Подпишитесь на наши новости
Вернуться к началу с статьи up
 

ДИФФЕРЕНЦИА́ЛЬНАЯ ГЕОМЕ́ТРИЯ

  • рубрика

    Рубрика: Математика

  • родственные статьи
  • image description

    В книжной версии

    Том 9. Москва, 2007, стр. 93-99

  • image description

    Скопировать библиографическую ссылку:




Авторы: По материалам статьи Н. В. Ефимова из МЭС

ДИФФЕРЕНЦИА́ЛЬНАЯ ГЕОМЕ́ТРИЯ, раз­дел гео­мет­рии, в ко­то­ром гео­мет­рич. объ­ек­ты изу­ча­ют­ся ме­то­да­ми ма­те­ма­тич. ана­ли­за, в пер­вую оче­редь ме­то­да­ми диф­фе­рен­ци­аль­но­го ис­чис­ле­ния. Важ­ней­шие объ­ек­ты Д. г. – кри­вые (ли­нии) и по­верх­но­сти евк­ли­до­ва про­стран­ст­ва, а так­же се­мей­ст­ва (не­пре­рыв­ные со­во­куп­но­сти) кри­вых и по­верх­но­стей. При этом, в от­ли­чие от эле­мен­тар­ной и ана­ли­тической гео­мет­рий, изу­чаю­щих отд. кри­вые и по­верх­но­сти или спец. клас­сы кри­вых и по­верх­но­стей, Д. г. рас­смат­ри­ва­ет пре­имущественно кри­вые и по­верх­но­сти во­об­ще, лишь бы их мож­но бы­ло за­да­вать урав­не­ния­ми, ко­то­рые ис­сле­ду­ют­ся ме­то­да­ми ма­те­ма­тического ана­ли­за. Ха­рак­тер­ной осо­бен­но­стью Д. г. яв­ля­ет­ся то, что она ис­сле­ду­ет пре­ж­де все­го свой­ст­ва гео­мет­рич. объ­ек­тов (кри­вых, по­верх­но­стей и их се­мейств), ко­то­рые при­су­щи сколь угод­но ма­лым их час­тям; та­кие свой­ст­ва на­зы­ва­ют­ся диф­фе­рен­ци­аль­ны­ми.

Пер­во­на­чаль­но в Д. г. изу­ча­лись диф­фе­рен­ци­аль­ные свой­ст­ва гео­мет­ричес­ких объ­ек­тов, не из­ме­няю­щие­ся при дви­же­ни­ях. Это на­прав­ле­ние в Д. г. на­зы­ва­ют клас­си­че­ским. К др. на­прав­ле­ни­ям Д. г. от­но­сят­ся тео­рии, изу­чаю­щие как диф­фе­рен­ци­аль­ные свой­ст­ва гео­мет­рических объ­ек­тов евк­ли­до­ва про­стран­ст­ва, не из­меняю­щие­ся при аф­фин­ных, про­ек­тив­ных и др. пре­об­ра­зо­ва­ни­ях, так и диф­фе­рен­ци­аль­ные свой­ст­ва гео­мет­рических объ­ек­тов в не­евк­ли­до­вых мно­го­мер­ных про­стран­ст­вах (напр., в трёх­мер­ном или мно­го­мер­ном про­стран­ст­ве Ло­ба­чев­ско­го), а так­же диф­фе­рен­ци­аль­ные свой­ст­ва са­мих не­евк­ли­до­вых про­странств. Ис­сле­до­ва­ния не­евк­ли­до­вых про­странств со­став­ля­ют боль­шой и важ­ный раз­дел Д. г., имею­щий тес­ные свя­зи с фи­зи­кой, осо­бен­но с тео­ри­ей от­но­си­тель­но­сти.

От­вле­че­ние от специальных свойств гео­мет­рических объ­ек­тов, изу­чае­мых в Д. г., при­во­дит к об­ще­му по­ня­тию диф­фе­рен­ци­аль­но-гео­мет­рического мно­го­об­ра­зия, со­дер­жа­ще­му как ча­ст­ные слу­чаи по­ня­тия кри­вой, по­верх­но­сти, се­мей­ст­ва кри­вых и по­верх­но­стей в евк­ли­до­вых и не­евк­ли­до­вых про­стран­ст­вах, а так­же са­ми эти про­стран­ст­ва. Т. о., диф­фе­рен­ци­аль­но-­гео­мет­рическое мно­го­об­ра­зие яв­ля­ет­ся пред­ме­том диф­фе­рен­ци­аль­ной гео­мет­рии.

Рис. 3.
Рис. 2.
Рис. 1.
Рис. 4.

Кри­вые. Рас­смат­ри­вае­мые в Д. г. кри­вые име­ют во всех сво­их точ­ках, кро­ме, мо­жет быть, не­ко­то­рых осо­бых то­чек, оп­ре­де­лён­ную ка­са­тель­ную. При обыч­ных в Д. г. до­пу­ще­ни­ях дос­та­точ­ной глад­ко­сти кри­вой дли­на пер­пен­ди­ку­ля­ра $M′M″$ (рис. 1), опу­щен­но­го из точ­ки кри­вой $M′$ на ка­са­тель­ную $MT$ в точ­ке $M$, яв­ля­ет­ся бес­ко­неч­но ма­лой ве­личи­ной, по­ря­док ма­ло­сти ко­то­рой по срав­не­нию с дли­ной от­рез­ка $MM″$ не ни­же вто­ро­го (т. е. от­но­ше­ние $M′M″ /(MM″ )^2$ ос­таёт­ся ог­ра­ни­чен­ным, ко­гда точ­ка $M′$ при­бли­жа­ет­ся к $M$). Ме­рой от­кло­не­ния кри­вой от ка­са­тель­ной $MT$ яв­ля­ется кри­виз­на $k$ кри­вой в точ­ке $M$, $k= 2\lim M′M″/(MM″)^2$, где пре­дел бе­рёт­ся при стрем­ле­нии точ­ки $M′$ к точ­ке $M$. Кри­виз­ну мож­но рас­смат­ри­вать так­же как ме­ру ско­ро­сти из­ме­не­ния на­прав­ле­ния кри­вой. Ес­ли обо­зна­чить че­рез $α$ (рис. 2) угол ме­ж­ду ка­са­тель­ны­ми в точ­ках $M$ и $M′$ и че­рез $Δs$ дли­ну ду­ги $MM′$, то $k=\lim\limits_{Δs\to 0} α/Δs$. При не­ко­торых ус­ло­ви­ях кри­виз­не пло­ской кри­вой при­пи­сы­ва­ют знак плюс или ми­нус. В ча­ст­ном слу­чае, ко­гда ли­ния – пря­мая, её на­прав­ле­ние во всех точ­ках од­но и то же, по­это­му $α=0$ для лю­бо­го от­рез­ка $MM′$ и, зна­чит, $k=0$, т. е. кри­виз­на пря­мой во всех точ­ках рав­на ну­лю. В др. ча­ст­ном слу­чае, ко­гда ли­ния – ок­руж­ность, $Δs=αR$ ($R$ – ра­ди­ус ок­руж­ности, см. рис. 3) и $k=\lim\limits_{Δs\to 0}α/Δs=1/R$, т. е. кри­виз­на ок­руж­но­сти во всех точ­ках оди­на­ко­ва и рав­на об­рат­ной ве­ли­чи­не ра­диу­са. В слу­чае про­из­воль­ной ли­нии кри­виз­на в раз­ных точ­ках, во­об­ще го­во­ря, раз­лич­на; напр., на рис. 4 кри­виз­на изо­бра­жён­ной ли­нии в точ­ке $Q$ боль­ше, чем в точ­ке $M$.

 

Рис. 11.
Рис. 10.
Рис. 9.
Рис. 8.
Рис. 7.
Рис. 6.
Рис. 5.

