Подпишитесь на наши новости
Вернуться к началу с статьи up
 

ДИОФА́НТОВЫ УРАВНЕ́НИЯ

  • рубрика

    Рубрика: Математика

  • родственные статьи
  • image description

    В книжной версии

    Том 9. Москва, 2007, стр. 40

  • image description

    Скопировать библиографическую ссылку:




Авторы: М. К. Потапов, Ю. В. Нестеренко

ДИОФА́НТОВЫ УРАВНЕ́НИЯ, ал­геб­ра­ич. урав­не­ния или сис­те­мы ал­геб­ра­ич. урав­не­ний с це­лы­ми ко­эф­фи­ци­ен­та­ми от­но­си­тель­но не­из­вест­ных, при­ни­маю­щих це­лые или ра­цио­наль­ные зна­че­ния. На­зва­ны по име­ни Дио­фан­та, изу­чав­ше­го та­кие урав­не­ния. Чис­ло не­из­вест­ных в Д. у. пре­вос­хо­дит чис­ло урав­нений, по­это­му их обыч­но на­зы­ва­ют неопре­де­лён­ны­ми. Про­стей­шее Д. у. – урав­не­ние $ax+by=1$, где $a$ и $b$ – це­лые вза­им­но про­стые чис­ла. Та­кое Д. у. име­ет бес­конеч­ное мно­же­ст­во ре­ше­ний: ес­ли $(x_0, y_0)$ – од­но ре­ше­ние, то па­ры $(x, y)$, где $x=x_0+b_n, y=y_0-a_n, n$ – лю­бое це­лое чис­ло, так­же яв­ля­ют­ся ре­ше­ния­ми, ко­то­ры­ми и ис­чер­пы­ва­ет­ся вся со­во­куп­ность ре­ше­ний.

Др. ти­пом Д. у. яв­ля­ют­ся урав­не­ния 2-й сте­пе­ни

$$ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0,$$

где $a, b, c, d, e, f$ – це­лые чис­ла. Та­кие урав­не­ния мо­гут иметь бес­ко­неч­но мно­го ре­ше­ний. При­ме­ром мо­жет слу­жить урав­не­ние Пел­ля $x^2-dy^2=1$, где $d$ – на­ту­раль­ное чис­ло, не яв­ляю­щее­ся пол­ным квад­ра­том. Это урав­не­ние име­ет бес­ко­неч­ное чис­ло ре­ше­ний, ко­то­рые мож­но выписать в яв­ном ви­де.

Изу­ча­лись Д. у. ви­да

$$a_0x^n+a_1x^{n–1}y+…+a_ny^n=0,$$

где $n, a_0,a_1,...,a_n$ – це­лые чис­ла, $n⩾3$. Ес­ли мно­го­член $a_0t^n+a_1t^{n–1}+…+a_n$ не­при­во­дим в по­ле ра­цио­наль­ных чи­сел, т. е. не раз­ла­га­ет­ся на мно­жи­те­ли в этом по­ле, то со­от­вет­ст­вую­щее урав­не­ние не мо­жет иметь бес­ко­неч­но мно­го ре­ше­ний.

Из­вест­ной за­да­чей тео­рии Д. у. яв­ля­ет­ся Фер­ма Ве­ли­кая тео­ре­ма – ги­по­те­за об от­сут­ст­вии при це­лых $n⩾3$ не­три­ви­аль­ных це­лых ре­ше­ний Д. у.

$$x^n+y^n=z^n.\quad(1)$$

До­ка­за­тель­ст­во это­го ут­вер­жде­ния для $n= 4$ по­лу­че­но Л. Эй­ле­ром. Этот ре­зуль­тат сво­дит об­щий слу­чай к до­ка­за­тель­ст­ву от­сут­ст­вия не­три­ви­аль­ных це­лых ре­ше­ний урав­не­ния (1) при про­стом $n⩾3$. Ве­ли­кая тео­ре­ма Фер­ма бы­ла до­ка­за­на англ. ма­те­ма­ти­ком Э. Уайл­сом (1995). За­да­чи о це­лых или ра­цио­наль­ных точ­ках на ал­геб­ра­ич. мно­го­об­ра­зи­ях со­став­ля­ют пред­мет т. н. дио­фан­то­вой гео­мет­рии.

Лит.: Баш­ма­ко­ва И. Г. Дио­фант и дио­фан­то­вы урав­не­ния. М., 1972; Гель­фонд А. О. Ре­ше­ние урав­не­ний в це­лых чис­лах. 4-е изд. М., 1983; Бо­ре­вич З. И., Ша­фа­ре­вич И. Р. Тео­рия чи­сел. 3-е изд. М., 1985; Ленг С.  Ос­но­вы дио­фан­то­вой гео­мет­рии. М., 1986; Wi­les A. Modular elliptic curves and Fermat’s Last Theorem // Annals of Mathematics. 1995. Vol. 141. P. 443–551; Ви­но­гра­дов И. М. Ос­но­вы тео­рии чи­сел. 11-е изд. М., 2006.

Вернуться к началу