Подпишитесь на наши новости
Вернуться к началу с статьи up
 

ДИФФЕРЕНЦИА́ЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕ́НИЕ

  • рубрика

    Рубрика: Математика

  • родственные статьи
  • image description

    В книжной версии

    Том 9. Москва, 2007, стр. 99-102

  • image description

    Скопировать библиографическую ссылку:




ДИФФЕРЕНЦИА́ЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕ́НИЕ, раз­дел ма­те­ма­тич. ана­ли­за, в ко­то­ром изу­ча­ют­ся про­из­вод­ные, диф­фе­рен­циа­лы и их при­ме­не­ние к ис­сле­до­ва­нию функ­ций. Д. и. сло­жи­лось как са­мо­сто­ят. дис­ци­п­ли­на во 2-й пол. 17 в. под влия­ни­ем тру­дов И. Нью­то­на и Г. В. Лейб­ни­ца, в ко­то­рых они сфор­му­ли­ро­ва­ли осн. по­ло­же­ния Д. и. и от­ме­ти­ли вза­им­но об­рат­ный ха­рак­тер диф­фе­рен­ци­ро­ва­ния и ин­тег­ри­ро­ва­ния. С это­го вре­ме­ни Д. и. раз­ви­ва­лось в тес­ной свя­зи с ин­те­граль­ным ис­чис­ле­ни­ем, со­став­ляя вме­сте с ним основную часть ма­те­ма­тического ана­ли­за (или ана­ли­за бес­ко­неч­но ма­лых). Соз­да­ние диф­фе­рен­ци­аль­но­го и ин­те­граль­но­го ис­чис­ле­ний от­кры­ло но­вую эпо­ху в раз­ви­тии ма­те­ма­ти­ки, по­влек­ло за со­бой по­яв­ле­ние ря­да но­вых ма­те­ма­тических дис­ци­п­лин (тео­рии ря­дов, тео­рии диф­фе­рен­ци­аль­ных урав­не­ний, диф­фе­рен­ци­аль­ной гео­мет­рии, ва­риа­ци­он­но­го ис­чис­ле­ния, функ­цио­наль­но­го ана­ли­за) и су­ще­ст­вен­но рас­ши­ри­ло воз­мож­но­сти при­ло­же­ний ма­те­ма­ти­ки к во­про­сам ес­те­ст­во­зна­ния и тех­ни­ки.

Д. и. ос­но­вы­ва­ет­ся на та­ких фун­да­мен­таль­ных по­ня­ти­ях, как дей­ст­ви­тель­ное чис­ло, функ­ция, пре­дел, не­пре­рыв­ность. Эти по­ня­тия при­ня­ли совр. вид в хо­де раз­ви­тия диф­фе­рен­ци­аль­но­го и ин­те­граль­но­го ис­чис­ле­ний. Осн. идеи и по­ня­тия Д. и. свя­за­ны с изу­че­ни­ем функ­ций в ма­лом, т. е. в ма­лых ок­ре­ст­но­стях от­дель­ных то­чек, для че­го тре­бу­ет­ся соз­да­ние ма­те­ма­тич. ап­па­ра­та для ис­сле­до­ва­ния функ­ций, по­ве­де­ние ко­то­рых в дос­та­точ­но ма­лой ок­ре­ст­но­сти ка­ж­дой точ­ки об­лас­ти их оп­ре­де­ле­ния близ­ко к по­ве­де­нию ли­ней­ной функ­ции или мно­го­чле­на. Этот ап­па­рат ос­но­ван на по­ня­ти­ях про­из­вод­ной и диф­фе­рен­циа­ла. По­ня­тие про­из­вод­ной воз­ник­ло в свя­зи с боль­шим чис­лом разл. за­дач ес­те­ст­во­зна­ния и ма­те­ма­ти­ки, при­во­дя­щих к вы­чис­ле­нию пре­де­лов од­но­го и то­го же ти­па. Важ­ней­шие из этих за­дач – оп­ре­де­ле­ние ско­ро­сти дви­же­ния ма­те­ри­аль­ной точ­ки вдоль пря­мой ли­нии и по­строе­ние ка­са­тель­ной к кри­вой. По­ня­тие диф­фе­рен­циа­ла свя­за­но с воз­мож­но­стью при­бли­же­ния функ­ции в ма­лой ок­ре­ст­но­сти рас­смат­ри­вае­мой точ­ки ли­ней­ной функ­ци­ей. В от­ли­чие от по­ня­тия про­из­вод­ной функ­ции дей­ст­ви­тель­ной пе­ре­мен­ной, по­ня­тие диф­фе­рен­циа­ла лег­ко пе­ре­но­сит­ся на функ­ции бо­лее об­щей при­ро­ды, в т. ч. на ото­бра­же­ния од­но­го евк­ли­до­ва про­стран­ст­ва в дру­гое, на ото­бра­же­ния ба­на­хо­вых про­странств в др. ба­на­хо­вы про­стран­ст­ва и слу­жит од­ним из осн. по­ня­тий функ­цио­наль­но­го ана­ли­за.

