Подпишитесь на наши новости
Вернуться к началу с статьи up
 

АЛГЕБРАИ́ЧЕСКАЯ КРИВА́Я

  • рубрика

    Рубрика: Математика

  • родственные статьи
  • image description

    В книжной версии

    Том 1. Москва, 2005, стр. 420

  • image description

    Скопировать библиографическую ссылку:




Авторы: В. А. Исковских

АЛГЕБРАИ́ЧЕСКАЯ КРИВА́Я, кри­вая, за­да­ва­е­мая в де­кар­то­вых ко­ор­ди­на­тах ал­геб­ра­ич. урав­не­ни­ем, в об­щем слу­чае – ал­геб­ра­и­че­ское мно­го­об­ра­зие раз­мер­но­сти 1. Про­стей­ши­ми при­ме­ра­ми А. к. яв­ля­ют­ся аф­фин­ные и про­ек­тив­ные пря­мые и кри­вые 2-го по­ряд­ка. Пло­ская А. к. за­да­ёт­ся од­ним ал­геб­ра­ич. урав­не­ни­ем $$F(x, y)=0$$ на аф­фин­ной плос­ко­сти ${\bf A}^2_k$ или од­ним од­но­род­ным ал­геб­ра­ич. урав­не­ни­ем $$Φ(x_0, x_1, x_2)=0$$ на про­ек­тив­ной плос­ко­сти ${\bf P}^2_k$ над не­кото­рым по­лем $k$. Сте­пень мно­го­чле­нов $F(x, y)$ и $Φ(x_0, x_1, x_2)$ на­зы­ва­ет­ся сте­пе­нью (или по­ряд­ком) со­от­вет­ст­вую­щей А. к. Су­ще­ст­ву­ют аф­фин­ные и про­ек­тив­ные кри­вые в про­стран­ст­вах лю­бой раз­мер­но­сти, не изо­морф­ные пло­ским кри­вым.

В ал­геб­раи­че­ской гео­мет­рии изу­ча­ют­ся в осн. не­осо­бые про­ек­тив­ные А. к. над ал­геб­ра­ически замк­ну­тым ос­нов­ным по­лем. Ос­нов­ной за­да­чей для А. к. яв­ля­ет­ся их би­ра­цио­наль­ная клас­си­фи­ка­ция. В ка­ж­дом би­ра­цио­наль­ном клас­се су­ще­ст­ву­ет един­ст­вен­ная с точ­но­стью до изо­мор­физ­ма пол­ная не­осо­бая кри­вая. Она мо­жет быть изо­морф­но вло­же­на (разл. спо­со­ба­ми) в про­ек­тив­ные про­стран­ст­ва. Един­ст­вен­ным дис­крет­ным би­ра­цио­наль­ным ин­ва­ри­ан­том А. к. $X$ яв­ля­ет­ся её род $g=g(X)$. Он ра­вен раз­мер­но­сти про­стран­ст­ва ре­гу­ляр­ных диф­фе­рен­ци­аль­ных форм на $X$ и при­ни­ма­ет лю­бые не­от­ри­ца­тель­ные це­лые зна­че­ния. Зна­че­ние $g=0$ ха­рак­те­ри­зу­ет ра­цио­наль­ные кри­вые, это кри­вые, на­кры­вае­мые про­ек­тив­ной пря­мой ${\bf P}^1_k$. Кри­вые ро­да $g=1$ на­зы­ва­ют­ся эл­лип­ти­че­ски­ми кри­вы­ми. С точ­но­стью до изо­мор­физ­ма они па­ра­мет­ри­зу­ют­ся аф­фин­ной пря­мой ${\bf A}^1_k$. Клас­сы изо­мор­физ­мов всех кри­вых фик­си­ро­ван­но­го ро­да $g⩾2$ об­ра­зу­ют не­при­во­ди­мое ал­геб­ра­ич. мно­го­об­ра­зие $M_{3g-3}$ раз­мер­но­сти $3g-3$, на­зы­вае­мое мно­го­об­ра­зи­ем мо­ду­лей.