Для ха­рак­те­ри­сти­ки ис­крив­лён­но­сти кри­вой вбли­зи дан­ной точ­ки при­ме­ня­ют­ся так­же по­ня­тия ок­руж­ность (круг) кри­виз­ны, ра­ди­ус кри­виз­ны и центр кри­виз­ны. Пусть $M$ – фик­си­ро­ван­ная точ­ка кри­вой $L$ (пред­по­ла­га­ет­ся, что её кри­виз­на в точ­ке $M$ от­лич­на от ну­ля), пусть $O$ – не­ко­то­рая ок­руж­ность, ка­саю­щая­ся $L$ в точ­ке $M$, $MT$ – об­щая ка­са­тель­ная к $L$ и к ок­руж­но­сти $O$ в точ­ке $M,\text{ } M′ \text{ и } M′f$ – точ­ки, со­от­вет­ст­вен­но, на $L$ и на $O$, имею­щие об­щую про­ек­цию $M′′f$ на $MT$ (рис. 5). Ес­ли точ­ки $M′$ и $M′f$ стре­мят­ся к точ­ке $M$ (а вме­сте с тем и $M′′f→M$), то рас­стоя­ние $M′M′f$ яв­ля­ет­ся ве­ли­чи­ной 2-го по­ряд­ка ма­ло­сти срав­ни­тель­но с $MM′′f$; ес­ли для ок­руж­но­сти $O$ рас­стоя­ние $M′M′f$ ока­зы­ва­ет­ся ве­ли­чи­ной 3-го или бо­лее вы­со­ко­го по­ряд­ка (т. е. эта ок­руж­ность, как го­во­рят, име­ет ка­са­ние 2-го по­ряд­ка), то она на­зы­ва­ет­ся со­при­ка­саю­щей­ся ок­руж­но­стью кри­вой $L$ в точ­ке $M$. Ес­ли в точ­ке $M$ кри­виз­на рав­на ну­лю, то со­при­ка­саю­щая­ся ок­руж­ность вы­ро­ж­да­ет­ся в пря­мую. Т. о., ма­лую ду­гу про­из­воль­ной кри­вой мож­но счи­тать ду­гой ок­руж­но­сти, а имен­но – со­при­ка­саю­щей­ся ок­руж­но­сти в не­ко­то­рой её точ­ке, если учи­ты­вать ве­ли­чи­ны 1-го и 2-го по­ряд­ков ма­ло­сти (срав­ни­тель­но с раз­ме­ра­ми ду­ги). Кри­виз­на про­из­воль­ной кри­вой в дан­ной точ­ке сов­па­да­ет с кри­виз­ной со­при­ка­саю­щей­ся ок­руж­но­сти в той же точ­ке. По­это­му со­при­ка­саю­щую­ся ок­руж­ность на­зы­ва­ют так­же ок­руж­но­стью (кру­гом) кри­виз­ны, а её центр и ра­ди­ус – цен­тром и ра­диу­сом кри­виз­ны кри­вой в дан­ной точ­ке. Пря­мая, со­еди­няю­щая центр кри­виз­ны с точ­кой $M$, пер­пен­ди­ку­ляр­на ка­са­тель­ной, в слу­чае пло­ской кри­вой она на­зы­ва­ет­ся нор­ма­лью, а в слу­чае про­стран­ст­вен­ной кри­вой – глав­ной нор­ма­лью. Кри­виз­на $k$ и ра­ди­ус кри­виз­ны ρ в лю­бой точ­ке кри­вой свя­за­ны со­от­но­ше­ни­ем $k=1/ρ$. Мно­же­ст­во цен­тров кри­виз­ны пло­ской кри­вой на­зы­ва­ет­ся её эво­лю­той. Са­ма кри­вая по от­но­ше­нию к сво­ей эво­лю­те на­зы­ва­ет­ся эволь­вен­той. Нор­маль эволь­вен­ты ка­са­ет­ся эво­лю­ты в цен­тре кри­виз­ны. На рис. 6 изо­бра­же­на эво­лю­та эл­лип­са; точ­ка $C$ яв­ля­ет­ся цен­тром кри­виз­ны эл­лип­са в точ­ке $M$.

Рис. 12.

Плос­кость, в ко­то­рой рас­по­ло­же­на со­при­ка­саю­щая­ся в точ­ке $M$ ок­руж­ность, на­зы­ва­ет­ся со­при­ка­саю­щей­ся плос­ко­стью в точ­ке $M$. Эту плос­кость мож­но оп­ре­де­лить не­по­сред­ст­вен­но как плос­кость, для ко­то­рой дли­на пер­пен­ди­ку­ля­ра $M′N$ (рис. 7), опу­щен­но­го из точ­ки $M′$, яв­ля­ет­ся бес­ко­неч­но ма­лой не ни­же 3-го по­ряд­ка по срав­не­нию с $MM′$ (для про­из­воль­ной плос­ко­сти, про­хо­дя­щей че­рез $M$, дли­на $M′N$, во­об­ще го­во­ря, бу­дет бес­ко­неч­но ма­лой 1-го по­ряд­ка, а для плос­ко­сти, про­хо­дя­щей че­рез ка­са­тель­ную $MT$, во­об­ще го­во­ря, 2-го по­ряд­ка). Со­при­ка­саю­щая­ся плос­кость есть не что иное, как плос­кость, про­хо­дя­щая че­рез ка­са­тель­ную и глав­ную нор­маль. В точ­ке $M$ с кри­виз­ной, рав­ной ну­лю, со­при­ка­саю­щая­ся плос­кость не оп­ре­де­ле­на.

Рис. 14.
Рис. 13.

При изу­че­нии про­стран­ст­вен­ных кри­вых, кро­ме кри­виз­ны, вво­дит­ся по­ня­тие кру­че­ния. Ес­ли кри­вая не ле­жит це­ли­ком в од­ной плос­ко­сти, то её со­при­ка­саю­щие­ся плос­ко­сти при пе­ре­хо­де от точ­ки к точ­ке ме­ня­ют­ся; чем рез­че про­ис­хо­дит это из­ме­не­ние, тем бо́ль­шим кру­че­ни­ем об­ла­да­ет кри­вая. Чис­лен­но кру­че­ние оп­ре­де­ля­ет­ся сле­дую­щим об­ра­зом. Пусть пе­ре­мен­ная точ­ка пе­ре­ме­ща­ет­ся по кри­вой из $M$ в $M′$; со­при­ка­саю­щая­ся плос­кость в пе­ре­мен­ной точ­ке ме­ня­ет угол сво­его на­кло­на к со­при­ка­саю­щей­ся плос­ко­сти в точ­ке $M$ (на­чи­ная от ну­ля) и в точ­ке $M′$ рас­по­ла­га­ет­ся к ней под не­ко­то­рым уг­лом $β$ (ес­ли сме­ще­ние точ­ки ма­ло, то $β$ – ма­лый ост­рый угол). Уг­лу $β$ при­пи­сы­ва­ет­ся знак плюс, ес­ли на­блю­да­тель, гля­дя из $M$ в $M′$, бу­дет ви­деть вра­ще­ние пе­ре­мен­ной со­при­ка­саю­щей­ся плос­ко­сти по ча­со­вой стрел­ке; в про­тив­ном слу­чае уг­лу $β$ при­пи­сы­ва­ет­ся знак ми­нус. От­но­ше­ние $β/Δs$, где $Δs$ – дли­на ду­ги $MM′$, при­ни­ма­ет­ся в ка­че­ст­ве ме­ры кру­че­ния кри­вой в сред­нем на уча­ст­ке $MM′$. Пре­дел это­го от­но­ше­ния при $Δs→0$ на­зы­ва­ет­ся кру­че­ни­ем $σ$ в точ­ке $M$. В ча­ст­ном слу­чае, ко­гда кри­вая яв­ля­ет­ся пло­ской, её кру­че­ние во всех точ­ках рав­но ну­лю; об­рат­но, ес­ли кру­че­ние во всех точ­ках рав­но ну­лю, то кри­вая це­ли­ком ле­жит в од­ной плос­ко­сти – об­щей со­при­ка­саю­щей­ся плос­ко­сти для всех её то­чек.

Рис. 15.
Рис. 16.

Кри­виз­на и кру­че­ние – ве­ли­чи­ны, ха­рак­те­ри­зую­щие кри­вую, имен­но: ес­ли ме­ж­ду точ­ка­ми двух кри­вых ус­та­нов­ле­но со­от­вет­ст­вие так, что со­от­вет­ст­вую­щие ду­ги этих кри­вых име­ют оди­на­ко­вые дли­ны, и ес­ли в со­от­вет­ст­вую­щих точ­ках эти кри­вые име­ют рав­ные кри­виз­ны и рав­ные кру­че­ния, то они оди­на­ко­вы по фор­ме, т. е. мо­гут быть со­вме­ще­ны при по­мо­щи дви­же­ния. Напр., все кри­вые, вдоль ко­то­рых кри­виз­на по­сто­ян­на и рав­на 1/α, а кру­че­ние рав­но ну­лю, суть ок­руж­но­сти ра­диу­са α. Про­из­воль­но за­дав не­пре­рыв­ные функ­ции $k(s)⩾0$ и $σ(s)$, мож­но най­ти кри­вую с этой за­дан­ной за­ви­си­мо­стью кри­виз­ны $k$ и кру­че­ния $σ$ от $s$, где $s$ – дли­на ду­ги кри­вой, из­ме­ряе­мой от не­ко­то­рой фик­си­ро­ван­ной точ­ки этой кри­вой.

Осн. по­ня­тия Д. г. ши­ро­ко ис­поль­зу­ют­ся в ме­ха­ни­ке. Мож­но от­ме­тить, что ско­рость дви­жу­щей­ся точ­ки на­прав­ле­на по ка­са­тель­ной к её тра­ек­то­рии, век­тор ус­ко­ре­ния ле­жит в со­при­ка­саю­щей­ся плос­ко­сти. Ес­ли дви­же­ние по кри­вой рав­но­мер­но, то при дан­ной ско­ро­сти ус­ко­ре­ние про­пор­цио­наль­но кри­виз­не тра­ек­то­рии и на­прав­ле­но к цен­тру кри­виз­ны. По­это­му, напр., при ус­та­нов­ле­нии пре­дель­ной ско­ро­сти дви­же­ния по­ез­да на кри­во­ли­ней­ном уча­ст­ке пу­ти не­об­хо­ди­мо учи­ты­вать кри­виз­ну уча­ст­ка, что­бы не до­пус­тить ус­ко­ре­ния, при ко­то­ром инер­ци­он­ные си­лы пре­вы­сят гра­ни­цы безо­пас­но­сти; пе­ре­ход от пря­мо­го уча­ст­ка к кри­во­ли­ней­но­му дол­жен быть осу­ще­ст­в­лён та­ким об­ра­зом, что­бы кри­виз­на воз­рас­та­ла от ну­ля не слиш­ком бы­ст­ро, т. к. в про­тив­ном слу­чае не­из­беж­ны воз­ник­но­ве­ния боль­ших инер­ци­он­ных сил.

