x(t_0)$ и её на­чаль­ная ско­рость $x'(t_0)$, то дви­же­ние точ­ки $x(t)$ оп­ре­де­ля­ет­ся од­но­знач­но.

Об­щее ре­ше­ние Д. у. пер­во­го по­ряд­ка $x'=f(t, x),\tag5$где функ­ция $f$ оп­ре­де­ле­на и диф­фе­рен­ци­руе­ма на всей плос­ко­сти $(t,x)$, гео­мет­ри­че­ски пред­став­ля­ет­ся од­но­па­ра­мет­рич. се­мей­ст­вом глад­ких кри­вых $x=x(t,C)$, где $C$ – про­из­воль­ная чи­сло­вая по­сто­ян­ная, ко­то­рые без са­мо­пе­ре­се­че­ний и взаи­мо­пе­ре­се­че­ний по­кры­ва­ют всю плос­кость. Так, об­щим ре­ше­ни­ем урав­не­ния экс­по­нен­ци­аль­но­го рос­та $x'=λx$ яв­ля­ет­ся се­мей­ст­во $x=C\exp(λt)$. Др. сло­ва­ми, че­рез ка­ж­дую точ­ку $(t_0,x_0)$ плос­ко­сти про­хо­дит, и при­том един­ст­вен­ная, ин­те­граль­ная кри­вая – гра­фик ре­ше­ния Д. у. (5) с на­чаль­ным ус­ло­ви­ем $x(t_0)=x_0$; это ча­ст­ное ре­ше­ние со­от­вет­ст­ву­ет зна­че­нию па­ра­мет­ра $С$, оп­ре­де­ляе­мо­му из со­от­но­ше­ния $x_0=x(t_0,C)$. Лю­бая ин­те­граль­ная кри­вая $x=x(t)$ Д. у. (5) в про­из­воль­ной точ­ке $(t,x(t))$ име­ет ка­са­тель­ную, уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент ко­то­рой ра­вен $f(t,x(t))$.

К Д. у. (2) мож­но при­сое­ди­нять и ино­го ви­да до­пол­нит. ус­ло­вия, в ко­то­рых, напр., уча­ст­ву­ют, в от­ли­чие от на­чаль­ных ус­ло­вий (4), зна­че­ния не­из­вест­ной функ­ции $x(t)$ при разл. зна­че­ни­ях ар­гу­мен­та. Та­ко­вы, напр., крае­вые ус­ло­вия $$x(t_1)=a_1, x(t_2)=a_2, …, x(t_n)=a_n,$$$$x(t_0)=a_0, x' (t_0)=a_1, …, x^{(k–1)}(t_0)=a_{k–1}, x(T)=b_0, x'(T)=b_1, …, x^{(n–k–1)}(T)=b_{n–k–1}, t_0 \lt T.$$где $t_1,t_2,…,t_n$ – за­дан­ные зна­че­ния ар­гу­мен­та, а $a_1,a_2,…,a_n$ – фик­си­ро­ван­ные чис­ла, или $$x(t_0)=a_0, x' (t_0)=a_1, …, x^{(k–1)}(t_0)=a_{k–1}, $$  Оты­ска­ние ре­ше­ния Д. у. (2), удов­ле­тво­ряю­ще­го не­ко­то­рым крае­вым ус­ло­ви­ям по­доб­но­го ти­па, на­зы­ва­ют крае­вой за­да­чей для Д. у. (2). Напр., от­вет на во­прос, мо­жет ли ма­те­ри­аль­ная точ­ка, дви­жу­щая­ся со­глас­но за­ко­ну Нью­то­на по пря­мой, в за­ра­нее пред­пи­сан­ные мо­мен­ты вре­ме­ни $t_0$ и $T$ ока­зать­ся в фик­си­ро­ван­ных по­ло­же­ни­ях $x_0$ и $x_T$ на этой пря­мой, сво­дит­ся к вы­яс­не­нию су­ще­ст­во­ва­ния ре­ше­ния урав­не­ния (3) с крае­вы­ми ус­ло­вия­ми $$ x(t_0)=x_0, x(T)=x_T,\tag 6 $$ т. е. к раз­ре­ши­мо­сти крае­вой за­да­чи (3), (6). От­вет на во­прос о су­ще­ст­во­ва­нии ре­ше­ния крае­вой за­да­чи час­то вы­зы­ва­ет серь­ёз­ные труд­но­сти. 

