Подпишитесь на наши новости
Вернуться к началу с статьи up
 

АНАЛИТИ́ЧЕСКАЯ ГЕОМЕ́ТРИЯ

  • рубрика

    Рубрика: Математика

  • родственные статьи
  • image description

    В книжной версии

    Том 1. Москва, 2005, стр. 654

  • image description

    Скопировать библиографическую ссылку:




Авторы: Э. Г. Позняк

АНАЛИТИ́ЧЕСКАЯ ГЕОМЕ́ТРИЯ, раз­дел гео­мет­рии, в ко­то­ром гео­мет­рич. объ­ек­ты (пря­мые, плос­ко­сти, ли­нии и по­верх­но­сти вто­ро­го по­ряд­ка) ис­сле­ду­ют­ся сред­ст­ва­ми ал­геб­ры на ос­но­ве ме­то­да ко­ор­ди­нат.

Воз­ник­но­ве­ние в 17 в. ме­то­да ко­ор­ди­нат свя­за­но с раз­ви­ти­ем ас­тро­но­мии, ме­ха­ни­ки и тех­ни­ки. Из­ло­же­ние это­го ме­то­да и ос­нов А. г. бы­ло да­но Р. Де­кар­том в его «Гео­мет­рии» (1637). Осн. идеи ме­то­да бы­ли из­вест­ны так­же его со­вре­мен­ни­ку П. Фер­ма. Даль­ней­шая раз­ра­бот­ка А. г. свя­за­на с тру­да­ми Г. Лейб­ни­ца, И. Нью­то­на и осо­бен­но Л. Эй­ле­ра. Сред­ст­ва­ми А. г. поль­зо­вал­ся Ж. Ла­гранж при по­строе­нии ана­ли­тич. ме­ха­ни­ки и Г. Монж в диф­фе­рен­ци­аль­ной гео­мет­рии. Дол­гое вре­мя для А. г. бы­ло при­ня­то назв. «де­кар­то­ва гео­мет­рия», ко­то­рое ввёл И. Бер­нул­ли (1692).

Рис. 1.

Сущ­ность ме­то­да ко­ор­ди­нат за­клю­ча­ет­ся в сле­дую­щем. Пусть на плос­ко­сти за­да­ны две вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ные пря­мые $Ox$ и $Oy$ (рис. 1). Эти пря­мые с ука­за­ни­ем на­прав­ле­ния, на­ча­ла ко­ор­ди­нат $O$ и мас­штаб­ной еди­ни­цы об­ра­зу­ют т. н. де­кар­то­ву сис­те­му ко­ор­ди­нат $Oxy$ на плос­ко­сти. Пря­мые $Ox$ и $Oy$ на­зы­ва­ют­ся со­от­вет­ст­вен­но осью абс­цисс и осью ор­ди­нат. По­ло­же­ние лю­бой точ­ки $M$ на плос­ко­сти по от­но­ше­нию к этой сис­те­ме $Oxy$ мож­но оп­ре­де­лить сле­дую­щим об­ра­зом. Пусть $M_x$ и $M_y$ – про­екции $M$ на $Ox$ и $Oy$, а чис­ла $x$ и $y$ – вели­чи­ны от­рез­ков $OM_x$ и $OM_y$; ве­ли­чи­на $x$ от­рез­ка $OM_x$ рав­на дли­не это­го от­рез­ка, взя­той со зна­ком плюс, ес­ли на­прав­ле­ние от $O$ к $M_x$ сов­па­да­ет с на­прав­ле­ни­ем на пря­мой $Ox$, и со зна­ком ми­нус в про­ти­во­по­лож­ном слу­чае, ве­ли­чи­на $y$ оп­ре­де­ля­ет­ся ана­ло­гич­но. Чис­ла $x$ и $y$ на­зы­ва­ют­ся де­кар­то­вы­ми пря­мо­уголь­ны­ми ко­ор­ди­на­та­ми (пря­моуголь­ны­ми ко­ор­ди­на­та­ми, де­кар­то­вы­ми ко­ор­ди­на­та­ми) точ­ки $M$ в сис­те­ме $Oxy$. Обыч­но $x$ на­зы­ва­ет­ся абс­цис­сой, а $y$ – ор­ди­на­той точ­ки $M$. Для обо­зна­че­ния точ­ки $M$ с абс­цис­сой $x$ и ор­ди­натой $y$ поль­зу­ют­ся сим­во­лом $M(x,y)$ или $(x,y)$. Ко­ор­ди­на­ты точ­ки $M$ оп­ре­де­ля­ют её по­ло­же­ние от­но­си­тель­но сис­те­мы $Oxy$.

Рис. 2.