Д. г. да­ёт об­щие спо­со­бы для на­хо­ж­де­ния ка­са­тель­ной, кри­виз­ны, кру­че­ния кри­вой. При этом кри­вая пред­по­ла­га­ет­ся за­дан­ной урав­не­ния­ми в к.-л. сис­те­ме ко­ор­ди­нат, ча­ще все­го па­ра­мет­рич. урав­не­ния­ми в пря­мо­уголь­ных ко­ор­ди­на­тах $$x=φ(u), y=ψ(u), z=χ(u),\tag1$$ здесь $u$ – не­за­ви­си­мая пе­ре­мен­ная (на­зы­вае­мая па­ра­мет­ром), из­ме­няю­щая­ся в не­ко­то­ром ко­неч­ном или бес­ко­неч­ном ин­тер­ва­ле; $φ(u), ψ(u), χ(u)$ – за­дан­ные функ­ции; $x, y, z$ – пря­мо­уголь­ные ко­ор­ди­на­ты не­ко­то­рой точ­ки $M$. При из­ме­не­нии $u$ ме­ня­ют­ся ве­ли­чи­ны $x, y, z,$ что оз­на­ча­ет пе­ре­ме­ще­ние точ­ки $M$. Тра­ек­то­рия точ­ки $M$ пред­став­ля­ет со­бой кри­вую, за­дан­ную урав­не­ния­ми (1). Напр., урав­не­ния $x=a\cos u, y=a\sin u, z=bu, a>0, b≠0,$ оп­ре­де­ля­ют вин­то­вую ли­нию: при воз­рас­та­нии $u$ точ­ка $M$ вра­ща­ет­ся во­круг оси $Oz$ и од­но­вре­мен­но пе­ре­ме­ща­ет­ся вдоль этой оси.

Пра­вые час­ти урав­не­ний (1) мож­но рас­смат­ри­вать как про­ек­ции на оси ко­ор­ди­нат ра­ди­ус-век­то­ра $r$ точ­ки $M$, что за­пи­сы­ва­ет­ся так: $r=(φ(u), ψ(u), χ(u))$.

Век­тор с про­ек­ция­ми $φ′(u), ψ′(u), χ′(u)$ на­зы­ва­ет­ся про­из­вод­ной век­то­ра $r$ и обо­зна­ча­ет­ся $$r′=\frac{dr}{du}=(φ′(u), ψ′(u), χ′(u)),$$ ана­ло­гич­но оп­ре­де­ля­ют­ся про­из­вод­ные выс­ших по­ряд­ков: $$r(n)=\frac{d^nr}{du^n}=(φ(n)(u), ψ(n)(u), χ(n)(u)).$$

Век­тор $r′$ ле­жит на ка­са­тель­ной к кри­вой в точ­ке $M$. По­это­му ес­ли $r′≠0$, то ка­са­тель­ная оп­ре­де­ля­ет­ся точ­кой $M$ и век­то­ром $r′$. Век­тор $r′f$ ле­жит в со­при­касаю­щей­ся плос­ко­сти. По­это­му со­при­ка­саю­щая­ся плос­кость оп­ре­де­ля­ет­ся точ­кой $M$ и век­то­ра­ми $r′$ и $r′f$ (ес­ли эти век­то­ры не­кол­ли­не­ар­ны). Кри­виз­на и круче­ние вы­чис­ля­ют­ся по фор­му­лам $$k=\sqrt{[r′, r′′]^2/(r′^2)^3},\\ σ=r′r′′r′′′/[r′, r′′]^2,\tag2$$ где $[r′ ,r′′]$ – век­тор­ное, а $r′r′′r′′′$ – сме­шан­ное про­из­ве­де­ния. При этом пред­по­ла­га­ет­ся, что сис­те­ма ко­ор­ди­нат­ных осей име­ет пра­вую ори­ен­та­цию. Кри­виз­на и кру­че­ние суть диф­фе­рен­ци­аль­ные ин­ва­ри­ан­ты от­но­си­тель­но из­ме­не­ния па­ра­мет­ра. Это оз­на­ча­ет, что они вы­ра­жа­ют­ся че­рез диф­фе­рен­циа­лы век­то­ра $r$ и па­ра­мет­ра $u$ и их вы­ра­же­ния не из­ме­ня­ют­ся (т. е. ин­ва­ри­ант­ны) при пе­ре­хо­де к но­во­му па­ра­мет­ру $v$ по фор­му­ле $u=u(v)$.

Для при­ме­не­ния фор­мул (2) не­об­хо­ди­мо, что­бы пра­вые час­ти урав­не­ний (1), оп­ре­де­ляю­щих кри­вую, име­ли про­из­вод­ные, по край­ней ме­ре, до 3-го по­ряд­ка. Это ус­ло­вие от­но­си­тель­но рас­смат­ри­вае­мых кри­вых в Д. г. обыч­но пред­по­ла­га­ет­ся вы­пол­нен­ным. Кро­ме то­го, как пра­ви­ло, пред­по­ла­га­ет­ся, что $r′≠0$. В ка­ж­дой точ­ке, где оба ука­зан­ных ус­ло­вия вы­пол­не­ны, кри­вая име­ет ка­са­тель­ную и вбли­зи та­кой точ­ки про­сти­ра­ет­ся вдоль ка­са­тель­ной в обе сто­ро­ны. Вбли­зи точ­ки, где $r′=0$, кри­вая мо­жет иметь иное строе­ние, та­кая точ­ка на­зы­ва­ет­ся не­ре­гу­ляр­ной или осо­бой. При­мер осо­бой точ­ки (т. н. точ­ки воз­вра­та) см. на рис. 8. См. так­же Осо­бая точ­ка кри­вой.

Ес­ли па­ра­метр $u$ сов­па­да­ет с дли­ной ду­ги $s$, прой­ден­ной точ­кой $M$ по дан­ной кри­вой, счи­тая от не­ко­то­рой вы­бран­ной на­чаль­ной точ­ки, то $dr/du=dr/ds=t$ – еди­нич­ный век­тор ка­са­тель­ной. Век­тор $d^2r/ds^2$ пер­пен­ди­ку­ля­рен век­то­ру $t$ и на­прав­лен по глав­ной нор­ма­ли. Еди­нич­ный век­тор, на­прав­лен­ный так же, как $d^2 r/ds^2$ , на­зы­ва­ют еди­нич­ным век­то­ром глав­ной нор­ма­ли; его обыч­но обо­зна­ча­ют че­рез $n$. Нор­маль, пер­пен­ди­ку­ляр­ная к со­при­ка­саю­щей­ся плос­ко­сти, на­зы­ва­ет­ся би­нор­ма­лью; век­тор $b$, рав­ный век­тор­но­му про­из­ве­де­нию $t$ на $n$ (т. е. $b=[t, n]$) и на­прав­лен­ный пер­пен­ди­ку­ляр­но к со­при­ка­саю­щей­ся плос­ко­сти, на­зы­ва­ет­ся еди­нич­ным век­то­ром би­нор­ма­ли. Плос­кость, про­хо­дя­щая че­рез точ­ку $M$ и век­то­ры $n, b$, со­дер­жит все нор­ма­ли в точ­ке $M$ и на­зы­ва­ет­ся нор­маль­ной плос­ко­стью в этой точ­ке; плос­кость, про­хо­дя­щая че­рез век­то­ры $t, b$, на­зы­ва­ет­ся спрям­ляю­щей.

Век­то­ры $t, n, b$ со­став­ля­ют т. н. ос­нов­ной три­эдр кри­вой в точ­ке $M$; они яв­ля­ют­ся функ­ция­ми то­го же па­ра­мет­ра, ко­то­рый оп­ре­де­ля­ет по­ло­же­ние точ­ки $M$. В ча­ст­но­сти, ес­ли в ка­че­ст­ве па­ра­мет­ра вы­бра­на дли­на ду­ги $s$, то $t, n, b$ бу­дут функ­ция­ми $s$. Про­из­вод­ные $t, n, b$ по $s$ вы­ра­жа­ют­ся фор­му­ла­ми Фре­не: $$\frac {dt}{ds}=kn, \frac{dn}{ds}=-kt+σb, \frac{db}{ds}=-σn,$$ ко­то­рые ши­ро­ко ис­поль­зу­ют­ся в Д. г. и тео­ре­тич. ме­ха­ни­ке.

Ес­ли кри­виз­на и кру­че­ние кри­вой в не­ко­то­рой её точ­ке от­лич­ны от ну­ля, то, зная их, мож­но сде­лать оп­ре­де­лён­ные за­клю­че­ния о фор­ме кри­вой в дос­та­точ­но ма­лой ок­ре­ст­но­сти точ­ки $M$. Имен­но, её про­ек­ция на со­при­ка­саю­щую­ся плос­кость в точ­ке $M$ яв­ля­ет­ся вы­пук­лой и рас­по­ло­же­на по ту сто­ро­ну от ка­са­тель­ной, в ко­то­рую на­прав­лен век­тор $n$ (рис. 9); про­ек­ция на нор­маль­ную плос­кость име­ет точ­ку воз­вра­та (рис. 10); про­ек­ция на спрям­ляю­щую плос­кость – точ­ку пе­ре­ги­ба, при­чём в слу­чае $σ>0$ кри­вая рас­по­ло­же­на так, как на рис. 11, а, в слу­чае $σ<0$ – как на рис. 11, б.

В Д. г., в ча­ст­но­сти в тео­рии кри­вых, раз­ли­ча­ют два ро­да тео­рем: тео­ре­мы гео­мет­рии в ма­лом и тео­ре­мы гео­мет­рии в це­лом. В гео­мет­рии в ма­лом ут­вер­жде­ния от­но­сят­ся не ко все­му мно­же­ст­ву то­чек изу­чае­мо­го объ­ек­та (напр., кри­вой), а толь­ко к час­ти это­го мно­же­ст­ва, при­над­ле­жа­щей к.-л. ок­ре­ст­но­сти не­ко­то­рой его точ­ки. К гео­мет­рии в ма­лом от­но­сит­ся, напр., ис­сле­до­ва­ние фор­мы кри­вой вбли­зи точ­ки, где кри­виз­на и кру­че­ние от­лич­ны от ну­ля.

