ВАРИАЦИО́ННОЕ ИСЧИСЛЕ́НИЕ

  • рубрика

    Рубрика: Математика

  • родственные статьи
  • image description

    В книжной версии

    Том 4. Москва, 2006, стр. 603-605

  • image description

    Скопировать библиографическую ссылку:




Авторы: В. М. Тихомиров

ВАРИАЦИО́ННОЕ ИСЧИСЛЕ́НИЕ, раз­дел ма­те­ма­ти­ки, в ко­то­ром изу­ча­ют­ся во­про­сы, свя­зан­ные с экс­тре­му­ма­ми ин­те­граль­ных функ­цио­на­лов спе­ци­аль­но­го ви­да. В про­стей­шем слу­чае это функ­цио­на­лы ви­да

$$\mathit {J (x) = \int_{t_0}^{t_1} L(t, x(t), \dot{x}(t))dt}, $$ 

где $\mathit {L = L(t, x, y) }$  – функ­ция трёх пе­ремен­ных (на­зы­вае­мая ин­те­гран­том). Здесь $\mathit{x = x(t), y = y(t) }$ – функ­ции пе­ре­мен­ной $\mathit { t, t_0 \leq t \leq t_1, x(t)}$ – про­из­вод­ная функ­ции $\mathit x(t)$. Т. о., зна­че­ния­ми ар­гу­мен­та функ­цио­на­ла $\mathit J$ яв­ля­ют­ся функ­ции $\mathit x$ од­но­го пе­ре­мен­но­го, т. е. В. и. – раз­дел бес­ко­неч­но­мер­но­го ана­ли­за, по­лу­чив­ший в 20 в. назв. функ­цио­наль­ного ана­ли­за. С др. сто­ро­ны, В. и. яв­ляет­ся раз­де­лом тео­рии экс­тре­маль­ных за­дач. 

Первые задачи вариационного исчисления

Ис­то­ри­че­ски пер­вой за­да­чей В. и. бы­ла за­да­ча о бра­хи­сто­хро­не, со­стоя­щая в на­хо­ж­де­нии кри­вой на­ис­ко­рей­ше­го спус­ка, со­еди­няю­щей две за­дан­ные точ­ки (или, ина­че го­во­ря, в на­хо­ж­де­нии фор­мы жё­ло­ба, со­еди­няю­ще­го две точ­ки, спус­ка­ясь по ко­то­ро­му без тре­ния под дей­ст­ви­ем си­лы тя­же­сти, те­ло за­вер­ша­ет дви­же­ние за крат­чай­шее вре­мя). За­да­чу о бра­хи­сто­хро­не мож­но сфор­му­ли­ро­вать как за­да­чу В. и. о ми­ни­ми­за­ции ин­те­гра­ла

$$\mathit {J(y) = \int_{x_0}^{x_1} \frac {\sqrt{1 +(y '(x))^2}} {\sqrt{y(x)}} dx}, $$ 

где $\mathit {y(x)}$ – фор­ма жё­ло­ба и $\mathit {(x_0, y(x_0)),(x_1, y(x_1))}$ – за­кре­п­лён­ные на­чаль­ная и ко­неч­ная точ­ки жё­ло­ба. Эта за­да­ча бы­ла пред­ло­же­на И. Бер­нул­ли в 1696 как вы­зов ма­те­ма­ти­кам (он объ­я­вил, что зна­ет её ре­ше­ние). Вы­зов был при­нят, и за­да­ча бы­ла ре­ше­на круп­ней­ши­ми учё­ны­ми то­го вре­ме­ни – Я. Бер­нул­ли, Г. Лейб­ни­цем, франц. учё­ным Г. Ло­пи­та­лем и И. Нью­то­ном. Эти ре­ше­ния на­ме­ти­ли мн. на­прав­ле­ния бу­ду­щей об­щей тео­рии. И. Бер­нул­ли ис­хо­дил из оп­ти­ко-ме­ха­нич. ана­ло­гии, Я. Бер­нул­ли при­ме­нил прин­цип Гюй­ген­са (см. Гюй­ген­са – Фре­не­ля прин­цип), Лейб­ниц ре­шил за­да­чу, за­ме­няя кри­вую ло­ма­ны­ми, за­ло­жив тем са­мым ос­но­ву пря­мым ме­то­дам в ва­риа­ци­он­ном ис­чис­ле­нии. 

В В. и. мож­но вы­де­лить раз­де­лы, по­свя­щён­ные не­об­хо­ди­мым ус­ло­ви­ям экс­тре­му­ма, дос­та­точ­ным ус­ло­ви­ям экс­тре­му­ма, во­про­сам су­ще­ст­во­ва­ния экс­тре­му­ма и ал­го­рит­мам по­ис­ка ре­ше­ний.