Про­из­вод­ная. Пусть ма­те­ри­аль­ная точ­ка дви­жет­ся вдоль оси $Oy$, а $x$ обо­зна­ча­ет вре­мя, от­счи­ты­вае­мое от не­ко­то­ро­го на­чаль­но­го мо­мен­та. Опи­са­ние это­го дви­же­ния да­ёт функ­ция $y=f(x)$, ста­вя­щая в со­от­вет­ст­вие ка­ж­до­му мо­мен­ту вре­ме­ни $x$ ко­ор­ди­на­ту $y$ дви­жу­щей­ся точ­ки. Эту функ­цию в ме­ха­ни­ке на­зы­ва­ют за­ко­ном дви­же­ния. Важ­ной ха­рак­те­ри­сти­кой дви­же­ния (осо­бен­но ес­ли оно яв­ля­ет­ся не­рав­но­мер­ным) яв­ля­ет­ся ско­рость дви­жу­щей­ся точ­ки в ка­ж­дый мо­мент вре­ме­ни $x$ (эту ско­рость на­зы­ва­ют так­же мгно­вен­ной ско­ро­стью). Ес­ли точ­ка дви­жет­ся по оси $Oy$ по за­ко­ну $y=f(x)$, то в про­из­воль­ный мо­мент вре­ме­ни $x$ она име­ет ко­ор­ди­на­ту $f(x)$, а в мо­мент вре­ме­ни $x+Δx$ – ко­ор­ди­на­ту $f(x+Δx)$, где $Δx$ при­ра­ще­ние вре­ме­ни. Чис­ло $Δy=f(x+Δx)-f(x)$, на­зы­вае­мое при­ра­ще­ни­ем функ­ции, пред­став­ля­ет со­бой путь, прой­ден­ный дви­жу­щей­ся точ­кой за вре­мя от $x$ до $x+Δx$. От­но­ше­ние $$\frac{\Delta x}{\Delta y}=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x},\tag 1$$на­зы­вае­мое раз­но­ст­ным от­но­ше­ни­ем, пред­став­ля­ет со­бой сред­нюю ско­рость дви­же­ния точ­ки в про­ме­жут­ке вре­ме­ни от $x$ до $x+Δx$. Мгно­вен­ной ско­ро­стью (или про­сто ско­ро­стью) дви­жу­щей­ся точ­ки в мо­мент вре­ме­ни xна­зы­ва­ет­ся пре­дел, к ко­то­ро­му стре­мит­ся сред­няя ско­рость (1) при стрем­ле­нии к ну­лю про­ме­жут­ка вре­ме­ни $Δx$, т. е. пре­дел $$\lim_{Δx\to 0}\frac{Δy}{Δx}=\lim_{Δx\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}.\tag2$$

По­ня­тие мгно­вен­ной ско­ро­сти при­во­дит к по­ня­тию про­из­вод­ной. Про­из­вод­ной про­из­воль­ной функ­ции $y=f(x)$ в дан­ной фик­си­ро­ван­ной точ­ке $x$ на­зы­ва­ет­ся пре­дел (2) (при ус­ло­вии, что этот пре­дел су­ще­ст­ву­ет). Про­из­вод­ную функ­ции $y=f(x)$ в дан­ной точ­ке $x$ обо­зна­ча­ют од­ним из сим­во­лов $f'(x), y',\dot y , df/dx, dy/dx, Df(x)$. Опе­ра­цию на­хо­ж­де­ния про­из­вод­ной (или пе­ре­хо­да от функ­ции к её про­из­вод­ной) на­зы­ва­ют диф­фе­рен­ци­ро­ва­ни­ем.