Пусть на плос­ко­сти с пря­мо­уголь­ной сис­те­мой ко­ор­ди­нат $Oxy$ за­да­на не­ко­то­рая ли­ния $L$. Ис­поль­зуя по­ня­тие ко­ор­ди­нат то­чек, мож­но вве­сти по­ня­тие урав­не­ния ли­нии $L$ от­но­си­тель­но сис­те­мы $Oxy$ как со­от­но­ше­ния ви­да $F(x,y)=0$, ко­то­ро­му удов­ле­тво­ря­ют ко­ор­ди­на­ты $x$ и $y$ лю­бой точ­ки $M$, рас­по­ло­жен­ной на $L$, и не удов­ле­тво­ря­ют ко­ор­ди­на­ты то­чек, не ле­жа­щих на $L$. Ес­ли, напр., ли­ния $L$ яв­ля­ет­ся ок­руж­но­стью ра­диу­са $r$ с цен­тром в на­ча­ле ко­ор­ди­нат $O$, то урав­не­ние $x^2+y^2-r^2=0$ яв­ля­ет­ся урав­не­ни­ем рас­смат­ри­вае­мой ок­руж­но­сти (рис. 2). Ес­ли точ­ка $M$ ле­жит на ок­руж­но­сти, то по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра для тре­уголь­ни­ка $OMM_x$ спра­вед­ли­во ра­вен­ст­во $x^2+y^2-r^2=0$. Ес­ли же точ­ка не ле­жит на ок­руж­но­сти, то $x^2+y^2-r^2≠0$.

Рис. 3.

Осн. идея ме­то­да ко­ор­ди­нат со­сто­ит в том, что гео­мет­рич. свой­ст­ва ли­нии $L$ ис­сле­ду­ют­ся с по­мо­щью изу­че­ния свойств урав­не­ния этой ли­нии ана­ли­тич. и ал­геб­ра­ич. сред­ст­ва­ми. Напр., для нахожде­ния чис­ла то­чек пе­ре­се­че­ния ок­руж­но­сти $C$ ра­диу­са $r$ и дан­ной пря­мой ли­нии $b$ (рис. 3) ме­тод ко­ор­ди­нат при­ме­ня­ет­ся сле­дую­щим об­ра­зом. Сис­те­му ко­ор­ди­нат $Oxy$ вы­би­ра­ют так, что­бы её на­ча­ло на­хо­ди­лось в цен­тре ок­руж­но­сти, а ось $Ox$ бы­ла на­прав­ле­на пер­пен­ди­ку­ляр­но пря­мой $b$. Т. к. пря­мая $b$ пер­пен­ди­ку­ляр­на оси $Ox$, абс­цис­са лю­бой точ­ки этой пря­мой рав­на не­ко­то­рой по­сто­ян­ной $a$, т. е. урав­не­ние пря­мой име­ет вид $x-a=0$. Ко­ор­ди­на­ты $(x,y)$ лю­бой точ­ки пе­ре­се­че­ния ок­руж­но­сти $C$ (урав­не­ние ко­то­рой име­ет вид $x^2+y^2-r^2=0$) и пря­мой $b$ удов­ле­тво­ря­ют урав­не­ни­ям$$x^2+y^2-r^2=0,\,x-a=0.\,(1)$$

Сле­до­ва­тель­но, гео­мет­рич. во­прос о чис­ле то­чек пе­ре­се­че­ния пря­мой и ок­руж­но­сти сво­дит­ся к ана­ли­тич. во­про­су о чис­ле ре­ше­ний сис­те­мы ал­геб­ра­ич. урав­не­ний (1). Ре­шая эту сис­те­му, по­лу­ча­ют$$x=a,\, y=\pm \sqrt {r^2-a^2}$$т. о., ок­руж­ность и пря­мая пе­ре­се­ка­ют­ся в двух точ­ках при $r^2 \gt a^2$ (этот слу­чай изо­бра­жён на рис. 3), име­ют од­ну об­щую точ­ку при $r^2=a^2$ (в этом слу­чае пря­мая $b$ ка­са­ет­ся ок­руж­но­сти $C$) и не име­ют об­щих то­чек при $r^2 \lt a^2$.

В А. г. на плос­ко­сти ис­сле­ду­ют­ся т. н. ал­геб­ра­ич. ли­нии 1-го и 2-го по­ряд­ков; эти ли­нии в пря­мо­уголь­ных ко­ор­ди­на­тах оп­ре­де­ля­ют­ся со­от­вет­ст­вен­но ал­геб­ра­ич. урав­не­ния­ми 1-й и 2-й сте­пе­ней. На плос­ко­сти ли­нии 1-го по­ряд­ка суть пря­мые, и об­рат­но, ка­ж­дая пря­мая оп­ре­де­ля­ет­ся ал­геб­ра­ич. урав­не­ни­ем 1-й сте­пе­ни$$ax+by+c=0,$$ли­нии 2-го по­ряд­ка оп­ре­де­ля­ют­ся урав­не­ния­ми ви­да$$ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0,$$где $a, b, c, d, e, f$ – не­ко­то­рые чис­ла.