Гео­мет­рия в це­лом рас­смат­ри­ва­ет свой­ст­ва все­го мно­же­ст­ва то­чек изу­чае­мо­го объ­ек­та. На­при­мер: а) на вся­кой пло­ской замк­ну­той кри­вой без са­мо­пе­ре­се­че­ний кри­виз­на име­ет, по край­ней ме­ре, два мак­си­му­ма и два ми­ни­му­ма; б) для лю­бой замк­ну­той кри­вой $ \oint {kds} \geq 2\pi $ (знак ра­вен­ст­ва име­ет ме­сто толь­ко для пло­ских вы­пук­лых кри­вых, а ес­ли кри­виз­на бе­рёт­ся с учё­том зна­ка, то – для пло­ских замк­ну­тых кри­вых).

По­верх­но­сти. По­верх­ность в Д. г. обыч­но оп­ре­де­ля­ет­ся тре­мя урав­не­ния­ми $$x=φ(u, v), y=ψ(u, v), z=χ(u, v),\tag3$$где $u, v$ – не­за­ви­си­мые пе­ре­мен­ные, на­зы­вае­мые па­ра­мет­ра­ми, а $x, y, z$ – пря­мо­уголь­ные ко­ор­ди­на­ты не­ко­то­рой точ­ки $M$. Пред­по­ла­га­ет­ся, что па­ра­мет­ры $u, v$ из­ме­ня­ют­ся в не­ко­то­рой об­лас­ти $D$ вспо­мо­га­тель­ной плос­ко­сти, на ко­то­рой вве­де­на сис­те­ма пря­мо­уголь­ных ко­ор­ди­нат. При всех воз­мож­ных зна­че­ни­ях $u, v$ из об­лас­ти $D$ точ­ка $M$ на­хо­дит­ся на по­верх­но­сти, оп­ре­де­ляе­мой урав­не­ния­ми (3). Функ­ции $φ (u, v), ψ (u, v), χ (u, v)$ обыч­но пред­по­ла­га­ют­ся не­пре­рыв­ны­ми и об­ла­даю­щи­ми ча­ст­ны­ми про­из­вод­ны­ми, по край­ней ме­ре, до 3-го по­ряд­ка при всех рас­смат­ри­вае­мых зна­че­ни­ях $u, v$. Для ка­ж­дой па­ры зна­че­ний $u, v$ урав­не­ния (3) ус­та­нав­ли­ва­ют оп­ре­де­лён­ное по­ло­же­ние точ­ки $M$ на по­верх­но­сти. Ес­ли за­фик­си­ро­ва­на толь­ко ве­ли­чи­на $v$, то при из­ме­не­нии $u$ точ­ка $M$ опи­сы­ва­ет на по­верх­но­сти не­ко­то­рую ли­нию, на­зы­вае­мую ко­ор­ди­нат­ной; раз­ным зна­че­ни­ям $v$ со­от­вет­ст­ву­ют раз­личные (во­об­ще го­во­ря) ко­ор­ди­нат­ные ли­нии; все вме­сте они со­став­ля­ют ко­ординат­ное се­мей­ст­во ли­ний $v=\mathrm{const}$. Ана­ло­гич­но оп­ре­де­ля­ет­ся ко­ор­ди­нат­ное се­мей­ст­во ли­ний u=const. Оба се­мей­ст­ва со­став­ля­ют т. н. ко­ор­ди­нат­ную сеть. Ес­ли ко­ор­ди­нат­ная сеть за­да­на, то про­из­воль­ная точ­ка по­верх­но­сти, оп­ре­де­ляе­мая дву­мя зна­че­ния­ми па­ра­мет­ров $u=u_0, v=v_0,$ мо­жет быть най­де­на как пе­ре­се­че­ние со­от­вет­ст­вую­щих ко­ор­ди­нат­ных ли­ний, т. е. при по­мо­щи не­ко­то­ро­го по­строе­ния на са­мой по­верх­но­сти, без об­ра­ще­ния к объ­ем­лю­ще­му про­стран­ст­ву. Вви­ду это­го $u, v$ на­зы­ва­ют­ся так­же внут­рен­ни­ми или кри­во­ли­ней­ны­ми ко­ор­ди­на­та­ми то­чек по­верх­но­сти.

По­ми­мо за­да­ния тре­мя па­ра­мет­рич. урав­не­ния­ми (3), по­верх­ность мо­жет быть за­да­на од­ним урав­не­ни­ем ви­да $F(x,y,z)=0,$ т. е. как мно­же­ст­во то­чек, ко­ор­ди­на­ты ко­то­рых удов­ле­тво­ря­ют это­му урав­не­нию. Ес­ли па­ра­мет­рич. урав­не­ния по­верх­но­сти за­да­ны, то ис­клю­че­ние па­ра­мет­ров $u, v$ из этих урав­не­ний при­во­дит к со­от­но­ше­нию ме­ж­ду $x, y, z$ ука­зан­но­го ви­да.

Напр., урав­не­ния $x=a\sin u \cos v, y= =a\sin u \sin v, z=a\cos u, a> 0,$ оп­ре­де­ля­ют сфе­ру ра­диу­са $a$ с цен­тром в на­ча­ле ко­ор­ди­нат. В дан­ном слу­чае $u, v$ на­зы­ва­ют­ся гео­гра­фич. ко­ор­ди­на­та­ми то­чек сфе­ры (ес­ли $u, v$ – внут­рен­ние ко­ор­ди­на­ты точ­ки $M$, то $u$ есть угол $MOQ$, а $v$ есть угол $POQ$; рис. 12). Ли­нии $v=\mathrm {const}$ и $u=\mathrm{const}$ на­зы­ва­ют­ся со­от­вет­ст­вен­но ме­ри­диа­на­ми и па­рал­ле­ля­ми сфе­ры (рис. 13). Точ­ки, в ко­то­рых схо­дят­ся все ме­ри­диа­ны, на­зы­ва­ют­ся по­лю­са­ми гео­гра­фич. сис­те­мы ко­ор­ди­нат (на рис. 13 это точ­ки $N$ и $S$). Ис­клю­че­ние па­ра­мет­ров $u, v$ из дан­ных трёх па­ра­мет­рич. урав­не­ний сфе­ры при­во­дит к урав­не­нию $x^2+y^2+z^2=a^2$ .

Д. г. в пер­вую оче­редь изу­ча­ет т. н. ре­гу­ляр­ные, или обык­но­вен­ные, точ­ки по­верх­но­сти. Точ­ка по­верх­но­сти на­зы­ва­ет­ся ре­гу­ляр­ной, ес­ли в не­ко­то­рой её ок­ре­ст­но­сти мож­но вве­сти внут­рен­ние ко­ор­ди­на­ты так, что че­рез ка­ж­дую точ­ку этой ок­ре­ст­но­сти про­хо­дят од­на ли­ния се­мей­ст­ва $u=\mathrm{const}$ и од­на ли­ния се­мей­ст­ва $v=\mathrm{const}$, при­чём на­прав­ле­ния этих ли­ний раз­лич­ны. При этих ус­ло­ви­ях и са­ма ко­ор­ди­нат­ная сис­те­ма на­зы­ва­ет­ся ре­гу­ляр­ной. Напр., гео­гра­фич. сис­те­ма ко­ор­ди­нат на сфе­ре ре­гу­ляр­на всю­ду, за ис­клю­че­ни­ем по­лю­сов $N$ и $S$; од­на­ко и точ­ки $N$ и $S$ – ре­гу­ляр­ные точ­ки сфе­ры, т. к. на сфе­ре мож­но вве­сти дру­гую гео­гра­фич. сис­те­му ко­ор­ди­нат (с но­вы­ми по­лю­са­ми), ко­то­рая в этих точ­ках бу­дет ре­гу­ляр­ной. Точ­ка по­верх­но­сти, не яв­ляю­щая­ся ре­гу­ляр­ной, на­зы­ва­ет­ся осо­бой (на рис. 14 изо­бра­же­на по­верх­ность с осо­бой точ­кой). В даль­ней­шем рас­смат­ри­ва­ют­ся толь­ко ре­гу­ляр­ные точ­ки и ре­гу­ляр­ные сис­те­мы внут­рен­них ко­ор­ди­нат.

Пусть не­ко­то­рая по­верх­ность за­да­на урав­не­ния­ми (3). Ра­ди­ус-век­тор $r$ её про­из­воль­ной точ­ки $M$ с ко­ор­ди­на­та­ми $x, y, z$ оп­ре­де­ля­ет­ся эти­ми урав­не­ния­ми как функ­ция от $u$ и $v$. Ча­ст­ные про­из­вод­ные $r_u$ и $r_v$ суть век­то­ры, ко­то­рые на­прав­ле­ны по ка­са­тель­ным (в точ­ке $M$) к ко­ор­ди­нат­ным ли­ни­ям $v=\mathrm{const}$ и $u=\mathrm{const}$, про­хо­дя­щим че­рез $M$. В слу­чае ре­гу­ляр­ной точ­ки и ре­гу­ляр­ной сис­те­мы ко­ор­ди­нат век­то­ры $r_u$ и $r_v$ не­кол­ли­не­ар­ны. По­это­му су­ще­ст­ву­ет од­на плоскость, ко­то­рая про­хо­дит че­рез точ­ку $M$ и со­дер­жит век­то­ры $r_u$ и $r_v$. Эта плос­кость со­дер­жит ка­са­тель­ную к ка­ж­дой ли­нии, ко­то­рая про­хо­дит на по­верх­но­сти че­рез точ­ку $M$. Она на­зы­ва­ет­ся ка­са­тель­ной плос­ко­стью к по­верх­но­сти в точ­ке $M$. Пря­мая, ко­то­рая про­хо­дит че­рез точ­ку $M$ пер­пен­ди­ку­ляр­но к ка­са­тель­ной плос­ко­сти (в точ­ке $M$), на­зы­ва­ет­ся нор­ма­лью к по­верх­но­сти в точ­ке $M$. На­прав­ле­ние нор­ма­ли оп­ре­де­ля­ет­ся век­тор­ным про­из­ве­де­ни­ем $[r_u,r_v]$.

