Подпишитесь на наши новости
Вернуться к началу с статьи up
 

ДИСКРЕ́ТНАЯ ПОДГРУ́ППА

  • рубрика

    Рубрика: Математика

  • родственные статьи
  • image description

    В книжной версии

    Том 9. Москва, 2007, стр. 56-57

  • image description

    Скопировать библиографическую ссылку:




Авторы: Э. Б. Винберг

ДИСКРЕ́ТНАЯ ПОДГРУ́ППА, под­груп­па $Γ$ груп­пы Ли $G$ (или, бо­лее об­що, то­по­ло­гич. груп­пы), яв­ляю­щая­ся дис­крет­ным под­мно­же­ст­вом (см. Групп тео­рия, Ли групп тео­рия). Дис­крет­ность оз­на­ча­ет, что в ка­ж­дом ог­ра­ни­чен­ном под­мно­же­ст­ве груп­пы $G$ со­дер­жит­ся лишь ко­неч­ное чис­ло эле­мен­тов под­груп­пы $Γ$ . При­ме­ра­ми Д. п. яв­ля­ют­ся под­груп­па $\mathbf {Z}^n$ це­ло­чис­лен­ных век­то­ров $n$-мер­но­го про­стран­ст­ва $\mathbf {R}^n$ и под­груп­па $SL_n(\mathbf {Z})$ це­ло­чис­лен­ных мат­риц в груп­пе $SL_n(\mathbf {R})$ве­ще­ст­вен­ных мат­риц по­ряд­ка $n$ с оп­ре­де­ли­те­лем 1.

До сер. 20 в. рас­смат­ри­ва­лись от­дель­ные клас­сы Д. п., обя­зан­ные сво­им про­ис­хо­ж­де­ни­ем ариф­ме­ти­ке, тео­рии функ­ций и кри­стал­ло­гра­фии. Ис­сле­до­ва­ние груп­пы $SL_n(\mathbf {Z})$ со­ста­ви­ло пред­мет т. н. тео­рии при­ве­де­ний, раз­ра­бо­тан­ной рос. ма­те­ма­ти­ка­ми А. Н. Кор­ки­ным и Е. И. Зо­ло­та­рё­вым, а так­же Ш. Эр­ми­том, Г. Мин­ков­ским и др. во 2-й пол. 19 – нач. 20 вв. Ряд Д. п. клас­сич. групп Ли ис­сле­до­вал в на­ча­ле 1940-х гг. К. Зи­гель. В тео­рии функ­ций ком­плекс­но­го пе­ре­мен­но­го ре­ше­ние диф­фе­рен­ци­аль­ных урав­не­ний с ал­геб­ра­ич. ко­эф­фи­ци­ен­та­ми при­ве­ло к рас­смот­ре­нию не­ко­то­рых спец. функ­ций (на­зван­ных впо­след­ст­вии ав­то­морф­ны­ми), ин­ва­ри­ант­ных от­но­си­тель­но раз­лич­ных Д. п. груп­пы $SL_2(\mathbf {R})$. Об­шир­ный класс та­ких групп, в т. ч. груп­па $SL_2(\mathbf {Z})$, был в этой свя­зи изу­чен Ф. Клей­ном. Поч­ти од­но­вре­мен­но, в 1881–82, А. Пу­ан­ка­ре дал гео­мет­рич. опи­са­ние всех та­ких групп.

В кри­стал­ло­гра­фии Е. С. Фё­до­ро­вым в кон. 19 в. рас­смат­ри­ва­лись груп­пы сим­мет­рии кри­стал­лич. струк­тур, яв­ляю­щие­ся Д. п. груп­пы дви­же­ний трёх­мер­но­го евк­ли­до­ва про­стран­ст­ва. Эти и по­доб­ные им груп­пы дви­же­ний $n$-мер­но­го евк­ли­до­ва про­стран­ст­ва бы­ли изу­че­ны с ал­геб­ра­ич. точ­ки зре­ния нем. ма­те­ма­ти­ком Л. Би­бер­ба­хом в 1911. Он, в ча­ст­но­сти, до­ка­зал, что вся­кая та­кая груп­па со­дер­жит груп­пу, изо­морф­ную $\mathbf {Z}^n$ и со­стоя­щую из па­рал­лель­ных пе­ре­но­сов. Все эти ис­сле­до­ва­ния по­слу­жи­ли ис­ход­ным ма­те­риа­лом для соз­да­ния об­щей тео­рии Д. п. групп Ли в 1950–70-е гг. Боль­шой вклад в ис­сле­до­ва­ние Д. п. вне­сли А. И. Маль­цев, амер. ма­те­ма­тик А. Бо­рель, инд. ма­те­ма­тик Ха­риш-Чан­д­ра, амер. ма­те­ма­тик рос. про­ис­хо­ж­де­ния Г. А. Мар­гу­лис. Ис­сле­до­ва­ние Д. п. в груп­пе дви­же­ний трёх­мер­но­го про­стран­ст­ва Ло­ба­чев­ско­го при­об­ре­ло осо­бое зна­че­ние бла­го­да­ря об­на­ру­жен­ной ок. 1980 амер. ма­те­ма­ти­ком У. Тёр­сто­ном её свя­зи с то­по­ло­ги­ей трёх­мер­ных мно­го­об­ра­зий.

Лит.: Ра­гу­на­тан М. Дис­крет­ные под­груп­пы групп Ли. М., 1977; Вин­берг Э. Б., Гор­ба­це­вич ВВ., Шварц­ман О. В. Дис­крет­ные под­груп­пы групп Ли // Ито­ги нау­ки и тех­ни­ки. Сер. Со­вре­мен­ные про­бле­мы ма­те­ма­ти­ки. Фун­да­мен­таль­ные на­прав­ле­ния. 1988. Т. 21; Вин­берг Э. Б., Шварц­ман ОВ. Дис­крет­ные груп­пы дви­же­ний про­странств по­сто­ян­ной кри­виз­ны // Там же. 1988. Т. 29; Мар­гу­лис Г. А. Дис­крет­ные под­груп­пы по­лу­про­стых групп Ли. М., 2006.

Вернуться к началу