Для ис­сле­до­ва­ния и клас­си­фи­ка­ции ли­ний 2-го по­ряд­ка вна­ча­ле вы­би­ра­ет­ся та­кая пря­мо­уголь­ная сис­те­ма ко­ор­ди­нат, в ко­то­рой урав­не­ние ли­нии име­ет наи­бо­лее про­стой вид, а за­тем про­во­дит­ся ис­сле­до­ва­ние это­го урав­не­ния. О ли­ни­ях 2-го по­ряд­ка см. в ста­тьях Ги­пер­бо­ла, Ко­ни­че­ские се­че­ния, Па­ра­бо­ла, Эл­липс.

Рис. 4.

В про­стран­ст­ве пря­мо­уголь­ные ко­ор­ди­на­ты $x$, $y$ и $z$ (со­от­вет­ст­вен­но абс­цис­са, ор­ди­на­та и ап­пли­ка­та) точ­ки $M$ вво­дят­ся по ана­ло­гии с пло­ским слу­ча­ем (рис. 4). Ка­ж­дой по­верх­но­сти $S$ в про­стран­ст­ве мож­но со­пос­та­вить её урав­не­ние $F(x,y,z)=0$ от­но­си­тель­но сис­те­мы ко­ор­ди­нат $Oxyz$. Напр., урав­не­ние сфе­ры ра­диу­са $r$ с цен­тром в на­ча­ле ко­ор­ди­нат име­ет вид$$x^2+y^2+z^2-r^2=0.$$

Гео­мет­рич. свой­ст­ва по­верх­но­сти $S$ ис­сле­ду­ют­ся с по­мо­щью изу­че­ния свойств урав­не­ния этой по­верх­но­сти ана­ли­тич. и ал­геб­ра­ич. сред­ст­ва­ми. Ли­нию $L$ в про­стран­ст­ве за­да­ют как ли­нию пе­ре­се­че­ния двух по­верх­но­стей $S_1$ и $S_2$. Ес­ли $F_1(x,y,z)=0$ и $F_2(x,y,z)=0$ – урав­не­ния по­верх­но­стей $S_1$ и $S_2$, то па­ра этих урав­не­ний, рас­смат­ри­ваемая со­вме­ст­но, пред­став­ля­ет со­бой урав­не­ние ли­нии $L$. Напр., пря­мую в про­стран­ст­ве мож­но рас­смат­ри­вать как ли­нию пе­ре­се­че­ния двух плос­ко­стей. Т. к. плос­ко­сти в про­стран­ст­ве оп­ре­де­ля­ют­ся урав­не­ния­ми ви­да$$ax+by+cz+d=0,$$то пря­мую мож­но за­дать па­рой урав­не­ний та­ко­го ви­да, рас­смат­ри­вае­мых со­вме­ст­но. Т. о., ме­тод ко­ор­ди­нат мо­жет при­ме­нять­ся и для ис­сле­до­ва­ния ли­ний в про­стран­ст­ве. В про­стран­ст­ве сис­те­мати­че­ски ис­сле­ду­ют­ся т. н. ал­геб­ра­ич. по­верх­но­сти 1-го и 2-го по­ряд­ков. Ал­геб­ра­ич. по­верх­но­стя­ми 1-го по­ряд­ка яв­ля­ют­ся лишь плос­ко­сти. По­верх­но­сти 2-го по­ряд­ка оп­ре­де­ля­ют­ся урав­не­ния­ми ви­да$$ax^2+by^2+cz^2+dxy+eyz+fxz+gx +hy+mz+n=0,$$где $a, b, …, n$ – не­ко­то­рые чис­ла. Так же как в слу­чае плос­ко­сти, для ис­сле­дова­ния и клас­си­фи­ка­ции этих по­верх­но­стей вна­ча­ле вы­би­ра­ет­ся та­кая пря­мо­уголь­ная сис­те­ма ко­ор­ди­нат, в ко­то­рой урав­не­ние по­верх­но­сти име­ет наи­бо­лее про­стой вид, а за­тем про­во­дит­ся ис­сле­до­ва­ние это­го урав­не­ния. О по­верх­но­стях 2-го по­ряд­ка см. в ста­тьях Ги­пер­бо­ло­ид, Па­ра­бо­ло­ид, Эл­лип­со­ид.

В А. г. эф­фек­тив­но ис­поль­зу­ет­ся век­тор­ная ал­геб­ра. Ес­те­ст­вен­ное обоб­ще­ние А. г. на слу­чай мно­го­мер­ных век­тор­ных про­странств со­став­ля­ет осо­бый раз­дел ма­те­ма­ти­ки – ли­ней­ную ал­геб­ру.

Лит.: Ефи­мов Н. В. Крат­кий курс ана­ли­ти­че­ской гео­мет­рии. 9-е изд. М., 1967; По­го­ре­лов А. В. Ана­ли­ти­че­ская гео­мет­рия. 4-е изд. М., 1978; Алек­сан­д­ров П. С. Курс ана­ли­ти­че­ской гео­мет­рии и ли­ней­ной ал­геб­ры. М., 1979; По­ст­ни­ков М. М. Ана­ли­ти­че­ская гео­мет­рия. М., 1979; Иль­ин В. А., По­зняк Э. Г. Ана­ли­ти­че­ская гео­мет­рия. 3-е изд. М., 1981.

Вернуться к началу