Пусть да­ны урав­не­ния $$u=φ(t), v=ψ(t),\tag4 $$то­гда век­тор $r$ яв­ля­ет­ся функ­ци­ей от $t$ с (про­ме­жу­точ­ны­ми) ар­гу­мен­та­ми $u, v$. При из­ме­не­нии $t$ ко­нец век­то­ра $r$ бу­дет опи­сы­вать на дан­ной по­верх­но­сти не­ко­то­рую ли­нию; урав­не­ния (4) на­зы­ва­ются внут­рен­ни­ми урав­не­ния­ми этой ли­нии. Од­ной из об­щих за­дач тео­рии по­верх­но­стей яв­ля­ет­ся за­да­ча ис­сле­до­ва­ния ли­ний на по­верх­но­сти по их внут­рен­ним урав­не­ни­ям. В пер­вую оче­редь воз­ни­ка­ет во­прос об из­ме­ре­нии ли­нии, т. е. о вы­чис­ле­нии дли­ны лю­бой её ду­ги.

Пусть $s$ – дли­на ду­ги ли­нии на по­верх­но­сти, из­ме­рен­ная от не­ко­то­рой её фик­си­ро­ван­ной точ­ки до про­из­воль­ной точ­ки $M$ с внут­рен­ни­ми ко­ор­ди­на­та­ми $u, v$. Т. к.$u=φ(t), v=ψ(t),$ то $s$ яв­ля­ет­ся функ­ци­ей па­ра­мет­ра $t$; диф­фе­рен­циал этой функ­ции оп­ре­де­ля­ет­ся ра­вен­ст­вом $$ds^2=dx^2+dy^2+dz^2.\tag5$$ Пра­вая часть это­го ра­вен­ст­ва есть ска­ляр­ный квад­рат век­то­ра $dr$. Т. к. $dr=r_udu+r_vdv,$ то $$ds^2=r^2du^2+2r_ur_vdudv+r^2_vdv^2.\tag6 $$ Здесь $du$ и $dv$ оп­ре­де­ля­ют­ся из урав­не­ния дан­ной ли­нии, а имен­но: $du=φ′ (t)dt, dv=ψ′(t)dt$. На­про­тив, ко­эф­фи­ци­ен­ты  $r_u^2$$r_ur_v$ и $r_v^2$ не за­ви­сят от ка­ких бы то ни бы­ло ли­ний, про­во­ди­мых на по­верх­но­сти, они оп­ре­де­ля­ют­ся урав­не­ния­ми (3) са­мой по­верх­но­сти и яв­ля­ют­ся функ­ция ми от $u, v$. Вво­дя обо­зна­че­ния $r_u^2=E, r_ur_v=F, v_u^2=G,$ ра­вен­ст­во (6) мож­но пере­пи­сать в ви­де $$ds^2=Edu^2+2Fdudv+Gdv^2.\tag7$$ Вы­ра­же­ние в пра­вой час­ти на­зы­ва­ет­ся пер­вой квад­ра­тич­ной фор­мой. Ес­ли $E, F, G$ из­вест­ны, то дли­на про­из­воль­ной ду­ги ли­нии (4), со­от­вет­ст­вую­щей из­ме­не­нию $t$ в от­рез­ке $[t_1,t_2],$ мо­жет быть вы­чис­ле­на по фор­му­ле $$s=\int_{t_1}^{t_2}\sqrt {E\left (\frac{du}{dt}\right )^2+2F\frac{du}{dt}\frac{dv}{dt}+G\left (\frac{dv}{dt}\right )^2dt}.$$ Квад­ра­тич­ная фор­ма (7) по­зво­ля­ет вы­чис­лять дли­ны дуг ли­ний на дан­ной по­верх­но­сти, по­это­му её на­зы­ва­ют мет­рич. фор­мой по­верх­но­сти. Вме­сте с тем пер­вая квад­ра­тич­ная фор­ма оп­ре­де­ля­ет внут­рен­нюю гео­мет­рию по­верх­но­сти, т. е. со­во­куп­ность фак­тов, ко­то­рые мо­гут быть по­лу­че­ны при по­мо­щи из­ме­ре­ний, про­из­во­ди­мых на са­мой по­верх­но­сти, без об­ра­ще­ния к объ­ем­лю­ще­му про­стран­ст­ву. Внут­рен­няя гео­мет­рия по­верх­но­стей яв­ля­ет­ся ши­ро­ким обоб­ще­ни­ем пла­ни­мет­рии. Роль пря­мых во внут­рен­ней гео­мет­рии про­из­воль­ной по­верх­но­сти иг­ра­ют гео­де­зи­че­ские ли­нии. Две по­верх­но­сти име­ют оди­на­ко­вую внут­рен­нюю гео­мет­рию, ес­ли их мож­но вза­им­но од­но­знач­но ото­бра­зить од­ну на дру­гую так, что гео­де­зич. ли­нии пе­рей­дут в гео­де­зи­че­ские и дли­ны их ос­та­нут­ся не­из­мен­ны­ми. Та­кие по­верх­но­сти на­зы­ва­ют­ся изо­мет­рич­ны­ми.

Не­пре­рыв­ная де­фор­ма­ция по­верх­но­сти, при ко­то­рой её внут­рен­няя гео­мет­рия ос­та­ёт­ся не­из­мен­ной, на­зы­ва­ет­ся из­ги­ба­ни­ем по­верх­но­сти. Ес­ли по­верх­ность фи­зи­че­ски реа­ли­зо­ва­на из гиб­ко­го не­рас­тя­жи­мо­го ма­те­риа­ла, то, де­фор­ми­руя её так, что­бы не воз­ни­ка­ло скла­док или раз­ры­вов, по­лу­ча­ют из­ги­ба­ние этой по­верх­но­сти. Ис­сле­до­ва­ние из­ги­ба­ний име­ет важ­ное зна­че­ние для тео­рии уп­ру­гих обо­ло­чек.

Д. г. не ог­ра­ни­чи­ва­ет­ся изу­че­ни­ем толь­ко внут­рен­них свойств по­верх­но­сти. Изу­че­ние по­верх­но­сти как про­стран­ст­вен­ной фи­гу­ры ос­но­ва­но на рас­смот­ре­нии кри­виз­ны ле­жа­щих на по­верх­но­сти ли­ний. Пусть $M$ – про­из­воль­ная точ­ка поверх­но­сти, оп­ре­де­ляе­мой урав­не­ния­ми (3), $N$ – еди­нич­ный век­тор нор­ма­ли в точ­ке $M$ (обыч­но век­тор $N$ пред­полага­ет­ся на­прав­лен­ным по нор­ма­ли в ту же сто­ро­ну, в ка­кую на­прав­ле­но век­тор­ное про­из­ве­де­ние $[r_u, r_v]$). Ес­ли про­вес­ти плос­кость че­рез нор­маль в точ­ке $M$ в на­прав­ле­нии дан­но­го век­то­ра $dr=r_udu+r_vdv$, то она пе­ре­се­чёт по­верх­ность по не­ко­то­рой ли­нии. Кри­виз­на этой ли­нии в точ­ке $M$, взя­тая со зна­ком плюс, ес­ли на­прав­ле­ние во­гну­то­сти ли­нии сов­па­да­ет с на­прав­ле­ни­ем век­то­ра $N$, и со зна­ком ми­нус в про­ти­во­по­лож­ном слу­чае, на­зы­ва­ет­ся нор­маль­ной кри­виз­ной по­верх­но­сти в точ­ке $M$ в на­прав­ле­нии век­то­ра $dr$. Нор­маль­ная кри­виз­на обо­зна­ча­ет­ся $1/R$; она оп­ре­де­ля­ет­ся фор­му­лой $$\frac{1}{R}=\frac{Hdu^2+2Kdudv+Ldv^2}{ds^2},$$ где $H=r_{uu}N, K=r_{uv}N, L=r_{vv}N,$ а $ds^2$ оп­ре­де­ля­ет­ся по фор­му­ле (7). Квад­ра­тич­ная диф­фе­рен­ци­аль­ная фор­ма $$Hdu^2+2Kdudv+Ldv^2$$  на­зы­ва­ет­ся вто­рой квад­ра­тич­ной фор­мой по­верх­но­сти. Нор­маль­ная кри­виз­на по­верх­но­сти (в не­ко­то­рой её точ­ке $M$) за­ви­сит от на­прав­ле­ния век­то­ра $dr$. Те на­прав­ле­ния, в ко­то­рых нор­маль­ная кри­виз­на при­ни­ма­ет экс­тре­маль­ное зна­че­ние, на­зы­ва­ют­ся глав­ны­ми на­прав­ле­ния­ми по­верх­но­сти в точ­ке $M$. На­прав­ле­ния, в ко­то­рых нор­маль­ная кри­виз­на об­ра­ща­ет­ся в нуль, на­зы­ва­ют­ся асим­пто­ти­че­ски­ми. О за­ви­си­мо­сти ви­да по­верх­но­стей вбли­зи дан­ной точ­ки от ви­да вто­рой квад­ра­тич­ной фор­мы см. в ст. По­верх­но­стей тео­рия.

