Подпишитесь на наши новости
Вернуться к началу с статьи up
 

А́ЛГЕБРА

  • рубрика

    Рубрика: Математика

  • родственные статьи
    Родственные статьи:
  • image description

    В книжной версии

    Том 1. Москва, 2005, стр. 415

  • image description

    Скопировать библиографическую ссылку:




Авторы: А. Г. Курош, О. Ю. Шмидт, Д. К. Фаддеев

А́ЛГЕБРА [ср.-век. лат. al­geb­ra, от араб. аль-джебр, аль-джабр – вос­со­е­ди­не­ние (от­дель­ных ча­стей урав­не­ния)], раз­дел ма­те­ма­ти­ки, при­над­ле­жа­щий, на­ря­ду с ариф­ме­ти­кой и гео­мет­ри­ей, к чис­лу ста­рей­ших вет­вей этой нау­ки; она изу­ча­ет опе­ра­ции над ма­те­ма­тич. объ­ек­та­ми и влия­ет на фор­ми­ро­ва­ние об­щих по­нятий и ме­то­дов ма­те­ма­ти­ки. За­да­чи и ме­то­ды А. за­клю­ча­лись пер­во­на­чаль­но в со­став­ле­нии и ре­ше­нии урав­не­ний. В свя­зи с ис­сле­до­ва­ния­ми урав­не­ний раз­ви­ва­лось по­ня­тие чис­ла, бы­ли вве­де­ны от­ри­ца­тель­ные, ра­ци­о­наль­ные, ир­ра­цио­наль­ные и ком­плекс­ные чис­ла; об­щее ис­сле­до­ва­ние свойств этих чи­сло­вых сис­тем от­но­сит­ся к А. В ал­геб­ре сфор­ми­ро­ва­лись бу­к­вен­ные обо­зна­че­ния, по­зво­лив­шие за­пи­сать свой­ст­ва дей­ст­вий над чис­ла­ми в фор­ме, не со­дер­жа­щей кон­крет­ных чи­сел. Пре­об­ра­зо­ва­ния по оп­ре­де­лён­ным пра­ви­лам (свя­зан­ным со свой­ст­ва­ми дей­ст­вий) бу­к­вен­ных вы­ра­же­ний со­став­ля­ет ап­па­рат клас­сич. А. Раз­ви­тие А. ока­за­ло боль­шое влия­ние на раз­ви­тие но­вых об­лас­тей ма­те­ма­ти­ки, в ча­ст­но­сти ма­те­ма­тич. ана­ли­за, диф­фе­рен­ци­аль­но­го и ин­те­граль­но­го ис­чис­ле­ния. При­ме­не­ние А. воз­мож­но всю­ду, где при­хо­дит­ся иметь де­ло с опе­ра­ция­ми, ана­ло­гич­ны­ми сло­же­нию и ум­но­же­нию чи­сел. Эти опе­ра­ции мо­гут про­из­во­дить­ся над объ­ек­та­ми са­мой раз­лич­ной при­ро­ды. Наи­бо­лее из­вест­ным при­ме­ром та­ко­го рас­ши­рен­но­го при­ме­не­ния ал­геб­ра­ич. ме­то­дов яв­ля­ет­ся век­тор­ная ал­геб­ра (см. Ли­ней­ная ал­геб­ра) и её даль­ней­шее обоб­ще­ние – тен­зор­ная ал­геб­ра (см. Тен­зор­ное ис­чис­ле­ние), став­шая од­ним из важ­ных средств совр. фи­зи­ки.

А. в бо­лее ши­ро­ком, совр. по­ни­ма­нии мо­жет быть оп­ре­де­ле­на как нау­ка о сис­те­мах объ­ек­тов той или иной при­ро­ды, в ко­то­рых ус­та­нов­ле­ны опе­ра­ции, на­зы­вае­мые ал­геб­раи­че­ски­ми, по сво­им свой­ст­вам сход­ные со сло­же­ни­ем и ум­но­же­ни­ем чи­сел. А. клас­си­фи­ци­ру­ет сис­те­мы с за­дан­ны­ми на них ал­геб­ра­ич. опе­ра­ция­ми по их свой­ст­вам и изу­ча­ет разл. за­да­чи, ес­те­ст­вен­но воз­ни­каю­щие в этих сис­те­мах, вклю­чая и за­да­чу ре­ше­ния и ис­сле­до­ва­ния урав­не­ний, ко­то­рая в но­вых сис­те­мах объ­ек­тов по­лу­ча­ет но­вый смысл (ре­ше­ни­ем урав­не­ний мо­жет быть век­тор, мат­ри­ца, опе­ра­тор). Этот но­вый взгляд на А., офор­мив­ший­ся лишь в 20 в., спо­соб­ст­во­вал даль­ней­ше­му рас­ши­ре­нию об­лас­ти при­ме­не­ния ал­геб­ра­ических ме­то­дов не толь­ко в ма­те­ма­ти­ке, но и в других нау­ках, в ча­ст­но­сти в фи­зи­ке. Он ук­ре­пил свя­зи А. с другими раз­де­ла­ми ма­те­ма­ти­ки и уси­лил влия­ние А. на их даль­ней­шее раз­ви­тие.