К пре­де­лу (2) при­во­дит и за­да­ча по­строе­ния ка­са­тель­ной к пло­ской кри­вой, оп­ре­де­ляе­мой в де­кар­то­вой сис­те­ме ко­ор­ди­нат $Oxy$ урав­не­ни­ем $y=f(x)$, в не­ко­то­рой её точ­ке $M(x, y)$ (рис.). За­дав ар­гу­мен­ту $x$ при­ра­ще­ние $Δx$ и взяв на кри­вой точ­ку $M′$ с ко­ор­ди­на­та­ми $(x+Δx, f(x+Δx))$, оп­ре­де­ля­ют ка­са­тель­ную в точ­ке $M$ как пре­дель­ное по­ло­же­ние се­ку­щей $MM'$ при стрем­ле­нии точ­ки $M′$ к $M$ (т. е. при стрем­ле­нии $Δx$ к ну­лю). Т. к. точ­ка $M$, че­рез ко­то­рую про­хо­дит ка­са­тель­ная, за­да­на, по­строе­ние ка­са­тель­ной сво­дит­ся к оп­ре­де­ле­нию её уг­ло­во­го ко­эф­фи­ци­ен­та (т. е. тан­ген­са уг­ла её на­кло­на к оси $Ox$). Про­ве­дя пря­мую $MP$ па­рал­лель­но оси $Ox$, по­лу­ча­ют, что уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент се­ку­щей $MM'$ ра­вен от­но­ше­нию $$\frac {PM'}{MP}=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$В пре­де­ле при $Δx→0$ уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент се­ку­щей пе­ре­хо­дит в уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент ка­са­тель­ной, ко­то­рый ока­зы­ва­ет­ся рав­ным пре­де­лу (2), т. е. про­из­вод­ной $f'(x)$.

К по­ня­тию про­из­вод­ной при­во­дит и ряд др. за­дач ес­те­ст­во­зна­ния. Напр., си­ла то­ка в про­вод­ни­ке оп­ре­де­ля­ет­ся как пре­дел $\lim \limits_{\Delta t\to 0}\Delta q/\Delta t$ где $Δq$ – по­ло­жи­тельный элек­трич. за­ряд, пе­ре­но­си­мый че­рез се­че­ние про­вод­ни­ка за вре­мя $Δt$, ско­рость хи­мич. ре­ак­ции оп­ре­де­ля­ет­ся как пре­дел $\lim \limits_{\Delta t\to 0}\Delta Q/\Delta t$ где $ΔQ$ – из­ме­не­ние ко­ли­че­ст­ва ве­ще­ст­ва за вре­мя $Δt$ и, во­об­ще, про­из­вод­ная не­ко­то­рой фи­зич. ве­ли­чи­ны по вре­ме­ни яв­ля­ет­ся ско­ро­стью из­ме­не­ния этой ве­ли­чи­ны.

Ес­ли функ­ция $y=f(x)$ оп­ре­де­ле­на как в са­мой точ­ке $x$, так и в не­ко­то­рой её ок­ре­ст­но­сти, и име­ет про­из­вод­ную в точ­ке $x$, то эта функ­ция не­пре­рыв­на в точ­ке $x$. При­мер функ­ции $y= ∣ x ∣$ , оп­ре­делён­ной в лю­бой ок­ре­ст­но­сти точ­ки $x=0$, не­пре­рыв­ной в этой точ­ке, но не имею­щей про­из­вод­ной при $x= 0$, по­ка­зы­ва­ет, что из не­пре­рыв­но­сти функ­ции в дан­ной точ­ке, во­об­ще го­во­ря, не вы­те­ка­ет су­ще­ст­во­ва­ние в этой точ­ке про­из­вод­ной. Бо­лее то­го, су­ще­ст­ву­ют функ­ции, не­пре­рыв­ные в ка­ж­дой точ­ке сво­ей об­лас­ти оп­ре­де­ле­ния, но не имею­щие про­из­вод­ной ни в од­ной точ­ке этой об­лас­ти оп­ре­де­ле­ния.

В слу­чае, ко­гда функ­ция $y=f(x)$ оп­ре­де­ле­на толь­ко спра­ва или толь­ко сле­ва от точ­ки $x$ (напр., ко­гда $x$ яв­ля­ет­ся гра­нич­ной точ­кой от­рез­ка, на ко­то­ром за­да­на эта функ­ция), вво­дят­ся по­ня­тия пра­вой и ле­вой про­из­вод­ных функ­ции $y=f(x)$ в точ­ке $x$. Пра­вая про­из­вод­ная функ­ции $y=f(x)$ в точ­ке $x$ оп­ре­де­ля­ет­ся как пре­дел (2) при ус­ло­вии, что $Δx$ стре­мит­ся к ну­лю, ос­та­ва­ясь по­ло­жи­тель­ным, а ле­вая про­из­вод­ная – как пре­дел (2) при ус­ло­вии, что $Δx$ стре­мит­ся к ну­лю, ос­та­ва­ясь от­ри­ца­тель­ным. Функ­ция $y=f(x)$ име­ет в точ­ке $x$ про­из­вод­ную то­гда и толь­ко то­гда, ко­гда она име­ет в этой точ­ке рав­ные друг дру­гу пра­вую и ле­вую про­из­вод­ные. Ука­зан­ная вы­ше функ­ция $y= ∣ x ∣$ име­ет в точ­ке $x=0$ пра­вую про­из­вод­ную, рав­ную 1, и ле­вую про­из­вод­ную, рав­ную –1, и по­сколь­ку пра­вая и ле­вая про­из­вод­ные не рав­ны друг дру­гу, эта функ­ция не име­ет про­из­вод­ной в точ­ке $x=0$. В клас­се функ­ций, имею­щих про­из­вод­ную, опе­ра­ция диф­фе­рен­ци­ро­ва­ния яв­ля­ет­ся ли­ней­ной, т. е. $(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)$ и $(αf(x))′=αf′(x)$ для лю­бо­го чис­ла $α$. Кро­ме то­го, спра­вед­ли­вы сле­дую­щие пра­ви­ла диф­фе­рен­ци­ро­ва­ния: $$[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x);$$ $$\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)},$$ если $g(x)≠0$; ес­ли $y=f(u)$ и $u=φ(x)$, т. е. $y=f(φ(x))$, то $$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}=f'(u)φ'(x). $$