Ме­то­ды ис­сле­до­ва­ния по­верх­но­стей в ма­лом хо­ро­шо раз­ра­бо­та­ны. В осн. они ба­зи­ру­ют­ся на сле­дую­щем по­ло­жении: две квад­ра­тич­ные фор­мы по­верх­но­сти, за­дан­ные в к.-л. внут­рен­них ко­ор­ди­на­тах, оп­ре­де­ля­ют по­верх­ность как твёр­дое те­ло (т. е. с точ­но­стью до по­ло­же­ния в про­стран­ст­ве). Ес­ли да­ны две фор­мы $Edu^2+2Fdudv+Cdv^2$ и $Hdu^2+2Kdudv+Ldv^2$, то най­дёт­ся по­верх­ность, для ко­то­рой они яв­ля­ют­ся со­от­вет­ст­вен­но пер­вой и вто­рой квад­ра­тич­ной фор­мой при ус­ло­ви­ях, что фор­ма $Edu^2+2Fdudv+Cdv^2$ по­ло­жи­тель­на и функ­ции $H, K, L$ удов­ле­тво­ря­ют не­ко­то­рой сис­те­ме трёх урав­не­ний, од­но из ко­то­рых, най­ден­ное К. Га­ус­сом (1827), яв­ля­ет­ся ал­геб­раи­че­ским, а два дру­гих урав­не­ния, най­ден­ные К. М. Пе­тер­со­ном (1853), суть ли­ней­ные диф­фе­рен­ци­аль­ные урав­не­ния с ча­ст­ны­ми про­из­вод­ными 1-го по­ряд­ка. Урав­не­ния Га­ус­са – Пе­тер­со­на иг­ра­ют фун­дам. роль в тео­рии по­верх­но­стей.

Гео­мет­рия по­верх­но­стей в це­лом ус­та­нав­ли­ва­ет свой­ст­ва по­верх­но­стей по их диф­фе­рен­ци­аль­ным свой­ст­вам в ка­ж­дой точ­ке, она бо­га­та глу­бо­ки­ми ре­зуль­та­та­ми, но ме­нее раз­ви­та, чем гео­мет­рия в ма­лом.

Семейства кривых и поверхностей

В Д. г. час­то при­хо­дит­ся иметь де­ло не с отд. кри­вой и по­верх­но­стью, а с бес­ко­неч­ны­ми се­мей­ст­ва­ми кри­вых или по­верх­но­стей. Пусть да­ны урав­не­ния, ко­то­рые со­дер­жат ко­ор­ди­на­ты $x, y, z$ и про­из­воль­ные по­сто­ян­ные $C_1, C_2, …, C_n$, при­чём ка­ж­дый раз, ко­гда эти по­сто­ян­ные по­лу­ча­ют к.-л. чис­лен­ные зна­че­ния, дан­ные урав­не­ния оп­ре­де­ля­ют не­ко­то­рую кри­вую (или по­верх­ность). Мно­же­ст­во всех кри­вых (или по­верх­но­стей), ко­то­рые оп­ре­де­ля­ют­ся дан­ны­ми урав­не­ния­ми при всех воз­мож­ных чис­лен­ных зна­че­ни­ях $C_1, C_2, …, C_n$, на­зы­ва­ет­ся $n$-па­ра­мет­рич. се­мей­ст­вом кри­вых (или по­верх­но­стей). При этом пред­по­ла­га­ет­ся, что то же са­мое мно­же­ст­во не мо­жет быть оп­ре­де­ле­но урав­не­ния­ми с мень­шим чис­лом про­из­воль­ных по­сто­ян­ных.

При­ме­ры. Урав­не­ние $x\cos α + y \sin α-1=0$, где $α$ – про­из­воль­ная по­сто­ян­ная, оп­ре­де­ля­ет од­но­па­ра­мет­рич. се­мей­ст­во пря­мых, для ко­то­рых рас­стоя­ние до на­ча­ла ко­ор­ди­нат рав­но еди­ни­це.

Урав­не­ния $x=a\cos t, y=\sin t, z=bt$, где $a$ и $b$ – про­из­воль­ные по­сто­ян­ные, оп­ре­де­ля­ют двух­па­ра­мет­рич. се­мей­ст­во вин­то­вых ли­ний.

Урав­не­ние $C_1x+C_2y+C_3z-1=0$, где $C_1, C_2$ – про­из­воль­ные по­сто­ян­ные, а $C_3=\sqrt {1-C_1^2-C_2^2}$ , оп­ре­де­ля­ет двух­па­ра­мет­рич. се­мей­ст­во плос­ко­стей, для ко­то­рых рас­стоя­ние до на­ча­ла ко­ор­ди­нат рав­но еди­ни­це.

При изу­че­нии од­но­па­ра­мет­рич. се­мейств кри­вых, а так­же од­но- и двух­па­ра­мет­рич. се­мейств по­верх­но­стей важ­ную роль иг­ра­ет по­ня­тие оги­баю­щей. Оги­баю­щей од­но­па­ра­мет­рич. се­мей­ст­ва кри­вых на­зы­ва­ет­ся кри­вая, ко­то­рая в ка­ж­дой сво­ей точ­ке ка­са­ет­ся к.-л. кри­вой се­мей­ст­ва.

Напр., се­мей­ст­во пря­мых на плос­ко­сти, от­стоя­щих от дан­ной точ­ки на рас­стоя­нии, рав­ном $a$, име­ет в ка­че­ст­ве оги­баю­щей ок­руж­ность ра­диу­са $a$ с цен­тром в дан­ной точ­ке (рис. 15); од­но­па­ра­мет­рич. се­мей­ст­во сфер, по­лу­чен­ное вра­ще­ни­ем не­ко­то­рой сфе­ры во­круг не пе­ре­се­каю­щей её оси, име­ет в ка­че­ст­ве оги­баю­щей тор (рис. 16).

Дифференциально-геометрические многообразия

В разл. раз­де­лах Д. г. и в её при­ме­не­ни­ях рас­смат­ри­ва­ют­ся раз­но­об­раз­ные объ­ек­ты. При всём раз­но­об­ра­зии этих объ­ек­тов они об­ла­да­ют не­ко­то­ры­ми об­щи­ми чер­та­ми. Пре­ж­де все­го, они суть мно­же­ст­ва, для ко­то­рых оп­ре­де­ле­но по­ня­тие бли­зо­сти эле­мен­тов (ли­нии и по­верх­но­сти суть мно­же­ст­ва то­чек, се­мей­ст­ва суть мно­же­ст­ва ли­ний и по­верх­но­стей). Да­лее, они яв­ля­ют­ся мно­го­мер­ны­ми то­по­ло­гич. мно­го­об­ра­зия­ми, т. е. вбли­зи ка­ж­до­го сво­его эле­мен­та име­ют то же то­по­ло­гич. строе­ние, что и евк­ли­до­во про­стран­ст­во не­ко­то­рой раз­мер­но­сти (вбли­зи не­ко­то­рых эле­мен­тов мно­же­ст­во мо­жет иметь бо­лее слож­ное то­по­ло­гич. строе­ние, но та­кие эле­мен­ты ис­клю­ча­ют­ся из рас­смот­ре­ния как осо­бые; напр., ко­нус вбли­зи ка­ж­дой сво­ей обык­но­вен­ной точ­ки име­ет та­кое же строе­ние, как евк­ли­до­ва плос­кость, вер­ши­на же ко­ну­са яв­ля­ет­ся осо­бой точ­кой). На­ко­нец, мно­же­ст­ва, изу­чае­мые в Д. г., рас­смат­ри­ва­ют­ся все­гда вме­сте с за­дан­ны­ми ко­ор­ди­на­та­ми эле­мен­тов; при этом чис­ло ко­ор­ди­нат для ка­ж­до­го эле­мен­та рав­но раз­мер­но­сти мно­же­ст­ва и ко­ор­ди­на­ты не­пре­рыв­но за­ви­сят от эле­мен­та, т. е. при бес­ко­неч­но ма­лом пе­ре­ме­ще­нии эле­мен­та его ко­ор­ди­на­ты из­ме­ня­ют­ся бес­ко­неч­но ма­ло. Та­ко­вы, напр., де­кар­то­вы ко­ор­ди­на­ты на плос­ко­сти. Од­на­ко во мно­гих слу­ча­ях, напр. на сфе­ре, вве­де­ние та­ких ко­ор­ди­нат на всём мно­же­ст­ве не­воз­мож­но, но в этих слу­ча­ях для мно­жеств, рас­смат­ри­вае­мых в Д. г., мож­но ука­зать ко­неч­ную или счёт­ную сис­те­му об­лас­тей, со­вме­ст­но по­кры­ваю­щих мно­же­ст­во, в ка­ж­дой из ко­то­рых мо­гут быть вве­де­ны ко­ор­ди­на­ты с со­блю­де­ни­ем ука­зан­ных ус­ло­вий. При этом в об­щей час­ти ка­ж­дой па­ры та­ких об­лас­тей ко­ор­ди­на­ты про­из­воль­но­го эле­мен­та, вве­дён­ные в лю­бой из них, вы­ра­жа­ют­ся че­рез ко­ор­ди­на­ты, вве­дён­ные в дру­гой, как функ­ции не­пре­рыв­ные и не­ко­то­рое чис­ло раз диф­фе­рен­ци­руе­мые. Это де­ла­ет воз­мож­ным при­ме­не­ние ме­то­дов ма­те­ма­тич. ана­ли­за вне за­ви­си­мо­сти от то­го, ка­кие ко­ор­ди­на­ты кла­дут­ся в ос­но­ву вы­чис­ле­ний.

