Подпишитесь на наши новости
Вернуться к началу с статьи up
 

БА́НАХОВО ПРОСТРА́НСТВО

  • рубрика

    Рубрика: Математика

  • родственные статьи
  • image description

    В книжной версии

    Том 2. Москва, 2005, стр. 740

  • image description

    Скопировать библиографическую ссылку:




Авторы: А. А. Шкаликов

БА́НАХОВО ПРОСТРА́НСТВО, пол­ное ли­ней­ное нор­ми­ро­ван­ное про­стран­ст­во. Б. п. – од­но из важ­ней­ших по­ня­тий со­вре­менного ма­те­ма­тического и функ­цио­наль­но­го ана­ли­за. Назв. «Б. п.» свя­за­но с име­нем С. Ба­наха, ко­то­рый дал об­щее оп­ре­де­ле­ние Б. п. и на­чал сис­те­ма­тич. изу­че­ние та­ких про­странств. Ба­зой для ис­сле­до­ва­ний Ба­наха по­слу­жи­ли про­стран­ст­ва функ­ций и про­стран­ст­ва по­сле­до­ва­тель­но­стей, вве­дён­ные в нач. 20 в. Д. Гиль­бер­том, А. Ле­бе­гом, М. Фре­ше, Ф. Рис­сом.

На­ли­чие ли­ней­ной струк­ту­ры в Б. п. оз­на­ча­ет, что в нём оп­ре­де­ле­но ум­но­жение эле­мен­тов на ком­плекс­ные (или дей­ст­ви­тель­ные) чис­ла и для про­из­воль­ной па­ры эле­мен­тов оп­ре­де­ле­на их сум­ма. Опе­ра­ции сло­же­ния и ум­но­же­ния под­чи­не­ны ак­сио­мам век­тор­но­го про­стран­ст­ва. Ли­ней­ное про­стран­ст­во на­зы­ва­ет­ся нор­ми­ро­ван­ным, ес­ли ка­ж­до­му его эле­мен­ту $x$ по­став­ле­но в со­от­вет­ст­вие не­от­ри­ца­тель­ное чис­ло $‖x‖$ та­кое, что 1)  $‖x‖ =0$ то­гда и толь­ко то­гда, ко­гда $x=0$; 2)  $‖λx‖=∣λ∣‖x‖$ для лю­бо­го ком­плекс­но­го (или дей­ст­ви­тель­но­го) чис­ла $λ$; 3) $‖x+y‖{⩽}‖x‖+‖y‖$ для лю­бых пар $x$ и $y$ эле­мен­тов ли­ней­но­го про­стран­ст­ва. Чис­ло $‖x‖$ на­зы­ва­ет­ся нор­мой эле­мен­та $x$. Пол­но­та нор­ми­ро­ван­но­го про­стран­ст­ва $X$ оз­на­ча­ет, что для лю­бой по­сле­до­ва­тель­но­сти эле­мен­тов $x_k$ из $X$ та­кой, что $‖x_k-x_n‖→0$ при $k, n→∞$, су­ще­ст­ву­ет эле­мент $x$ в про­стран­ст­ве $X$ та­кой, что $‖x-x_k‖→0$ при $k→∞$.

Важ­ным ча­ст­ным слу­ча­ем Б. п. яв­ля­ет­ся гиль­бер­то­во про­стран­ст­во, в ко­то­ром на­ря­ду с ли­ней­ной струк­ту­рой за­да­но ска­ляр­ное про­из­ве­де­ние $(x, y)$, при­чём $‖x‖=\sqrt{(x, x)}$.