На­ря­ду с Д. у. ви­да (2) рас­смат­ри­ва­ют­ся сис­те­мы обык­но­вен­ных Д. у. $$y_1'=f_1(t, y_1, y_2, …, y_n),\\ y'_2=f_2(t, y_1, y_2, …, y_n),\\ ………………………\\ y'_n=f_n(t, y_1, y_2, …, y_n).\tag7$$

Здесь $y1,y2,…, y_n$ – не­из­вест­ные функ­ции од­но­го и то­го же ар­гу­мен­та $t$, а $f_1, f_2, …, f_n$ – за­дан­ные функ­ции $n+1$ ар­гу­мен­та. Та­кая сис­те­ма на­зы­ва­ет­ся сис­те­мой $n$-го по­ряд­ка. Ре­ше­ни­ем сис­те­мы Д. у. (7) яв­ля­ет­ся лю­бая со­во­куп­ность $n$ функ­ций $y_1(t),y_2(t),…,y_n(t)$ ар­гу­мен­та $t$, об­ра­щаю­щих од­но­вре­мен­но все со­от­но­ше­ния (7) в то­ж­де­ст­ва. Ес­ли вве­сти век­тор $y=(y_1,y_2,…,y_n)$ и век­тор-­функ­цию $f(t,y)=(f_1(t, y),f_2(t, y),… …,f_n(t, y))$, то сис­те­му Д. у. (7) мож­но за­пи­сать в век­тор­ной фор­ме $$y′=f(t, y), y∈R^n,\tag8$$ её ре­ше­ни­ем бу­дет век­тор-функ­ция $y=y(t)=(y_1(t),y_2(t),…,y_n(t))$. Об­щее ре­ше­ние сис­те­мы Д. у. (8) – век­тор-функ­ция $y=y(t,C_1,…,C_n)$, со­дер­жа­щая $n$ про­из­воль­ных по­сто­ян­ных $C_1, …, C_n$. Каж­дое ча­ст­ное ре­ше­ние Д. у. (8) мож­но ин­тер­пре­ти­ро­вать как кри­вую в $(n+ 1)$-мер­ном про­стран­ст­ве $(t, y_1, y_2, …, y_n)$.

Час­то рас­смат­ри­ва­ют­ся ли­ней­ные сис­те­мы Д. у., ко­то­рые в век­тор­ной фор­ме за­пи­сы­ва­ют­ся в ви­де $y'=A(t)y+F(t), y∈R^n$  (здесь $A(t)$ – за­дан­ная $n×n$ мат­ри­ца, эле­мен­та­ми ко­то­рой яв­ля­ют­ся функ­ции, $F(t)$ – из­вест­ная $n$-мер­ная век­тор-функ­ция), и ав­то­ном­ные сис­те­мы Д. у. – сис­те­мы ви­да (7), для ко­то­рых пра­вые час­ти не за­ви­сят яв­но от пе­ре­мен­ной $t$

На­чаль­ная за­да­ча (за­да­ча Ко­ши) для сис­те­мы Д. у. (7) за­клю­ча­ет­ся в оты­ска­нии та­ко­го её ре­ше­ния, ко­то­рое до­пол­ни­тель­но удов­ле­тво­ря­ет на­бо­ру на­чаль­ных ус­ло­вий $$y_1(t_0)=a_1, y_2(t_0)=a_2, …, y_n(t_0)=a_n, \tag 9$$ где $t_0$ – фик­си­ро­ван­ное на­чаль­ное зна­че­ние ар­гу­мен­та, а $(a_1,a_2,…,a_n)$ – на­бор за­дан­ных чи­сел (на­чаль­ное зна­че­ние ре­ше­ния). Ес­ли все вхо­дя­щие в сис­те­му (7) функ­ции $f_1,f_2,…,f_n$ всю­ду оп­ре­де­ле­ны и диф­фе­рен­ци­руе­мы, то за­да­ча Ко­ши (7), (9) од­но­знач­но раз­ре­ши­ма, т. е. име­ет един­ст­вен­ное ре­ше­ние. Для сис­те­мы Д. у. (7) мож­но ста­вить и крае­вые за­да­чи, в ко­то­рых до­пол­нит. ус­ло­вия на­кла­ды­ва­ют­ся на зна­че­ния не­из­вест­ных функ­ций при раз­ных зна­че­ни­ях не­за­ви­си­мой пе­ре­мен­ной.