От­вле­ка­ясь от спец. свойств кон­крет­ных объ­ек­тов и учи­ты­вая лишь ука­зан­ные вы­ше их об­щие чер­ты, при­хо­дят к об­щей идее $n$-мер­но­го диф­фе­рен­ци­аль­но-гео­мет­рич. мно­го­об­ра­зия, по­ни­мая под этим лю­бое $n$-мер­ное то­по­ло­гич. мно­го­об­ра­зие $M$ при сле­дую­щих ус­ло­ви­ях: мно­го­об­ра­зие $M$ по­кры­то ко­неч­ным или счёт­ным мно­же­ст­вом об­лас­тей, в ка­ж­дой из ко­то­рых вве­де­на ко­ор­ди­нат­ная сис­те­ма так, что ка­ж­дая точ­ка оп­ре­де­ля­ет­ся за­да­ни­ем ко­ор­ди­нат, при­чём со­от­вет­ст­вие ме­ж­ду точ­ка­ми и упо­ря­до­чен­ны­ми груп­па­ми их ко­ор­ди­нат вза­им­но од­но­знач­но и в обе сто­ро­ны не­пре­рыв­но; ес­ли две об­лас­ти это­го по­кры­тия име­ют об­щую часть, то в их об­щей час­ти ко­ор­ди­на­ты про­из­воль­ной точ­ки, за­дан­ные в к.-л. из об­лас­тей, яв­ля­ют­ся не­пре­рыв­ны­ми и $m$ раз диф­фе­рен­ци­руе­мы­ми или ана­ли­тич. функ­ция­ми ко­ор­ди­нат, за­дан­ных в др. об­лас­ти, в этом слу­чае мно­го­об­ра­зие на­зы­ва­ет­ся $m$ раз диф­фе­рен­ци­руе­мым или ана­ли­ти­че­ским со­от­вет­ст­вен­но. Ес­ли то же са­мое то­по­ло­гич. мно­го­об­ра­зие по­кры­то но­вым мно­же­ст­вом об­лас­тей и в ка­ж­дой из них вве­де­на ко­ор­ди­нат­ная сис­те­ма с со­блю­де­ни­ем тех же ус­ло­вий, то счи­та­ют, что но­вый спо­соб вве­де­ния ко­ор­ди­нат при­во­дит к то­му же са­мо­му диф­фе­рен­ци­аль­но-гео­мет­рич. мно­го­об­ра­зию, ес­ли в ка­ж­дой об­щей час­ти двух об­лас­тей ста­ро­го и но­во­го по­кры­тия ко­ор­ди­на­ты, за­дан­ные в к.-л. од­ной из этих об­лас­тей, яв­ля­ют­ся не­пре­рыв­ны­ми и $m$ раз диф­фе­рен­ци­руе­мы­ми или ана­ли­тич. функ­ция­ми ко­ор­ди­нат, за­дан­ных в др. об­лас­ти. Со­глас­но это­му оп­ре­де­ле­нию, ли­нии суть од­но­мер­ные диф­фе­рен­ци­аль­но-гео­мет­рич. мно­го­об­ра­зия, по­верх­но­сти – дву­мер­ные, обыч­ное евк­ли­до­во про­стран­ст­во пред­став­ля­ет со­бой при­мер трёх­мер­но­го диф­фе­рен­ци­аль­но-гео­мет­рич. мно­го­об­ра­зия. Эле­мен­ты мно­го­об­ра­зия при­ня­то на­зы­вать точ­ка­ми, од­на­ко они мо­гут быть объ­ек­та­ми лю­бой при­ро­ды.

При­ме­ры. Мно­же­ст­во, эле­мен­та­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся все пря­мые обыч­но­го евк­ли­до­ва про­стран­ст­ва, пред­став­ля­ет со­бой че­ты­рёх­мер­ное диф­фе­рен­ци­аль­но-­гео­мет­рич. мно­го­об­ра­зие. Ес­ли в де­кар­то­вых ко­ор­ди­на­тах пря­мая за­да­на урав­не­ния­ми $z=ax+b, z=cy+d$, то чис­ла $(a, b, c, d)$ мож­но рас­смат­ри­вать в ка­че­ст­ве ко­ор­ди­нат этой пря­мой. Об­ласть, в ко­то­рой оп­ре­де­ле­на та­кая ко­ор­ди­нат­ная сис­те­ма, есть мно­же­ст­во вcех пря­мых про­стран­ст­ва, за ис­клю­че­ни­ем тех, ко­то­рые па­рал­лель­ны плос­ко­сти $xOz$ или плос­ко­сти $yOz$.

Мно­же­ст­во, эле­мен­та­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся все­воз­мож­ные по­ло­же­ния твёр­до­го те­ла в обыч­ном евк­ли­до­вом про­стран­ст­ве, пред­став­ля­ет со­бой шес­ти­мер­ное диф­фе­рен­ци­аль­но-гео­мет­рич. мно­го­об­ра­зие. Оно шес­ти­мер­но по­то­му, что по­ло­же­ние твёр­до­го те­ла оп­ре­де­ля­ет­ся ше­стью чис­ла­ми, в ка­че­ст­ве ко­то­рых, напр., мож­но взять три де­кар­то­вы ко­ор­ди­на­ты к.-л. его точ­ки и три эй­ле­ро­вых уг­ла к.-л. жё­ст­ко свя­зан­ной с те­лом пря­мо­уголь­ной сис­те­мы ко­ор­ди­нат.

Мно­же­ст­во, эле­мен­та­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся все­воз­мож­ные по­ло­же­ния ме­ха­нич. сис­те­мы $n$ сво­бод­ных то­чек, так­же пред­став­ля­ет со­бой диф­фе­рен­ци­аль­но-­гео­мет­рич. мно­го­об­ра­зие. Раз­мер­ность его рав­на $3n$, т. к. по­ло­же­ние та­кой сис­те­мы оп­ре­де­ля­ет­ся за­да­ни­ем $3n$ ко­ор­ди­нат этих то­чек. Во­об­ще, ме­ха­нич. сис­те­ма, имею­щая $k$ сте­пе­ней сво­бо­ды, пред­став­ля­ет со­бой диф­фе­рен­ци­аль­но-гео­мет­рич. мно­го­об­ра­зие раз­мер­но­сти $k$.

Из при­ве­дён­ных при­ме­ров мож­но ви­деть, что об­щее по­ня­тие диф­фе­рен­ци­аль­но-гео­мет­рич. мно­го­об­ра­зия ох­ва­ты­ва­ет разл. кон­крет­ные мно­же­ст­ва, по­это­му изу­че­ние диф­фе­рен­ци­аль­но-гео­мет­рич. мно­го­об­ра­зий важ­но для мн. об­лас­тей ма­те­ма­ти­ки и смеж­ных с ней дис­ци­п­лин. Важ­ней­шие ре­зуль­та­ты, свя­зан­ные с диф­фе­рен­ци­аль­но-гео­мет­рич. мно­го­об­ра­зия­ми, по­лу­че­ны в ри­ма­но­вой гео­мет­рии.

Исторический очерк

Отд. по­ня­тия Д. г. (круг кри­виз­ны, эво­лю­та, оги­баю­щая, гео­де­зич. ли­ния) встре­ча­ют­ся уже во 2-й пол. 17 в. в тру­дах И. Нью­то­на, Г. В. Лейб­ни­ца, Х. Гюй­ген­са, Я. и И. Бер­нул­ли. К кон. 18 в. ра­бо­та­ми Л. Эй­ле­ра и Г. Мон­жа бы­ли за­ло­же­ны ос­но­вы тео­рии по­верх­но­стей. Л. Эй­лер впер­вые поль­зо­вал­ся кри­во­ли­ней­ны­ми ко­ор­ди­на­та­ми, ус­та­но­вил фор­му­лу, вы­ра­жаю­щую нор­маль­ную кри­виз­ну по­верх­но­сти, ввёл по­ня­тие на­ло­жи­мо­сти по­верх­но­стей и рас­смот­рел по­верх­но­сти, на­ло­жи­мые на плос­кость. Г. Мон­жу при­над­ле­жат по­ня­тия ли­ний кри­виз­ны и асим­пто­тич. ли­ний по­верх­но­сти. К Д. г. от­но­сит­ся со­чи­не­ние Г. Мон­жа «О зем­ля­ных вы­ем­ках и на­сы­пях» (1781), в ко­то­ром он ис­поль­зо­вал свои инж. ра­бо­ты по фор­ти­фи­ка­ции. Наи­бо­лее из­вест­на его мо­но­гра­фия «При­ло­же­ние ана­ли­за к гео­мет­рии» (1795, рус. пер. 1936).