Про­из­вод­ные не­ко­то­рых эле­мен­тар­ных функ­ций суть: $$(x^α)'=αx^{α-1}; α \text{ – любое число, }x\gt 0;\\ (\log_ax)′=\frac{1}{x}\log_ae, 0 \lt a≠1,\, x \gt 0,$$в ча­ст­но­сти $(\ln x)'=1/x,\,x \gt 0;$ $$(a^x)′=a^x\ln a, 0 \lt a \neq 1,$$ в ча­ст­но­сти $(ex)'=ex;$ $$(\sin x)' =\cos x, \quad (\cos x)' =–\sin x; \\ (\tan x)'=\frac{1}{\cos^2 x},\,x\neq\frac{\pi}{2}+\pi n;$$ $n=0, ±1, ±2, ...;$$$(\cot x)'=\frac{1}{\sin^2x},\,x \neq \pi n,$$$n=0, ±1, ±2, ...;$ $$(\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt(1-x^2)},\,-1\lt x\lt1;\\ (\arccos x)'=\frac{-1}{\sqrt(1-x^2)}, -1\lt x \lt 1;\\ (arctgx)′=\frac{1}{(1+x^2)};\\ (arcctgx)′=\frac{–1}{(1+x^2)}.$$

Про­из­вод­ная лю­бой эле­мен­тар­ной функ­ции сно­ва яв­ля­ет­ся эле­мен­тар­ной функ­ци­ей.

Ес­ли про­из­вод­ная $f′(x)$, в свою оче­редь, име­ет про­из­вод­ную в дан­ной точ­ке $x$, то про­из­вод­ную функ­ции $f′(x)$ на­зы­ва­ют вто­рой про­из­вод­ной функ­ции $y=f(x)$ в точ­ке $x$ и обо­зна­ча­ют од­ним из сим­во­лов $f''(x), y'', ÿ, d^2f/dx^2, d^2y/dx^2, D^2f(x)$. Для ма­те­ри­аль­ной точ­ки, дви­жу­щей­ся вдоль оси $Oy$ по за­ко­ну $y=f(x)$, вто­рая про­из­вод­ная пред­став­ля­ет со­бой ус­ко­ре­ние этой точ­ки в мо­мент вре­ме­ни $x$. Ана­ло­гич­но оп­ре­де­ля­ют­ся про­из­вод­ные лю­бо­го це­ло­го по­ряд­ка $n$, обо­зна­чае­мые сим­во­ла­ми $f^{(n)} (x), y^{(n)} , d^nf/dx^n, d^ny/dx^n, D^nf(x)$.

Диф­фе­рен­ци­ал. Функ­ция $y=f(x)$, об­ласть оп­ре­де­ле­ния ко­то­рой со­дер­жит не­ко­то­рую ок­ре­ст­ность точ­ки $x$, на­зы­ва­ет­ся диф­фе­рен­ци­руе­мой в точ­ке $x$, ес­ли её при­ра­ще­ние в этой точ­ке, от­ве­чаю­щее при­ра­ще­нию ар­гу­мен­та $Δx$, т. е. ве­ли­чи­ну $Δy=f(x+Δx)-f(x)$ мож­но пред­ста­вить в ви­де $Δy=AΔx+αΔx$, где $A=A(x)$, а $α=α(x, Δx)→0$ при $Δx→0$. При этом вы­ра­же­ние $AΔx$ на­зы­ва­ет­ся диф­фе­рен­циа­лом функ­ции $f(x)$ в точ­ке $x$ и обо­зна­ча­ет­ся сим­во­лом $dy$ или $df(x)$. Гео­мет­ри­че­ски при фик­си­ро­ван­ном зна­че­нии $x$ и ме­няю­щем­ся при­ра­ще­нии $Δx$ диф­фе­рен­ци­ал есть при­ра­ще­ние ор­ди­на­ты ка­са­тель­ной, т. е. от­ре­зок $PM''$ (рис.). Диф­фе­рен­ци­ал $dy$ яв­ля­ет­ся функ­ци­ей как точ­ки $x$, так и при­ра­ще­ния $Δx$. Диф­фе­рен­ци­ал на­зы­ва­ют глав­ной ли­ней­ной ча­стью при­ра­ще­ния функ­ции, по­сколь­ку при фик­сиро­ван­ном зна­че­нии $x$ ве­ли­чи­на $dy$ яв­ля­ет­ся ли­ней­ной функ­ци­ей от $Δx$, а раз­ность $Δy-dy$ – бес­ко­неч­но ма­лой от­но­си­тель­но $Δx$ при $Δx→0$. Для функ­ции $f(x)≡x$ по оп­ре­де­ле­нию $dx=Δx$, т. е. диф­фе­рен­ци­ал не­за­ви­си­мой пе­ре­мен­ной $dx$ со­в­па­да­ет с её при­ра­ще­ни­ем $Δx$. Это по­зво­ля­ет пе­ре­пи­сать вы­ра­же­ние для диф­фе­рен­циа­ла в ви­де $dy=Adx$.