Ес­ли при ре­ше­нии лю­бо­го Д. у. (2) вве­сти но­вые не­из­вест­ные функ­ции пе­ре­мен­ной $t$ $$y_1=x, y_2=x', y_3=x'' …, y_{n–1}=x^{(n–2)}, y_n=x^{(n–1)},$$ то оно сво­дит­ся к сис­те­ме Д. у. (7) ча­ст­но­го ви­да $$y_1'=y_2, y_2'=y_3, …, y_{n-1}'=yn, =f(t, y_1, y_2, …, y_n).$$

По­сколь­ку ре­ше­ния урав­не­ния (2) или сис­те­мы (7) обыч­но не­воз­мож­но за­пи­сать яв­но с по­мо­щью из­вест­ных функ­ций, воз­ни­ка­ет про­бле­ма вы­яв­ле­ния свойств ре­ше­ний Д. у. (пе­рио­дич­но­сти, ог­ра­ни­чен­но­сти, по­ло­жи­тель­но­сти, ко­леб­ле­мо­сти, мо­но­тон­но­сти, по­ве­де­ния при не­ог­ра­ни­чен­ном рос­те ар­гу­мен­та и т. д.) без зна­ния пред­став­ле­ний ре­ше­ний в ви­де фор­мул, не­по­сред­ст­вен­но на ос­но­ве ана­ли­за толь­ко пра­вых час­тей этих Д. у. Та­ки­ми во­про­са­ми за­ни­ма­ет­ся ка­че­ст­вен­ная тео­рия диф­фе­рен­ци­аль­ных урав­не­ний, ос­но­во­по­лож­ни­ком ко­то­рой был А. Пу­ан­ка­ре.