Исторический очерк

А. пред­ше­ст­во­ва­ла ариф­ме­ти­ка, опе­ра­ция­ми ко­то­рой бы­ли сло­же­ние, вы­чи­та­ние, ум­но­же­ние и де­ле­ние чи­сел, cначала толь­ко це­лых, а за­тем и дроб­ных. Вна­ча­ле от­ли­чие А. от ариф­ме­ти­ки за­клю­ча­лось в том, что в А. вво­ди­лась не­из­вест­ная ве­ли­чи­на, дей­ст­вия над ко­то­рой, дик­туе­мые ус­ло­вия­ми за­да­чи, при­во­ди­ли к урав­не­нию, из ко­то­ро­го на­хо­ди­лась эта не­из­вест­ная ве­ли­чи­на. Эле­мент та­кой трак­тов­ки ариф­ме­тич. за­дач со­дер­жит­ся в др.-егип. па­пи­ру­се Ах­ме­са (см. в ст. Па­пи­ру­сы ма­те­ма­ти­че­ские), где ис­ко­мая ве­ли­чи­на обо­зна­ча­ет­ся со­от­вет­ст­вую­щим иеро­гли­фом. Древ­ние егип­тя­не ре­ша­ли и дос­таточ­но слож­ные за­да­чи (свя­зан­ные, напр., с ариф­ме­тич. и гео­мет­рич. про­грес­сия­ми). Как фор­му­ли­ров­ка за­дач, так и ре­ше­ния да­ва­лись в сло­вес­ной фор­ме и толь­ко в ви­де кон­крет­ных чис­лен­ных при­ме­ров.

В нач. 20 в. бы­ли рас­шиф­ро­ва­ны кли­но­пис­ные ма­те­ма­ти­че­ские тек­сты и дру­гой древ­ней­шей куль­ту­ры – ва­ви­лон­ской. Ва­ви­ло­ня­не уже за 4000 лет до на­ших дней с по­мо­щью спец. таб­лиц уме­ли ре­шать раз­но­об­раз­ные за­да­чи; не­ко­то­рые из них рав­но­силь­ны ре­ше­нию квад­рат­ных урав­не­ний и да­же од­но­го ви­да урав­не­ний 3-й сте­пе­ни.

Ло­гич. до­ка­за­тель­ст­ва в ма­те­ма­ти­ку впер­вые вве­ли др.-греч. гео­мет­ры. В рам­ках гео­мет­рич. ме­то­да мн. ма­те­ма­тич. во­про­сы пе­ре­во­ди­лись на язык гео­мет­рии: ве­ли­чи­ны трак­то­ва­лись как дли­ны, про­из­ве­де­ние двух ве­ли­чин – как пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка и т. д. В совр. ма­те­ма­тич. язы­ке со­хра­ни­лось, напр., назв. «квад­рат» для про­из­ве­де­ния ве­ли­чи­ны на са­моё се­бя. К дру­гой, не­гео­мет­рич. ли­нии раз­ви­тия др.-греч. ма­тема­ти­ки от­но­сит­ся трак­тат Дио­фан­та «Ариф­ме­ти­ка», в ко­то­ром он до­воль­но сво­бод­но опе­ри­ру­ет с урав­не­ния­ми 1-й, 2-й и бо­лее вы­со­ких сте­пе­ней. В этом трак­та­те мож­но най­ти по­пыт­ки упот­реб­ле­ния бу­к­вен­ной сим­во­ли­ки и от­ри­ца­тель­ных чи­сел. На кон­крет­ных при­ме­рах пред­вос­хи­ща­ют­ся ме­то­ды ре­ше­ния в ра­цио­наль­ных чис­лах урав­не­ний 3-й сте­пе­ни с дву­мя не­из­вест­ны­ми.