Необходимые условия экстремума

Раз­де­лы, по­свя­щён­ные не­об­хо­ди­мым ус­ло­ви­ям экс­тре­му­ма (и дос­та­точ­ным ус­ло­ви­ям экс­тре­му­ма), ста­ли раз­ра­ба­ты­вать­ся в 18 в. Л. Эй­ле­ром, Ж. Ла­гран­жем и А. Ле­жан­дром. На­чи­ная с 1730-х гг. Эй­лер за­ни­мал­ся про­бле­мой об ус­ло­виях экс­тре­му­ма в за­да­чах В. и. Та­ким ус­ло­ви­ем для про­стей­ших за­дач В. и. (про­стей­ши­ми на­зы­ва­ют­ся за­да­чи об экс­тре­му­мах функ­цио­на­лов J при фик­си­ро­ван­ных гра­нич­ных ус­ло­ви­ях) ока­за­лась вы­пол­ни­мость на кри­вой x, по­доз­ре­вае­мой на экс­тре­мум, диф­фе­рен­ци­аль­но­го урав­не­ния 2-го по­ряд­ка

$$\frac {\partial L}{\partial x} - \frac {d}{dt} \frac {\partial L}{\partial x} = 0,$$ 

по­лу­чив­ше­го на­зва­ние Эй­ле­ра урав­не­ния. В важ­ном ча­ст­ном слу­чае (он свя­зан с т. н. гар­мо­ни­че­ским ос­цил­ля­то­ром), ко­гда $ L = mx^2 - kx^2$, урав­не­ние Эй­ле­ра при­ни­ма­ет вид 

$$\ddot{x} + \frac {k}{m} x =0,$$ 

и гра­нич­ные ус­ло­вия, во­об­ще го­во­ря, по­зво­ля­ют од­но­знач­но оп­ре­де­лить си­ну­сои­ду (ре­ше­ние это­го урав­не­ния), со­еди­няю­щую две дан­ные точ­ки, за­дан­ные крае­вы­ми ус­ло­вия­ми. Кри­вые, удов­ле­тво­ряю­щие урав­не­нию Эй­ле­ра, на­зы­ва­ют экс­тре­ма­ля­ми, а урав­не­ние Эй­ле­ра – ус­ло­ви­ем ста­цио­нар­но­сти. Это урав­не­ние Л. Эй­лер вы­вел пря­мым ме­то­дом, за­ме­няя кри­вую ло­ма­ной, т. е. сво­дя за­да­чу к ко­неч­но­мер­ной (с по­сле­дую­щим пе­ре­хо­дом к пре­де­лу).

Л. Эй­лер стал впер­вые рас­смат­ри­вать за­да­чи с ог­ра­ни­че­ния­ми, а имен­но изо­пе­ри­мет­ри­че­ские за­да­чи, ко­гда ин­те­грал $J$ ми­ни­ми­зи­ру­ет­ся при ус­ло­вии, что не­ко­то­рые др. ин­те­гра­лы при­ни­ма­ют за­дан­ные зна­че­ния. Клас­си­че­ская изо­пе­ри­мет­рич. за­да­ча со­сто­ит в мак­си­ми­за­ции пло­ща­ди, ог­ра­ни­чен­ной кри­вой за­дан­ной дли­ны. Раз­ра­бо­тан­ные Эй­ле­ром ме­то­ды по­зво­ли­ли еди­но­об­раз­но ре­шить ряд за­дач, ин­те­рес­ных для ес­те­ст­во­зна­ния и гео­мет­рии. Сре­ди них за­да­чи о про­ви­са­нии тя­жё­лой ни­ти, о ми­ним. по­верх­но­сти вра­ще­ния, а так­же разл. ва­ри­ан­ты клас­си­че­ской изо­пе­ри­мет­рич. за­да­чи. Дос­ти­же­ния В. и. при­во­ди­ли к по­ни­ма­нию то­го, что оно мо­жет слу­жить язы­ком ес­те­ст­во­зна­ния, по­сколь­ку мн. за­ко­ны при­ро­ды мо­гут быть сфор­му­ли­ро­ва­ны с ис­поль­зо­ва­ни­ем ва­риа­ци­он­ных прин­ци­пов (см. Воз­мож­ных пе­ре­ме­ще­ний прин­цип, Наи­мень­ше­го дей­ст­вия прин­цип). 