Для функ­ции од­ной пе­ре­мен­ной по­ня­тие диф­фе­рен­циа­ла тес­но свя­за­но с по­ня­ти­ем про­из­вод­ной: для то­го что­бы функ­ция $y=f(x)$ име­ла в точ­ке $x$ диф­фе­рен­ци­ал, не­об­хо­ди­мо и дос­та­точ­но, что­бы она име­ла в этой точ­ке ко­неч­ную про­из­вод­ную $f'(x)$, при этом спра­вед­ли­во ра­вен­ст­во $dy=f'(x)dx$. На­гляд­ный смысл это­го ут­вер­жде­ния со­сто­ит в том, что ка­са­тель­ная к кри­вой $y=f(x)$ в точ­ке с абс­цис­сой $x$ яв­ля­ет­ся не толь­ко пре­дель­ным по­ло­же­ни­ем се­ку­щей, но так­же и пря­мой, ко­то­рая в бес­ко­неч­но ма­лой ок­ре­ст­но­сти точ­ки $x$ при­мы­ка­ет к кри­вой $y=f(x)$ тес­нее, чем лю­бая дру­гая пря­мая. Т. о., все­гда $A(x)=f'(x)$ и за­пись $dy/dx$ мож­но по­ни­мать не толь­ко как обо­зна­че­ние для про­из­вод­ной $f'(x)$, но и как от­но­ше­ние диф­фе­рен­циа­лов функ­ции и ар­гу­мен­та. В си­лу ра­вен­ст­ва $dy=f'(x)dx$ пра­ви­ла на­хо­ж­де­ния диф­фе­рен­циа­лов не­по­сред­ст­вен­но вы­те­ка­ют из со­от­вет­ст­вую­щих пра­вил для про­из­вод­ных. Рас­смат­ри­ва­ют­ся так­же диф­фе­рен­циа­лы вто­ро­го и бо­лее вы­со­ких по­ряд­ков.

При­ло­же­ния. Д. и. ус­та­нав­ли­ва­ет свя­зи ме­ж­ду свой­ст­ва­ми функ­ции $f(x)$ и её про­из­вод­ных (или её диф­фе­рен­циа­лов), со­став­ляю­щие со­дер­жа­ние осн. тео­рем Д. и. Сре­ди этих тео­рем – ут­вер­жде­ние о том, что все точ­ки экс­тре­му­ма диф­фе­рен­ци­руе­мой функ­ции $f(x)$, ле­жа­щие внут­ри её об­лас­ти оп­ре­де­ле­ния, на­хо­дят­ся сре­ди кор­ней урав­не­ния $f′(x)=0$, и час­то ис­поль­зуе­мая фор­му­ла ко­неч­ных при­ра­ще­ний (фор­му­ла Ла­гран­жа) $f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a)$, где $a\lt ξ \lt b$, а так­же Тей­ло­ра фор­му­ла. Эти ут­вер­жде­ния по­зво­ля­ют ме­то­да­ми Д. и. про­вес­ти ис­сле­до­ва­ние по­ве­де­ния функ­ций, об­ла­даю­щих дос­та­точ­ной глад­ко­стью (т. е. имею­щих про­из­вод­ные дос­та­точ­но вы­со­ко­го по­ряд­ка). Они по­зво­ля­ют ус­та­но­вить сте­пень глад­ко­сти, вы­пук­лость и во­гну­тость, воз­рас­та­ние и убы­ва­ние функ­ций, най­ти их асим­пто­ты, пе­ре­ги­ба точ­ки, вы­чис­лить кри­виз­ну кри­вой, вы­яс­нить ха­рак­тер её осо­бых то­чек и т. д. Напр., ус­ло­вие $f'(x)>0$ вле­чёт за со­бой стро­гое воз­рас­та­ние функ­ции, а ус­ло­вие $f''x)>0$ – её стро­гую вы­пук­лость. Кро­ме то­го, Д. и. по­зво­ля­ет вы­чис­лять различного ро­да пре­де­лы функ­ций, в ча­ст­но­сти пре­де­лы от­но­ше­ний двух функ­ций, пред­став­ляю­щие со­бой не­оп­ре­де­лён­но­сти ви­да 0/0 или ви­да $∞/∞$ (см. Рас­кры­тие не­оп­ре­де­лён­но­стей). Осо­бен­но удоб­но Д. и. для ис­сле­до­ва­ния эле­мен­тар­ных функ­ций, про­из­вод­ные ко­то­рых вы­пи­сы­ва­ют­ся в яв­ном ви­де.

