Подпишитесь на наши новости
Вернуться к началу с статьи up
 

АЛГЕБРАИ́ЧЕСКОЕ МНОГООБРА́ЗИЕ

  • рубрика

    Рубрика: Математика

  • родственные статьи
  • image description

    В книжной версии

    Том 1. Москва, 2005, стр. 422

  • image description

    Скопировать библиографическую ссылку:




Авторы: В. А. Исковских

АЛГЕБРАИ́ЧЕСКОЕ МНОГООБРА́ЗИЕ, ос­нов­ной объ­ект изу­че­ния в ал­геб­ра­ич. гео­мет­рии, ко­то­рый вна­ча­ле оп­ре­делял­ся как мно­же­ст­во то­чек в $n$-мер­ном про­стран­ст­ве, ко­ор­ди­на­ты ко­то­рых $x_1,\ldots, x_n$ яв­ля­ют­ся ре­ше­ния­ми сис­те­мы урав­не­ний$$F_1(x_1,\ldots, x_n)=0, \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\ ...............\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, (1) \\ F_m(x_1, ..., x_n)=0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$$$F_1,\ldots, F_m$ – мно­го­чле­ны от $x_1,\ldots, x_n$. Ка­ж­дое А. м. име­ет оп­ре­де­лён­ную раз­мер­ность, ко­то­рая яв­ля­ет­ся чис­лом не­за­ви­си­мых па­ра­мет­ров, оп­ре­де­ляю­щих точ­ку на мно­го­об­ра­зии. При­ме­ра­ми ал­геб­ра­ич. кри­вых яв­ля­ют­ся ко­ни­че­ские се­че­ния.

В даль­ней­шем ста­ли раз­ли­чать­ся аф­фин­ные, про­ек­тив­ные и за­дан­ные аб­ст­ракт­но А. м. Для ка­ж­до­го А. м. фик­си­ру­ет­ся его по­ле оп­ре­де­ле­ния $k$, на­зы­вае­мое так­же по­лем кон­стант или ос­нов­ным по­лем. Аф­фин­ное А. м. за­да­ёт­ся сис­те­мой ал­геб­ра­ич. урав­не­ний ви­да (1) в аф­фин­ном про­стран­ст­ве $\textbf {A}^n_k$ над по­лем $k$ с ко­ор­ди­на­та­ми $x_1,\ldots, x_n$. Ана­ло­гич­но, про­ек­тив­ное А. м. за­да­ёт­ся сис­те­мой одно­род­ных ал­геб­ра­ич. урав­не­ний в про­ек­тив­ном про­стран­ст­ве $\textbf{P}^n_k$ с од­но­род­ными ко­ор­ди­на­та­ми $y_0, y_1,\ldots, y_n$. Аб­ст­ракт­но за­дан­ные А. м. склеи­ва­ют­ся из аф­фин­ных по­доб­но то­му, как обыч­ные диф­фе­рен­ци­аль­ные мно­го­об­ра­зия склеи­ва­ют­ся из евк­ли­до­вых ша­ров. Не вся­кое аб­ст­ракт­но за­дан­ное А. м. мо­жет быть вло­же­но в про­ек­тив­ное про­стран­ст­во.

На ка­ж­дом А. м. $X$ вво­дит­ся то­по­ло­гия За­рис­ко­го, замк­ну­ты­ми под­мно­же­ст­ва­ми в ко­то­рой яв­ля­ют­ся все под­мно­го­об­ра­зия (вклю­чая са­мо $X$ и пус­тое мно­же­ст­во). Эта то­по­ло­гия силь­но не от­де­ли­ма; напр., на аф­фин­ной пря­мой $\textbf {A}^1_k$ над бес­ко­неч­ным по­лем $k$ лю­бые два от­кры­тые не­пус­тые под­мно­же­ст­ва пе­ре­се­ка­ют­ся.