В 1755 за­да­ча­ми В. и. на­чал за­ни­мать­ся Ж. Ла­гранж. Он пред­ло­жил но­вый под­ход к ис­сле­до­ва­нию свойств экс­тре­маль­ных кри­вых, ос­но­ван­ный на варь­и­ро­ва­нии кри­вой, по­доз­ре­вае­мой на экс­тре­мум, и вы­де­ле­нии гл. ли­ней­ной час­ти при­ра­ще­ния функ­цио­на­ла, т. е. кри­вая, по­доз­ре­вае­мая на экс­тре­мум, под­вер­га­ет­ся ма­лым из­ме­не­ни­ям, варь­и­ру­ет­ся, и изу­ча­ет­ся во­прос о при­ра­ще­нии функ­цио­на­ла, свя­зан­но­го с та­ким варь­и­ро­ва­ни­ем.

Позд­нее эти­ми во­про­са­ми за­ни­мал­ся так­же Л. Эй­лер, ко­то­рый в ра­бо­те «Эле­мен­ты ис­чис­ле­ния ва­риа­ций» (1764) ввёл тер­ми­ны «ва­риа­ция» и «ва­риа­ци­он­ное ис­чис­ле­ние». Для мно­го­мер­ных за­дач В. и. ме­то­дом ва­риа­ций ана­ло­ги урав­не­ния Эй­ле­ра бы­ли по­лу­че­ны в 1-й пол. 19 в. К. Га­ус­сом и М. В. Ост­ро­град­ским.

Ж. Ла­гранж ис­сле­до­вал за­да­чи В. и. с ог­ра­ни­че­ния­ми разл. при­ро­ды. Для за­дач на­хо­ж­де­ния экс­тре­му­мов функ­ций мн. пе­ре­мен­ных с ог­ра­ни­че­ния­ми ти­па ра­венств он стал при­ме­нять об­щий при­ём, по­лу­чив­ший назв. ме­то­да мно­жи­те­лей Ла­гран­жа (см. Ла­гран­жа функ­ция). Ана­ло­гич­ные приё­мы Ла­гранж при­ме­нял в за­да­чах В. и. Ме­тод мно­жи­те­лей Ла­гран­жа по­зво­ля­ет еди­но­об­раз­но вы­пи­сы­вать не­об­хо­ди­мые ус­ло­вия экс­тре­му­ма в разл. за­да­чах ва­риа­ци­он­но­го ис­чис­ле­ния.

Достаточные условия экстремума

Во­прос о дос­та­точ­ных ус­ло­ви­ях в В. и. впер­вые изу­чал И. Бер­нул­ли, но его рабо­та (1718) ос­та­ва­лась не­из­вест­ной вплоть до 20 в. В 1786 А. Ле­жандр на­шёл не­об­хо­ди­мое ус­ло­вие экс­тре­маль­но­сти кри­вой, со­стоя­щее в том, что вто­рая ва­риа­ция $\partial^2L/ \partial(\dot{x})^2$ не­от­ри­ца­тель­на (не­об­хо­ди­мое ус­ло­вие Ле­жан­д­ра). Ги­по­те­за о том, что дос­та­точ­ным ус­ло­ви­ем экс­тре­му­ма яв­ля­ет­ся по­ло­жи­тель­ность вто­рой ва­риа­ции (уси­лен­ное ус­ло­вие Ле­жан­д­ра), ока­за­лась не­вер­ной. 

Про­бле­му дос­та­точ­но­сти сла­бо­го экс­тре­му­ма (ко­гда из­ме­ря­ет­ся бли­зость не толь­ко са­мих функ­ций, но и их про­из­вод­ных) раз­ре­шил К. Яко­би, опи­ра­ясь на идеи У. Га­миль­то­на, ко­то­рые тот при­ме­нял для за­дач ме­ха­ни­ки и оп­ти­ки. Яко­би по­ка­зал, что ло­каль­ных, т. е. про­ве­ряе­мых в отд. точ­ках ус­ло­вий (та­ко­вы урав­не­ние Эй­ле­ра и ус­ло­вие Ле­жан­д­ра) не мо­жет быть дос­та­точ­но для экс­тре­маль­но­сти кри­вой.

К. Яко­би ввёл по­ня­тие со­пря­жён­ной точ­ки экс­тре­ма­ли ва­риа­ци­он­ной за­да­чи. Для про­стей­шей за­да­чи В. и. со­пря­жён­ная точ­ка име­ет про­стой гео­мет­рич. смысл: это точ­ка пе­ре­се­че­ния с экс­тре­ма­лью оги­баю­щей се­мей­ст­ва экс­тре­ма­лей, имею­щих об­щую на­чаль­ную точ­ку. От­сут­ст­вие со­пря­жён­ной точ­ки на ин­тер­ва­ле от на­чаль­ной до ко­неч­ной точ­ки – не­об­хо­ди­мое ус­ло­вие сла­бо­го ми­ни­му­ма (не­об­хо­ди­мое ус­ло­вие Яко­би). От­сут­ст­вие со­пря­жён­ной точ­ки на по­лу­ин­тер­ва­ле от на­чаль­ной точ­ки до ко­неч­ной, вклю­чая по­след­нюю (уси­лен­ное ус­ло­вие Яко­би), со­вме­ст­но с урав­не­ни­ем Эй­ле­ра и уси­лен­ным ус­ло­ви­ем Ле­жан­д­ра, дос­та­точ­но для сла­бо­го ми­ни­му­ма экс­тре­ма­ли.