Диф­фе­рен­ци­аль­ное ис­чис­ле­ние функ­ций мно­гих пе­ре­мен­ных. Ме­то­ды Д. и. при­ме­ня­ют­ся для ис­сле­до­ва­ния функ­ций не­сколь­ких пе­ре­мен­ных. Для функ­ции двух пе­ре­мен­ных $u=f(x,y)$ её ча­ст­ной про­из­вод­ной по $x$ в точ­ке $M(x,y)$ на­зы­ва­ет­ся про­из­вод­ная этой функ­ции по $x$ при фик­си­ро­ван­ном $y$, оп­ре­де­ляе­мая как$$\lim \limits_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x,y)-f(x,y)}{\Delta x},$$и обо­зна­чае­мая од­ним из сим­во­лов $ f'_x(x,y), u'_x,\partial u/\partial x $ или $𝜕f(x,y)/𝜕x$. Ана­ло­гич­но оп­ре­де­ля­ет­ся и обо­зна­ча­ет­ся ча­ст­ная про­из­вод­ная функ­ции $u=f(x,y)$ по $y$. Ве­ли­чи­на $Δu=f(x+Δx, y+Δy) – f(x,y)$ на­зы­ва­ет­ся пол­ным при­ра­ще­ни­ем функ­ции $u$ в точ­ке $M(x,y)$. Ес­ли эту ве­ли­чи­ну мож­но пред­ста­вить в ви­де $Δu=AΔx+BΔy+\alpha\sqrt {(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}$, где $A$ и $B$ не за­ви­сят от $Δx$ и $Δy$, а $α$ стремится к нулю при $ \sqrt {(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}\to 0, $ то функ­ция $u=f(x,y)$ на­зы­ва­ет­ся диф­фе­рен­ци­руе­мой в точ­ке $M(x,y)$. Сум­му $AΔx+BΔy$ на­зы­ва­ют пол­ным диф­ферен­циа­лом функ­ции $u=f(x,y)$ в точ­ке $M(x,y)$ и обо­зна­ча­ют сим­во­лом $du$. Так как $A=f'_x(x,y), B=f'_y(x,y)$, а прира­ще­ния $Δx$ и $Δy$ мож­но взять рав­ны­ми их диф­фе­рен­циа­лам $dx$ и $dy$, то пол­ный диф­фе­рен­ци­ал $du$ мож­но за­пи­сать в ви­де $$du=\frac {\partial u}{\partial x}dx+\frac {\partial u}{\partial y}dy.$$