Для вся­кой кри­вой ро­да $g⩾2$ оп­ре­де­ле­но ка­но­нич. ото­бра­же­ние её в про­ек­тив­ное про­стран­ст­во ${\bf P}^{g-1}_k$ раз­мер­но­сти $g-1$. В слу­чае, ко­гда оно яв­ля­ет­ся изо­морф­ным вло­же­ни­ем (и то­гда его об­раз – кри­вая сте­пе­ни $2g-2$), А. к. на­зы­ва­ет­ся ка­но­ни­че­ской, в про­тив­ном слу­чае она на­зы­ва­ет­ся ги­пе­рэл­лип­ти­че­ской. Ги­пе­рэл­лип­тич. кри­вая ро­да $g⩾2$ мо­жет быть за­да­на аф­фин­ным урав­не­ни­ем ви­да $y^2=P(x)$, где $P(x)$ – мно­го­член сте­пе­ни $2g+2$ без крат­ных кор­ней.

Тео­рия А. к. воз­ник­ла в кон. 18 в. как тео­рия эл­лип­тич. кри­вых, точ­нее, эл­лип­тич. ин­те­гра­лов над по­лем ком­плекс­ных чи­сел $\bf C$. Н. Абель в 1826 рас­смот­рел бо­лее об­щие ин­те­гра­лы, на­зван­ные впо­след­ст­вии абе­ле­вы­ми ин­те­гра­ла­ми, и за­ло­жил ос­но­вы об­щей тео­рии А. к. над по­лем $\bf C$.

Н. Абель и К. Яко­би по­строи­ли так­же ото­бра­же­ние А. к. в ком­плекс­ный тор, вло­же­ние ко­то­ро­го в про­ек­тив­ное про­стран­ст­во при по­мо­щи тэ­та-функ­ций за­да­ёт на нём струк­ту­ру про­ек­тив­но­го ал­геб­ра­ич. мно­го­об­ра­зия, на­зы­вае­мо­го яко­бие­вым мно­го­об­ра­зи­ем или яко­биа­ном кри­вой $X$. Тео­рия яко­биа­нов ал­геб­ра­ич. кри­вых над про­из­воль­ны­ми по­ля­ми бы­ла раз­ви­та в 1940-х гг. в ра­бо­тах А. Вей­ля.

Изу­чая ал­геб­ра­ич. функ­ции ком­плекс­но­го пе­ре­мен­но­го, Б. Ри­ман в 1851 ввёл по­ня­тие, на­зы­вае­мое те­перь ри­ма­но­вой по­верх­но­стью (од­но­мер­ным ком­плекс­ным мно­го­об­ра­зи­ем), и по­ло­жил на­ча­ло изу­че­нию то­по­ло­гии ком­плекс­ных А. к. Был вы­яс­нен то­по­ло­гич. смысл ро­да как чис­ла ру­чек со­от­вет­ст­вую­щей ком­пакт­ной ри­ма­но­вой по­верх­но­сти. Ри­ма­но­ва по­верх­ность для ${\bf P}^3_{\bf C}$ – это сфе­ра Ри­ма­на, для эл­лип­тич. кри­вой – од­но­мер­ный ком­плекс­ный.

О свя­зи А. к. и ав­то­морф­ных функ­ций см. в ст. Ав­то­морф­ная функ­ция. В совр. тео­рии изу­ча­ют­ся так­же ариф­ме­тич. свой­ст­ва А. к. над ко­неч­ны­ми и чи­сло­вы­ми по­ля­ми.

Лит.: Шо­ку­ров В. В. Ал­геб­раи­че­ские кри­вые и их яко­биа­ны // Со­вре­мен­ные про­бле­мы ма­те­ма­ти­ки. Фун­да­мен­таль­ные на­прав­ле­ния. М., 1989. Т. 36. См. так­же лит. при ст. Ал­геб­раи­че­ская гео­мет­рия.

Вернуться к началу