В 19 в. У. Га­миль­то­ну уда­лось по­стро­ить, от­прав­ля­ясь от прин­ци­па Гюй­ген­са, тео­рию оп­тич. яв­ле­ний, а К. Яко­би пе­ре­нёс эти кон­цеп­ции Га­миль­то­на на об­щие за­да­чи В. и., что при­ве­ло к соз­да­нию тео­рии Га­миль­то­на – Яко­би. В этой тео­рии ис­сле­ду­ют­ся пуч­ки экс­тре­ма­лей, по­доб­ные пуч­кам лу­чей, и ана­ло­ги вол­но­вых фрон­тов в за­да­чах оп­тики. Про­из­во­дя­щие функ­ции, воз­ни­каю­щие в этих за­да­чах, удов­ле­тво­ря­ют урав­не­ни­ям с ча­ст­ны­ми про­из­вод­ны­ми, по­лу­чив­шим назв. Га­миль­то­на – Яко­би урав­не­ний. Ре­ше­ние этих урав­не­ний да­ёт но­вый под­ход к ре­ше­нию за­дач В. и. При та­ком под­хо­де К. Вей­ер­шт­рас­сом в 1880-е гг. бы­ли най­де­ны ус­ло­вия силь­но­го ми­ни­му­ма (ко­гда учи­ты­ва­ет­ся бли­зость лишь фа­зо­вых ко­ор­ди­нат).

Ре­ше­ние про­блем, свя­зан­ных с дос­та­точ­ны­ми ус­ло­вия­ми в за­да­чах с ог­ра­ни­че­ния­ми, за­вер­ши­лось лишь к сер. 20 в., ко­гда на­чал скла­ды­вать­ся но­вый раз­дел тео­рии экс­тре­маль­ных за­дач, по­лу­чив­ший назв. тео­рии оп­ти­маль­но­го управ­ле­ния. За­да­ча­ми оп­ти­маль­но­го управ­ле­ния на­зы­ва­ют­ся за­да­чи В. и. с до­пол­ни­тель­ны­ми ус­ло­вия­ми на пе­ре­мен­ные (ти­па не­ра­венств и вклю­че­ний), в ко­торых от­ра­жа­ют­ся ог­ра­ни­чен­ные воз­мож­но­сти воз­дей­ст­вия на управ­ляе­мые про­цес­сы. Фун­дам. зна­че­ние в тео­рии оп­ти­маль­но­го управ­ле­ния име­ет Пон­тря­ги­на прин­цип мак­си­му­ма; не­обхо­ди­мые ус­ло­вия Эй­ле­ра, Ле­жан­д­ра, Яко­би и Вей­ер­шт­рас­са яв­ля­ют­ся след­ст­вия­ми прин­ци­па мак­си­му­ма.

Соз­да­ние в 20 в. функ­цио­наль­но­го ана­ли­за по­зво­ли­ло рас­смат­ри­вать В. и. и оп­ти­маль­ное управ­ле­ние как час­ти это­го раз­де­ла ма­те­ма­ти­ки.

Вопросы существования экстремума

Тео­рия су­ще­ст­во­ва­ния ре­ше­ний за­дач В. и. бы­ла соз­да­на в 20 в. Ос­но­вы этой тео­рии так­же ба­зи­ру­ют­ся на об­щих кон­цеп­ци­ях функ­цио­наль­но­го ана­ли­за.

Алгоритмы поиска решения

 Ал­го­рит­мы ре­ше­ния за­дач В. и. стро­ят­ся на иде­ях штра­фа, пря­мых ме­то­дах, за­ме­няю­щих за­да­чу ко­неч­но­мер­ной, и ме­то­дах ре­ше­ния урав­не­ний, по­лу­чен­ных из не­об­хо­ди­мых ус­ло­вий экс­тре­му­ма.

Лит.: Гель­фанд ИМ., Фо­мин С. В. Ва­риа­ци­он­ное ис­чис­ле­ние. М., 1961; Алек­се­ев ВМ., Ти­хо­ми­ров ВМ., Фо­мин СВ. Оп­ти­маль­ное управ­ле­ние. М., 1979; Бус­ла­ев ВС. Лек­ции по ва­риа­ци­он­но­му ис­чис­ле­нию. Л., 1980; Ва­силь­ев Ф. П. Ме­то­ды оп­ти­ми­за­ции. М., 2002.

Вернуться к началу