Гео­мет­ри­че­ски диф­фе­рен­ци­руе­мость функ­ции двух пе­ре­мен­ных $u=f(x,y)$ в дан­ной точ­ке $M(x,y)$ оз­на­ча­ет су­ще­ст­во­ва­ние у её гра­фи­ка в этой точ­ке ка­сатель­ной плос­ко­сти, а диф­фе­рен­ци­ал этой функ­ции пред­став­ля­ет со­бой при­ра­ще­ние ап­пли­ка­ты точ­ки ка­са­тель­ной плос­ко­сти, от­ве­чаю­щей при­ра­ще­ни­ям $dx$ и $dy$ не­за­ви­си­мых пе­ре­мен­ных. Для функ­ции двух пе­ре­мен­ных по­ня­тие диф­фе­рен­циа­ла яв­ля­ет­ся зна­чи­тель­но бо­лее важ­ным и ес­те­ст­вен­ным, чем по­ня­тие ча­ст­ных про­из­вод­ных. В от­ли­чие от функ­ции од­ной пе­ре­мен­ной, для диф­фе­рен­ци­руе­мо­сти функ­ции двух пе­ремен­ных $u=f(x, y)$ в дан­ной точ­ке $M(x, y)$ не дос­та­точ­но су­ще­ст­во­ва­ния в этой точ­ке ко­неч­ных ча­ст­ных про­из­вод­ных $f'_x(x, y)$ и $f'_y(x, y)$. Не­об­хо­ди­мое и дос­та­точ­ное ус­ло­вие диф­фе­рен­ци­руемо­сти функ­ции $u=f(x, y)$ в точ­ке $M(x, y)$ за­клю­ча­ет­ся в су­ще­ст­во­ва­нии ко­неч­ных ча­ст­ных про­из­вод­ных $f'_x(x, y)$ и $f'_y(x, y)$ и в стремле­нии к ну­лю при $ \sqrt {(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}\to 0, $ ве­ли­чи­ны $$(f(x+Δx, y+Δy)-f(x, y+Δy) - f(x+Δx, y)+f(x, y))/ \sqrt {(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}.$$ Чис­ли­тель этой ве­ли­чи­ны по­лу­ча­ет­ся, ес­ли сна­ча­ла взять при­ра­ще­ние функ­ции $f(x, y)$, от­ве­чаю­щее при­ра­ще­нию $Δx$ её пер­во­го ар­гу­мен­та, а за­тем взять при­ра­ще­ние по­лу­чен­ной при этом раз­но­сти $f(x+Δx, y)-f(x, y)$, от­ве­чаю­щее при­ра­ще­нию $Δy$ её вто­рых ар­гу­мен­тов. Про­стым дос­та­точ­ным ус­ло­ви­ем диф­фе­рен­ци­руе­мо­сти функ­ции $u=f(x, y)$ в точ­ке $M(x, y)$ яв­ля­ет­ся су­ще­ст­во­ва­ние не­пре­рыв­ных в этой точ­ке ча­ст­ных про­из­вод­ных $f'_x(x, y)$ и $f'_y(x, y)$.

Ана­ло­гич­но оп­ре­де­ля­ют­ся ча­ст­ные про­из­вод­ные выс­ших по­ряд­ков. Ча­ст­ные про­из­вод­ные $𝜕^2f/𝜕x^2$ и $𝜕^2f/𝜕y^2$, у ко­то­рых оба диф­фе­рен­ци­ро­ва­ния ве­дут­ся по од­ной пе­ре­мен­ной, на­зы­ва­ют чис­ты­ми, а ча­ст­ные про­из­вод­ные $𝜕^2f/𝜕x𝜕y$ и $𝜕^2f/𝜕y𝜕x$ – сме­шан­ны­ми. В ка­ж­дой точ­ке, в ко­то­рой обе сме­шан­ные ча­ст­ные про­из­вод­ные не­пре­рыв­ны, они рав­ны друг дру­гу. Эти оп­ре­де­ле­ния и обо­зна­че­ния пе­ре­но­сят­ся на слу­чай боль­ше­го чис­ла пе­ре­мен­ных.

Исторический очерк

От­дель­ные за­да­чи об оп­ре­де­ле­нии ка­са­тель­ных к кри­вым и о на­хо­ж­де­нии мак­си­маль­ных и ми­ни­маль­ных зна­че­ний пе­ре­мен­ных ве­ли­чин бы­ли ре­ше­ны ма­те­ма­ти­ка­ми Древ­ней Гре­ции. Напр., бы­ли най­де­ны спо­со­бы по­строе­ния ка­са­тель­ных к ко­нич. се­че­ни­ям и не­ко­то­рым др. кри­вым. Од­на­ко раз­ра­бо­тан­ные ан­тич­ны­ми ма­те­ма­ти­ка­ми ме­то­ды бы­ли да­ле­ки от идей Д. и. и мог­ли при­ме­нять­ся лишь в весь­ма ча­ст­ных слу­ча­ях. К сер. 17 в. ста­ло яс­но, что мно­гие из упо­мя­ну­тых за­дач вме­сте с дру­ги­ми (напр., за­да­ча оп­ре­де­ле­ния мгно­вен­ной ско­ро­сти) мо­гут быть ре­ше­ны при по­мо­щи од­но­го и то­го же ма­те­ма­тич. ап­па­ра­та, при ис­поль­зо­ва­нии про­из­вод­ных и диф­фе­рен­циа­лов. Ок. 1666 И. Нью­тон раз­ра­бо­тал ме­тод флюк­сий (см. Флюк­сий ис­чис­ле­ние). Нью­тон рас­смат­ри­вал, в ча­ст­но­сти, две за­да­чи ме­ха­ни­ки: за­да­чу об оп­ре­де­ле­нии мгно­вен­ной ско­ро­сти дви­же­ния по из­вест­ной за­ви­си­мо­сти пу­ти от вре­ме­ни и за­да­чу об оп­ре­де­ле­нии прой­ден­но­го за дан­ное вре­мя пу­ти по из­вест­ной мгно­вен­ной ско­ро­сти. Не­пре­рыв­ные функ­ции вре­ме­ни Нью­тон на­зы­вал флю­ен­та­ми, а ско­ро­сти их из­ме­не­ния – флюк­сия­ми. Т. о., у Нью­то­на гл. по­ня­тия­ми бы­ли про­из­вод­ная (флюк­сия) и не­оп­ре­де­лён­ный ин­те­грал (флю­ен­та). Он пы­тал­ся обос­но­вать ме­тод флюк­сий с по­мо­щью тео­рии пре­де­лов, ко­то­рая в то вре­мя бы­ла раз­ви­та не­дос­та­точ­но.