Осо­бое зна­че­ние для Д. г. име­ли ра­бо­ты К. Га­ус­са, ис­точ­ни­ком ко­то­рых бы­ли за­да­чи гео­де­зии и кар­то­гра­фии. Гл. со­чи­не­ние К. Га­ус­са в этой об­лас­ти – «Об­щие ис­сле­до­ва­ния о кри­вых по­верх­но­стях» (1827). В нём вво­дят­ся обе квад­ра­тич­ные фор­мы по­верх­но­сти и до­ка­зы­ва­ет­ся тео­ре­ма об ин­ва­ри­ант­но­сти пол­ной кри­виз­ны от­но­си­тель­но изо­мет­рич­ных пре­об­ра­зо­ва­ний. Прин­ци­пи­аль­ное зна­че­ние этой ра­бо­ты за­клю­ча­ет­ся в том, что в ней поя­ви­лось по­ня­тие внут­рен­ней гео­мет­рии по­верх­но­сти. По­строе­ние ос­нов клас­сич. тео­рии по­верх­но­стей за­вер­ше­но К. М. Пе­тер­со­ном, ко­то­рый в 1853 дал пол­ную сис­те­му урав­не­ний этой тео­рии. Во 2-й пол. 19 в. мно­же­ст­во глу­бо­ких и об­щих ре­зуль­та­тов по клас­сич. тео­рии по­верх­но­стей бы­ло по­лу­че­но Ф. Мин­дин­гом, Ж. Лиу­вил­лем, Э. Бельт­ра­ми, Ж. Г. Дар­бу и др. В этот пе­ри­од де­таль­но ис­сле­до­ва­на внут­рен­няя гео­мет­рия по­верх­но­сти, по­лу­че­ны ре­зуль­та­ты о на­ло­жи­мо­сти по­верх­но­стей и осн. тео­ре­мы об из­ги­ба­ниях. Од­но­вре­мен­но шло ис­сле­до­ва­ние важ­ней­ших ча­ст­ных клас­сов по­верх­но­стей; как пра­ви­ло, эта про­бле­ма­ти­ка на­хо­ди­лась в тес­ной свя­зи с тео­ри­ей ин­тег­ри­ро­ва­ния диф­фе­рен­ци­аль­ных урав­не­ний. Об­зор ре­зуль­та­тов, по­лу­чен­ных во 2-й пол. 19 в., со­дер­жит­ся в че­ты­рёх­том­ном трак­та­те Ж. Г. Дар­бу «Лек­ции по об­щей тео­рии по­верх­но­стей» (1887–1896). Сре­ди специальных ис­сле­до­ва­ний по тео­рии по­верх­но­стей наи­бо­лее из­вест­ны ра­бо­ты К. М. Пе­тер­со­на, ко­то­ро­му при­над­ле­жит по­ня­тие т. н. из­ги­ба­ния по­верх­но­сти на глав­ном ос­но­ва­нии. Боль­шой вклад в про­бле­му, свя­зан­ную с из­ги­ба­ни­ем на глав­ном ос­но­ва­нии, внёс Н. Н. Лу­зин (1938–39). Рос. ма­те­ма­ти­ком Д. Ф. Его­ро­вым раз­ви­та тео­рия т. н. по­тен­ци­аль­ных по­верх­но­стей, ин­те­рес­ных с точ­ки зре­ния ме­ха­ни­ки (1901).

С кон. 19 в., в зна­чит. сте­пе­ни в свя­зи с «Эр­лан­ген­ской про­грам­мой» Ф. Клей­на (1872), в Д. г. всё боль­шее ме­сто за­ни­ма­ют ис­сле­до­ва­ния диф­фе­рен­ци­аль­ных ин­ва­ри­ан­тов разл. групп пре­об­ра­зо­ва­ний (аф­фин­ных пре­об­ра­зо­ва­ний, про­ек­тив­ных пре­об­ра­зо­ва­ний, кон­форм­ных пре­об­ра­зо­ва­ний).

Тео­ре­ти­ко-груп­по­вые обоб­ще­ния клас­сич. раз­де­лов Д. г. спо­соб­ст­во­ва­ли раз­ви­тию совр. по­ня­тия гео­мет­рич. про­стран­ст­ва, при этом глав­ны­ми бы­ли ис­сле­до­ва­ния, свя­зан­ные с ра­бо­та­ми Н. И. Ло­ба­чев­ско­го. От­кры­тие Ло­ба­чев­ско­го гео­мет­рии яви­лось на­ча­лом обоб­ще­ний по­ня­тия про­стран­ст­ва в том на­прав­ле­нии, ко­то­рое наи­бо­лее важ­но для ес­тест­во­зна­ния. Здесь зна­чит. роль при­над­ле­жит Б. Ри­ма­ну; в его лек­ции «О ги­по­те­зах, ле­жа­щих в ос­но­ва­нии гео­мет­рии» (1854) да­ны ос­но­вы тео­рии про­странств, на­зы­вае­мых ри­ма­но­вы­ми. Даль­ней­шее раз­ви­тие тео­рии ри­ма­но­вых про­странств со­еди­ни­лось с раз­ви­ти­ем тен­зор­но­го ана­ли­за, идеи ко­то­ро­го бы­ли под­го­тов­ле­ны ра­бо­та­ми Г. Ла­ме (1859), Э. Бельт­ра­ми (1868), Э. Кри­стоф­фе­ля (1869) и окон­ча­тель­но сфор­ми­ро­ва­ны в ра­бо­тах итал. ма­те­ма­ти­ка Г. Рич­чи-­Кур­ба­ст­ро (1884–1888). Тео­рия ри­ма­но­вых про­странств и тен­зор­ный ана­лиз с на­ча­ла воз­ник­но­ве­ния на­хо­ди­лись в тес­ной свя­зи с ме­ха­ни­кой и ма­те­ма­тич. фи­зи­кой, позд­нее они ста­ли осн. ма­те­ма­тич. ап­па­ра­том об­щей тео­рии от­но­си­тель­но­сти. В свою оче­редь, по­яв­ле­ние об­щей тео­рии от­но­си­тель­но­сти (1915) сти­му­ли­ро­ва­ло бур­ное раз­ви­тие тен­зор­но­го ана­ли­за, тео­рии ри­ма­но­вых про­странств и их обоб­ще­ний. В 1917 Т. Ле­ви-Чи­ви­та и не­за­ви­си­мо от не­го ни­дерл. ма­те­ма­тик Я. Схо­утен (1918) оп­ре­де­ли­ли по­ня­тие па­рал­лель­но­го пе­ре­но­са век­то­ра в ри­ма­но­вом про­стран­ст­ве; в 1918 Схо­утен и Г. Вейль обоб­щи­ли по­ня­тие ри­ма­но­ва про­стран­ст­ва на слу­чай т. н. про­странств аф­фин­ной и кон­форм­ной связ­но­сти. По­треб­ность та­ко­го обоб­щения бы­ла вы­зва­на по­пыт­ка­ми по­строе­ния еди­ной тео­рии гра­ви­та­ци­он­но­го и элек­тро­маг­нит­но­го по­ля. В ра­бо­тах Э. Кар­та­на (1922–24) идеи обоб­ще­ния внут­рен­ней гео­мет­рии по­верх­но­сти со­еди­ни­лись с тео­ре­ти­ко-груп­по­вым на­прав­ле­ни­ем.

Боль­шие дос­ти­же­ния в Д. г. от­но­сят­ся к об­лас­ти про­блем гео­мет­рии в це­лом. Важ­ные ре­зуль­та­ты бы­ли по­лу­че­ны Л. А. Люс­тер­ни­ком и Л. Г. Шни­рель­ма­ном, ко­то­рые до­ка­за­ли (1930), что на ка­ж­дой по­верх­но­сти, го­мео­морф­ной сфе­ре, име­ет­ся не ме­нее трёх замк­ну­тых гео­де­зич. ли­ний без крат­ных то­чек. Про­бле­ма о чис­ле та­ких гео­де­зич. ли­ний бы­ла по­став­ле­на А. Пу­ан­ка­ре в 1908. Нем. ма­те­ма­ти­ку С. Э. Кон-Фос­се­ну при­над­ле­жат ре­зуль­та­ты по ис­сле­до­ва­нию по­ве­де­ния гео­де­зич. ли­ний на дву­мер­ных пол­ных ри­ма­но­вых мно­го­об­ра­зи­ях, го­мео­морф­ных плос­ко­сти (1935–36).

Прин­ци­пи­аль­но но­вые ре­зуль­та­ты в тео­рии вы­пук­лых по­верх­но­стей бы­ли по­лу­че­ны А. Д. Алек­сан­д­ро­вым, ко­то­рый пред­ло­жил но­вый ме­тод ис­сле­до­ва­ния вы­пук­лых по­верх­но­стей, ос­но­ван­ный на их при­бли­же­нии вы­пук­лы­ми мно­го­гран­ни­ка­ми (1948). А. В. По­го­ре­ло­ву при­над­ле­жит по­строе­ние пол­ной тео­рии вы­пук­лых по­верх­но­стей (1969). К ка­че­ст­вен­ным во­про­сам тео­рии по­верх­но­стей от­но­сят­ся ра­бо­ты Н. В. Ефи­мо­ва (1948–49).

Лит.: Стройк Д. Очерк ис­то­рии диф­фе­рен­ци­аль­ной гео­мет­рии до XX сто­ле­тия. М.; Л., 1941; Алек­сан­д­ров А. Д. Внут­рен­няя гео­мет­рия вы­пук­лых по­верх­но­стей. М.; Л., 1948; Ка­ган В. Ф. Очер­ки по гео­мет­рии. М., 1963; Шу­ли­ков­ский В. И. Клас­си­че­ская диф­фе­рен­ци­аль­ная гео­мет­рия в тен­зор­ном из­ло­же­нии. М., 1963; По­го­ре­лов А. В. Внеш­няя гео­мет­рия вы­пук­лых по­верх­но­стей. М., 1969; он же. Диф­фе­рен­ци­аль­ная гео­мет­рия. 6-е изд. М., 1974; Гро­мол Д., Клин­ген­берг В., Мей­ер В. Ри­ма­но­ва гео­мет­рия в це­лом. М., 1971; Ко­бая­си Ш., Но­мид­зу К. Ос­но­вы диф­фе­рен­ци­аль­ной гео­мет­рии. М., 1981. Т. 1–2; Вольф Дж. Про­стран­ст­ва по­сто­ян­ной кри­виз­ны. М., 1982.

Вернуться к началу