Фун­да­мен­таль­ным и прак­ти­че­ски зна­чи­мым раз­де­лом Д. у. яв­ля­ет­ся тео­рия ус­той­чи­во­сти, ве­ду­щая своё на­ча­ло от ра­бот А. М. Ля­пу­но­ва. Пусть изу­че­ние кон­крет­ной про­бле­мы при­во­дит к «эта­лон­ной» за­да­че Ко­ши (7), (9), ре­ше­ние $y(t)$ ко­то­рой оп­ре­де­ле­но на бес­ко­неч­ном про­ме­жут­ке вре­ме­ни $t⩾t_0$. В при­клад­ных про­бле­мах (напр., в за­да­чах управ­ле­ния дви­же­ни­ем) как на­чаль­ные зна­че­ния (9) ре­ше­ния, так и пра­вые час­ти урав­не­ний (7) прин­ци­пи­аль­но не мо­гут быть ука­за­ны аб­со­лют­но точ­но, ма­лые по­греш­но­сти (воз­му­ще­ния) в их оп­ре­де­ле­нии не­из­беж­ны, по­это­му «ре­аль­ное» ре­ше­ние $y*(t)$ бу­дет от­ли­чать­ся от ре­ше­ния «эта­лон­ной» за­да­чи и воз­ни­ка­ет во­прос, как влия­ют ма­лые воз­му­ще­ния в дан­ных за­да­чи Ко­ши на от­кло­не­ние «ре­аль­ных» ре­ше­ний $y*(t)$ от эта­лон­но­го ре­ше­ния $y(t)$. Ес­ли ма­лые воз­му­ще­ния на­чаль­ных зна­че­ний (9) при­во­дят к ма­лым от­кло­не­ни­ям лю­бо­го «ре­аль­но­го» ре­ше­ния $y*(t)$ от ре­ше­ния $y(t)$ при всех $t⩾t_0$, то ре­ше­ние $y(t)$ на­зы­ва­ет­ся ус­той­чи­вым по Ля­пу­но­ву и его мож­но (с дос­та­точ­ной сте­пе­нью точ­но­сти) ис­поль­зо­вать в ка­че­ст­ве «эта­лон­но­го» ре­ше­ния рас­смат­ри­вае­мой прак­тич. за­да­чи. В ме­ха­ни­ке, фи­зи­ке, тех­ни­ке ши­ро­ко ис­поль­зу­ют­ся ус­ло­вия, обес­пе­чи­ваю­щие ус­той­чи­вость по Ля­пу­но­ву по­ло­же­ний рав­но­ве­сия или ста­цио­нар­ных ре­жи­мов. Ес­ли ма­лые по­греш­но­сти в пра­вых час­тях урав­не­ний (7) при­во­дят к ма­лым от­кло­не­ни­ям лю­бо­го «ре­аль­но­го» ре­ше­ния $y*(t)$ от ре­ше­ния $y(t)$ при всех $t⩾t_0$, то ре­ше­ние $y(t)$ на­зы­ва­ет­ся ус­той­чи­вым при по­сто­ян­но дей­ст­вую­щих воз­му­ще­ни­ях. Та­кое ре­ше­ние мож­но ис­поль­зо­вать в ка­че­ст­ве «эта­лон­но­го» в за­да­че, ко­гда, напр., не уда­ёт­ся учесть флук­туа­ции сил, дей­ст­вую­щих на дви­жу­щее­ся те­ло.

Лю­бой ре­аль­ный объ­ект име­ет спе­цифич. ха­рак­те­ри­сти­ки, ко­то­рые опи­сы­ва­ют­ся оп­ре­де­лён­ны­ми па­ра­мет­ра­ми. По­это­му в его ма­те­ма­тич. мо­дель дол­жен вхо­дить (век­тор­ный) па­ра­метр $ε=(ε_1,…,ε_k), так что вме­сто сис­те­мы Д. у. (8) сле­ду­ет рас­смат­ри­вать сис­те­му $y'=f(t,y,ε)$. Зна­че­ния этих па­ра­мет­ров мо­гут быть из­вест­ны не­точ­но, и воз­ни­ка­ет во­прос о на­хо­ж­де­нии ус­ло­вий, обес­пе­чи­ваю­щих ус­той­чи­вость ре­ше­ний по от­но­ше­нию к ма­лым воз­му­ще­ни­ям па­ра­мет­ров. Бо­лее об­щий ха­рак­тер име­ет за­да­ча вы­яс­не­ния за­ви­си­мо­сти ре­ше­ний от из­ме­не­ния па­ра­мет­ров и, в ча­ст­но­сти, на­хо­ж­де­ния т. н. би­фур­ка­ци­он­ных зна­че­ний па­ра­мет­ров, при про­хо­ж­де­нии ко­то­рых кар­ди­наль­но ме­ня­ют­ся свой­ст­ва ре­ше­ний. Ино­гда урав­не­ние $y'=f(t, y, ε )$ име­ет про­стое ре­ше­ние при $ε=0$. В этом слу­чае для ре­ше­ния урав­не­ния при ма­лых $ε≠0$ ис­поль­зу­ют­ся асим­пто­тич. ме­то­ды, в ча­ст­но­сти воз­му­ще­ний тео­рия.

В ре­аль­ных при­клад­ных, пре­ж­де все­го тех­ни­че­ских, во­про­сах час­то важ­на не толь­ко ка­че­ст­вен­ная, но и ко­ли­че­ст­вен­ная ин­фор­ма­ция о ре­ше­нии Д. у., нуж­но знать (с дос­та­точ­ной точ­но­стью) зна­че­ния ре­ше­ния при разл. зна­че­ни­ях ар­гу­мен­та. По­это­му боль­шое вни­ма­ние уде­ля­ет­ся чис­лен­ным ме­то­дам ре­ше­ния диф­фе­рен­ци­аль­ных урав­не­ний.