В сер. 1670-х гг. Г. В. Лейб­ниц раз­ра­бо­тал удоб­ные ал­го­рит­мы Д. и. Осн. по­ня­тия­ми у Лейб­ни­ца яв­ля­лись диф­фе­рен­ци­ал как бес­ко­неч­но ма­лое при­ра­ще­ние функ­ции и оп­ре­де­лён­ный ин­те­грал как сум­ма бес­ко­неч­но боль­шо­го чис­ла диф­фе­рен­циа­лов. Он ввёл обо­зна­че­ния диф­фе­рен­циа­ла и ин­те­гра­ла, тер­мин «Д. и.», по­лу­чил ряд пра­вил диф­фе­рен­ци­ро­ва­ния, пред­ло­жил удоб­ную сим­во­ли­ку. Даль­ней­шее раз­ви­тие Д. и. в 17 в. шло в осн. по пу­ти, на­ме­чен­но­му Лейб­ни­цем; боль­шую роль на этом эта­пе сыг­ра­ли ра­бо­ты Я. и И. Бер­нул­ли, Б. Тей­ло­ра и др.

Сле­дую­щий этап в раз­ви­тии Д. и. свя­зан с ра­бо­та­ми Л. Эй­ле­ра и Ж. Ла­гран­жа (18 в.). Эй­лер впер­вые стал из­ла­гать Д. и. как ана­ли­тич. дис­ци­п­ли­ну, не­за­ви­си­мо от гео­мет­рии и ме­ха­ни­ки. Он вновь ис­поль­зо­вал в ка­че­ст­ве осн. по­ня­тия Д. и. про­из­вод­ную. Ла­гранж пы­тал­ся стро­ить Д. и. ал­геб­раи­че­ски, поль­зу­ясь раз­ло­же­ния­ми функ­ций в сте­пен­ные ря­ды; он ввёл тер­мин «про­из­вод­ная» и обо­зна­че­ния $y′$ и $f'(x)$. В нач. 19 в. бы­ла в осн. ре­ше­на за­да­ча обос­но­ва­ния Д. и. на ос­но­ве тео­рии пре­де­лов, гл. обр. бла­го­да­ря ра­бо­там О. Ко­ши, Б. Боль­ца­но и К. Га­ус­са. Глу­бо­кий ана­лиз ис­ход­ных по­ня­тий Д. и. был свя­зан с раз­ви­ти­ем тео­рии мно­жеств и тео­рии функ­ций дей­ст­ви­тель­ных пе­ре­мен­ных в кон. 19 – нач. 20 вв.

Лит.: Ис­то­рия ма­те­ма­ти­ки: В 3 т. М., 1970–1972; Рыб­ни­ков К. А. Ис­то­рия ма­те­ма­ти­ки. 2-е изд. М., 1974; Ни­коль­ский С. М. Курс ма­те­ма­ти­че­ско­го ана­ли­за. 6-е изд. М., 2001; Зо­рич В. А. Ма­те­ма­ти­че­ский ана­лиз: В 2 ч. 4-е изд. М., 2002; Куд­ряв­цев Л. Д. Курс ма­те­ма­ти­че­ско­го ана­ли­за: В 3 т. 5-е изд. М., 2003–2006; Фих­тен­гольц Г. М. Курс диф­фе­рен­ци­аль­но­го и ин­те­граль­но­го ис­чис­ле­ния: В 3 т. 8-е изд. М., 2003–2006; Иль­ин В. А., По­зняк Э. Г. Ос­но­вы ма­те­ма­ти­че­ско­го ана­ли­за. 7-е изд. М., 2004. Ч. 1. 5-е изд. М., 2004. Ч. 2; Иль­ин В. А., Са­дов­ни­чий ВА., Сен­дов Бл. Х.  Ма­те­ма­ти­че­ский ана­лиз. 3-е изд. М., 2004. Ч. 1. 2-е изд. М., 2004. Ч. 2; Иль­ин В. А., Кур­ки­на Л. В. Выс­шая ма­те­ма­ти­ка. 2-е изд. М., 2005.

Вернуться к началу