Осо­бую роль иг­ра­ют се­па­ра­бель­ные Б. п. Нор­ми­ро­ван­ное про­стран­ст­во $X$ на­зы­ва­ет­ся се­па­ра­бель­ным, ес­ли в нём су­ще­ст­ву­ет счёт­ное мно­же­ст­во эле­мен­тов $\{x_1, x_2, ...\}$, ко­то­рое плот­но в $X$, т. е. для лю­бо­го $ε>0$ и лю­бо­го эле­мен­та $x$ из $X$ най­дёт­ся эле­мент $x_k$ из мно­же­ст­ва $\{x_1, x_2, ...\}$ та­кой, что $‖x-x_k‖<ε$. При­ме­ра­ми Б. п. яв­ля­ют­ся про­стран­ство $C[a, b]$ не­пре­рыв­ных на от­рез­ке $[a, b]$ функ­ций $f(x)$ с нор­мой $$‖f‖=\max\limits_{a{⩽}x{⩽}b} ∣{f(x)}∣,$$где мак­си­мум бе­рёт­ся по $x∈[a, b]$; про­стран­ст­во $L_p[a, b], p{⩾}1$, со­стоя­щее из функ­ций, ин­тег­ри­руе­мых в $p$-й сте­пе­ни по Ле­бе­гу, с нор­мой $$‖f‖=\left (\int\limits_a^b|f(x)|^pdx \right ) ^{1/p};$$ про­стран­ст­во $l_p, p{⩾}1$, бес­ко­неч­ных по­сле­до­ва­тель­но­стей $x=(x_1, x_2, ...)$ с нормой $‖x‖=\left ( \sum_{k=1}^\infty|x_k|^p \right )^{1/p}$. Все эти простран­ст­ва се­па­ра­бель­ны, а про­стран­ст­ва $L_2[a, b]$ и $l_2$ – гиль­бер­то­вы. В совр. анали­зе ис­поль­зу­ют­ся разл. кон­крет­ные функ­цио­наль­ные Б. п., в ча­ст­но­сти про­стран­ст­ва Со­бо­ле­ва, Хар­ди, Бе­со­ва.

На­ря­ду с Б. п. $B$ рас­смат­ри­ва­ет­ся со­пря­жён­ное с ним про­стран­ст­во $B^*$, со­стоя­щее из ли­ней­ных не­пре­рыв­ных функ­цио­на­лов на $B$, т. е. ли­ней­ных не­пре­рыв­ных ото­бра­же­ний про­стран­ст­ва $B$ в по­ле ком­плекс­ных (или дей­ст­ви­тель­ных) чи­сел. Про­стран­ст­во $B^*$ с нор­мой $‖f‖=\sup{∣}f(x)∣$, где су­пре­мум бе­рёт­ся по всем $x, ‖x‖{⩽}1$, так­же яв­ля­ет­ся Б. п. Важ­ную роль в тео­рии Б. п. иг­ра­ют сле­дую­щие тео­ре­мы: тео­ре­ма Ха­на – Ба­на­ха о воз­мож­но­сти про­дол­же­ния вы­пук­лых функ­цио­на­лов с под­простран­ст­ва Б. п. на всё про­стран­ст­во с со­хране­ни­ем под­чи­не­ния (в ча­ст­но­сти, о воз­мож­но­сти про­дол­же­ния ли­ней­ных функ­цио­на­лов без уве­ли­че­ния нор­мы); тео­ре­ма Ба­на­ха – Штейн­хау­за о рав­но­мер­ной ог­ра­ни­чен­но­сти, ут­вер­ждаю­щая, что ес­ли по­сле­до­ва­тель­ность ли­ней­ных ог­ра­ни­чен­ных опе­ра­то­ров $A_n$ та­ко­ва, что чис­ло­вая по­сле­до­ва­тель­ность $‖A_nx‖$ ог­ра­ни­че­на для ка­ж­до­го эле­мен­та $x$ Б. п., то $‖A_nx‖{⩽}C‖x‖$ с не­ко­то­рой по­сто­ян­ной $C$, не за­ви­ся­щей от $n$ и $x$; тео­ре­ма Ба­на­ха об об­рат­ном опе­ра­то­ре, ут­вер­ждаю­щая, что ес­ли ли­ней­ный не­пре­рыв­ный опе­ра­тор ото­бра­жа­ет од­но Б. п. на дру­гое вза­им­но од­но­знач­но, то об­рат­ный опе­ра­тор то­же не­пре­ры­вен.

Лит.: Ба­нах С. Курс функцiонального ана­лiзу. Київ, 1948; Рисс Ф., Се­ке­фаль­ви-Надь Б. Лек­ции по функ­цио­наль­но­му ана­ли­зу. 2-е изд. М., 1979; Кол­мо­го­ров А. Н., Фо­мин С. В. Эле­мен­ты тео­рии функ­ций и функ­цио­наль­но­го ана­ли­за. 6-е изд. М., 1989.

Вернуться к началу