Обык­но­вен­ные Д. у. до­пус­ка­ют раз­но­об­раз­ные обоб­ще­ния. В Д. у. (5) пред­по­ла­га­ет­ся, что зна­че­ния функ­ции $x(t)$ и её про­из­вод­ной $x′(t)$ бе­рут­ся при од­ном и том же зна­че­нии $t$. Урав­не­ние $x'(t)=f(t,t-τ ,x(t), x(t-τ))$, где при­сут­ст­ву­ют зна­че­ния не­из­вест­ной функ­ции при разл. зна­че­ни­ях ар­гу­мен­та $t$ и $t-τ, τ≠0$, на­зы­ва­ет­ся Д. у. с от­кло­няю­щим­ся ар­гу­мен­том. За­да­ча­ми изу­че­ния Д. у. $x'=f(t, x, u)$, где $u$ – т. н. управ­ляю­щий па­ра­метр, в ка­че­ст­ве ко­то­ро­го вы­би­ра­ют­ся функ­ции $u=u(t)$, под­чи­нён­ные разл. ус­ло­ви­ям, за­ни­ма­ет­ся тео­рия сис­тем управ­ле­ния. Ин­тен­сив­но раз­ви­ва­ет­ся воз­ник­шая на ба­зе обык­но­вен­ных Д. у. тео­рия ди­на­ми­че­ских сис­тем. Ана­ли­тич. тео­рия обык­но­вен­ных Д. у. изу­ча­ет свой­ст­ва ре­ше­ний в слу­чае, ко­гда в урав­не­нии (2) уча­ст­ву­ют ком­плекс­ные функ­ции ком­плекс­но­го пе­ре­мен­но­го. К функ­цио­наль­но­му ана­ли­зу при­мы­ка­ет т. н. тео­рия аб­ст­ракт­ных обык­но­вен­ных диф­фе­рен­ци­аль­ных урав­не­ний.

Прак­тич. зна­че­ние Д. у. со­сто­ит в том, что час­то объ­ек­тив­ные за­ко­ны в ес­те­ст­во­зна­нии, со­ци­аль­но-эко­но­мич. нау­ках и тех­ни­ке уда­ёт­ся за­пи­сать в фор­ме Д. у. и эти урав­не­ния, т. о., ока­зы­ва­ют­ся аде­к­ват­ным сред­ст­вом для ко­ли­че­ст­вен­но­го опи­са­ния этих за­ко­нов. Напр., вы­чис­ле­ние тра­ек­то­рий кос­мич. по­лётов осу­ще­ст­в­ля­ет­ся пу­тём изу­че­ния и ре­ше­ния Д. у. Хо­ро­шо из­вест­но пред­ска­за­ние Дж. К. Адам­са (1843–45) и У. Ле­ве­рье (1846) су­ще­ст­во­ва­ния пла­не­ты Неп­тун, осу­ще­ст­в­лён­ное с по­мо­щью Д. у. и лишь за­тем под­твер­ждён­ное пря­мы­ми ас­тро­но­мич. на­блю­де­ния­ми нем. ас­тро­но­ма И. Гал­ле (1846).

Лит.: Харт­ман Ф.  Обык­но­вен­ные диф­фе­рен­ци­аль­ные урав­не­ния. М., 1970; Эр­ро­ус­мит Д. К., Плейс К. М. Обык­но­вен­ные диф­фе­рен­ци­аль­ные урав­не­ния. М., 1986; Пон­тря­гин Л. С. Обык­но­вен­ные диф­фе­рен­ци­аль­ные урав­не­ния. 6-е изд. М.; Ижевск, 2001; Бо­ров­ских А. В., Пе­ров АИ. Лек­ции по обык­но­вен­ным диф­фе­рен­ци­аль­ным урав­не­ни­ям. М.; Ижевск, 2004.

Вернуться к началу