То­по­ло­гия За­рис­ко­го по­зво­ля­ет оп­ре­де­лить на $X$ пу­чок ло­каль­ных ко­лец $\mathscr {O}_X$, на­зы­вае­мый струк­тур­ным (см. Пуч­ков тео­рия). Слой $\mathscr {O}_x$ пуч­ка $\mathscr {O}_X$ в точ­ке $x=(x_1,\ldots, x_n) \in X$ со­сто­ит из ро­ст­ков ре­гу­ляр­ных функ­ций в $x$. Ка­ж­дый рос­ток (не­од­но­знач­но) пред­став­лен в не­кото­рой ок­ре­ст­но­сти $x$ ра­цио­наль­ной функ­ци­ей ви­да $$\frac{P(x_1,\ldots,x_n)}{Q(x_1\ldots,x_n)},$$ где $P$ и $Q$ – мно­го­чле­ны и $Q(x)≠0$. Коль­цо гло­баль­ных се­че­ний $A(X)$ пуч­ка $\mathscr {O}_X$ на­зы­ва­ет­ся ко­ор­ди­нат­ным коль­цом на $X$ – это коль­цо функ­ций, ре­гу­ляр­ных на всём мно­го­об­ра­зии $X$.

Для А. м. рас­смат­ри­ва­ют­ся ото­бра­же­ния двух ти­пов: ре­гу­ляр­ные (на­зы­вае­мые обыч­но мор­физ­ма­ми) и ра­цио­наль­ные. Ре­гу­ляр­ные ото­бра­же­ния ло­каль­но за­да­ют­ся в ко­ор­ди­на­тах мно­го­чле­на­ми, а ра­цио­наль­ные – ра­цио­наль­ны­ми функ­ция­ми, т. е. от­но­ше­ния­ми мно­го­чле­нов. По­след­ние мо­гут быть не всю­ду оп­ре­делён­ны­ми. Ес­ли ра­цио­наль­ное ото­бра­же­ние име­ет об­рат­ное, оно на­зы­ва­ет­ся би­ра­цио­наль­ным.

Раз­мер­ность (не­при­во­ди­мо­го) А. м. $X$ оп­ре­де­ля­ет­ся то­по­ло­ги­че­ски как мак­си­маль­ная дли­на це­поч­ки раз­лич­ных вло­жен­ных не­пус­тых замк­ну­тых под­мно­жеств в $X$ или ал­геб­раи­че­ски как мак­си­маль­ное чис­ло ал­геб­раи­че­ски не­за­виси­мых ра­цио­наль­ных функ­ций на $X$. Оба оп­ре­де­ле­ния да­ют од­но и то же чис­ло. А. м. раз­мер­но­сти 1 – ал­геб­раи­че­ские кри­вые, раз­мер­но­сти 2 – ал­геб­раи­че­ские по­верх­но­сти. Ги­пер­по­верх­ность в $n$-мер­ном аф­фин­ном или про­ек­тив­ном про­стран­ст­ве за­да­ёт­ся од­ним урав­не­ни­ем и име­ет раз­мер­ность $n-1$.

Глав­ное от­ли­чие про­ек­тив­но­го А. м. от аф­фин­но­го А. м. за­клю­ча­ет­ся в его пол­но­те, яв­ляю­щей­ся ал­геб­ра­ич. ана­ло­гом то­по­ло­гич. по­ня­тия ком­пакт­но­сти. Вся­кое про­ек­тив­ное мно­го­об­ра­зие над по­лем ком­плекс­ных чи­сел $\textbf C$ ком­пакт­но, а аф­фин­ное мно­го­об­ра­зие раз­мер­но­сти, боль­шей 0, не ком­пакт­но. Су­ще­ст­ву­ют пол­ные А. м., не изо­морф­ные про­ек­тив­ным. На пол­ных А. м. всю­ду ре­гу­ляр­ны­ми функ­ция­ми яв­ля­ют­ся толь­ко кон­стан­ты.

Наи­бо­лее важ­ным для А. м. яв­ля­ет­ся по­ня­тие не­осо­бо­сти (глад­ко­сти). Оно ло­каль­но и оп­ре­де­ля­ет­ся для ка­ж­дой точ­ки. Точ­ка $x\in X$ в оп­ре­де­ле­нии сис­те­мой (1) на­зы­ва­ет­ся не­осо­бой (глад­кой), ес­ли ранг мат­ри­цы $(\partial F_i/\partial x_j)$ мак­си­ма­лен в этой точ­ке. Это ус­ло­вие со­от­вет­ству­ет ус­ло­вию су­ще­ст­во­ва­ния не­яв­ной функ­ции в ана­ли­зе. А. м. на­зы­ва­ет­ся не­осо­бым (глад­ким), ес­ли все его точ­ки не­осо­бые, в про­тив­ном слу­чае – осо­бым.

Обоб­ще­ния­ми А. м. яв­ля­ют­ся схе­мы и ал­геб­ра­ич. про­стран­ст­ва.

Вернуться к началу