Подпишитесь на наши новости
Вернуться к началу с статьи up
 

АСИМПТОТИ́ЧЕСКИЙ РЯД

  • рубрика

    Рубрика: Математика

  • родственные статьи
  • image description

    В книжной версии

    Том 2. Москва, 2005, стр. 356-357

  • image description

    Скопировать библиографическую ссылку:




Авторы: В. А. Зорич

АСИМПТОТИ́ЧЕСКИЙ РЯД, ряд $$a_0(x)+a_1(x)+…+a_n(x)+…,$$ со­став­лен­ный из функ­ций пе­ре­мен­ной $x$ та­ких, что при за­дан­ном из­ме­не­нии $x$ (напр., при $x→0$ или при $x→∞$) ка­ж­дый сле­дую­щий член это­го ря­да есть бес­ко­неч­но ма­лая ве­ли­чи­на от­но­си­тель­но пре­ды­ду­ще­го чле­на, т. е. $a_{n+1}(x)=o(a_n(x)), n=0, 1, …$ (см. Бес­ко­неч­но боль­шие и бес­ко­неч­но ма­лые ве­ли­чи­ны).

Та­кой ряд на­зы­ва­ет­ся асим­пто­ти­че­ским раз­ло­же­ни­ем функ­ции $a(x)$ при $x→x_0$, ес­ли для лю­бо­го $n=0, 1, 2, ...$ $$a(x)=\sum_{k=0}^n a_k(x)+o(a_n(x))$$ при $x→x_0$. В этом слу­чае пи­шут $a(x)≃\sum\limits_{k=0}^{\infty}a_k(x)$. На­ря­ду с сим­во­лом $≃$ упот­реб­ля­ет­ся так­же сим­вол $∼$.

При­ме­ром асим­пто­тич. раз­ло­же­ния яв­ля­ет­ся Тей­ло­ра фор­му­ла $$f(x)=\sum_{k=0}^n \frac 1{k \ !}f^{(k)}(x_0)(x-x_0)^k+o((x-x_0)^n),$$ где $f^{(0)}(x)=f(x), f^{(k)}(x)$ – $k$-я про­из­вод­ная функ­ции $f(x), k=1, 2, ..., n,$ которая да­ёт сте­пен­ное асим­пто­тич. раз­ло­же­ние $$f(x)≃\sum_{k=0}^n \frac 1{k \ !}f^{(k)}(x_0)(x-x_0)^k$$ глад­кой функ­ции $f(x)$ при $x→x_0$.

А. р. не обя­за­тель­но схо­дит­ся. Напр., ряд $1-1!x+2!x^2-3!x^3+…$ яв­ля­ет­ся А. р. при $x→0$, но рас­хо­дит­ся при ка­ж­дом $x≠0$; ряд с об­щим чле­ном $a_n=n!t^{-n} \text {exp} \  t^2$ яв­ля­ет­ся А. р. при $t→∞$, хо­тя всю­ду рас­хо­дит­ся, а его чле­ны суть бес­ко­неч­но боль­шие при $t→∞$. В от­ли­чие от слу­чая схо­дя­щих­ся ря­дов, где рас­смат­ри­ва­ет­ся аб­со­лют­ная по­греш­ность при­бли­же­ния, в асим­пто­тич. раз­ло­же­ни­ях важ­на от­но­сит. по­греш­ность.

А. р., как и схо­дя­щие­ся ря­ды, ши­ро­ко ис­поль­зу­ют­ся как в са­мой ма­те­ма­тике, так и в её ес­теств.-на­уч. при­ло­жени­ях. Час­тич­ная сум­ма ря­да обыч­но да­ёт удоб­ное при­бли­же­ние ис­сле­дуе­мой функ­ции. А. р. и раз­ло­же­ния час­то воз­ни­ка­ют при на­ли­чии в за­да­че ма­ло­го или боль­шо­го па­ра­мет­ра.

Отд. асим­пто­тич. раз­ло­же­ния ис­поль­зо­ва­лись в 18 в. Стро­гое по­ня­тие А. р. вве­де­но А. Пу­ан­ка­ре (1886) в свя­зи с за­да­ча­ми не­бес­ной ме­ха­ни­ки.

Лит.: де Брейн Н. Г. Асим­пто­ти­че­ские ме­тоды в ана­ли­зе. М., 1961; Эр­дейи А. Асим­птоти­че­ские раз­ло­же­ния. М., 1962; Фе­до­рюк М. В. Ме­тод пе­ре­ва­ла. М., 1977; Ев­гра­фов М. А. Асим­пто­ти­че­ские оцен­ки и це­лые функ­ции. 3-е изд. М., 1979; Ол­вер Ф. Асим­пто­ти­ка и спе­ци­аль­ные функ­ции. М., 1990; Уит­те­кер Э. Т., Ват­сон Дж. Н. Курс со­вре­мен­но­го ана­ли­за. 3-е изд. М., 2002. Ч. 1.

Вернуться к началу