Дос­ти­же­ния др.-греч. нау­ки раз­ви­ва­лись учё­ны­ми ср.-век. Вос­то­ка, в т. ч. аль-Хо­рез­ми и Би­ру­ни. Учё­ные Вос­то­ка пе­ре­да­ли Ев­ро­пе из­вест­ную им ма­те­ма­ти­ку в сво­ей ори­ги­наль­ной пе­ре­ра­бот­ке, при­чём осо­бен­но мно­го они за­ни­ма­лись имен­но А. Тер­мин «А.» про­ис­хо­дит от на­зва­ния со­чи­не­ния аль-Хо­рез­ми «Аль-джебр аль-му­ка­ба-ла», оз­на­чаю­ще­го один из приё­мов пре­об­ра­зо­ва­ния урав­не­ний. Со вре­ме­ни аль-Хо­рез­ми А. мож­но рас­смат­ри­вать как отд. раз­дел ма­те­ма­ти­ки.

Ма­те­ма­ти­ки ср.-век. Вос­то­ка все дей­ст­вия из­ла­га­ли сло­ва­ми. Даль­ней­ший про­гресс А. стал воз­мож­ным толь­ко по­сле по­яв­ле­ния удоб­ных сим­во­лов для обо­зна­че­ния дей­ст­вий (см. Ма­те­ма­ти­че­ские зна­ки). Этот про­цесс шёл очень мед­лен­но, и толь­ко в кон­це 15 в. поя­ви­лись при­ня­тые те­перь зна­ки + и –. За­тем бы­ли вве­де­ны и по­лу­чи­ли все­об­щее при­зна­ние зна­ки, обо­зна­чаю­щие сте­пень, ко­рень, а так­же скоб­ки. К сер. 17 в. пол­но­стью сло­жил­ся ап­па­рат сим­во­лов совр. А. – упот­реб­ле­ние букв для обо­зна­че­ния не толь­ко ис­ко­мо­го не­из­вест­но­го, но и всех во­об­ще вхо­дя­щих в за­да­чу ве­ли­чин. До это­го в А. и ариф­ме­ти­ке как бы не бы­ло об­щих пра­вил и до­ка­за­тельств; рас­смат­ри­ва­лись ис­клю­чи­тель­но чис­лен­ные при­ме­ры, поч­ти не­воз­мож­но бы­ло вы­ска­зать к.-л. об­щие су­ж­де­ния. Да­же эле­мен­тар­ные учеб­ни­ки то­го вре­ме­ни да­ва­ли де­сят­ки ча­ст­ных пра­вил вме­сто од­но­го об­ще­го. Ф. Ви­ет (1591) пер­вым на­чал пи­сать за­да­чи в об­щем ви­де, обо­зна­чая не­из­вест­ные ве­ли­чи­ны глас­ны­ми $A, E, I, \ldots,$ а из­вест­ные – со­глас­ны­ми $B, C, D, \ldots .$ Эти бу­к­вы он со­еди­нял имев­ши­ми­ся в то вре­мя зна­ка­ми ма­те­ма­тич. опе­ра­ций, т. о. впер­вые воз­ник­ли бу­к­вен­ные фор­му­лы, ха­рак­тер­ные для совр. А. На­чи­ная с Р. Де­кар­та для не­из­вест­ных упот­реб­ля­ют, как пра­ви­ло, по­след­ние бу­к­вы лат. ал­фа­ви­та $x, y, z$.

Вве­де­ние сим­во­лич. обо­зна­че­ний и опе­ра­ций над бу­к­ва­ми, за­ме­няю­щи­ми кон­крет­ные чис­ла, име­ло ис­клю­чи­тель­но важ­ное зна­че­ние. Без это­го язы­ка фор­мул бы­ло бы не­мыс­ли­мо бур­ное раз­ви­тие ма­те­ма­ти­ки на­чи­ная с 17 в., соз­да­ние ма­те­ма­тич. ана­ли­за, ма­те­ма­тич. вы­ра­же­ния за­ко­нов ме­ха­ни­ки и фи­зи­ки и пр.

Ис­то­ри­че­ски пер­вой за­да­чей А. бы­ло ре­ше­ние ал­геб­ра­ич. урав­не­ний, т. е. на­хо­ж­де­ние их кор­ней. Важ­ную роль в ре­ше­нии урав­не­ний сыг­ра­ло по­яв­ле­ние от­ри­ца­тель­ных чи­сел. Они бы­ли вве­де­ны инд. ма­те­ма­ти­ка­ми в 10 в., но учё­- ные ср.-век. Вос­то­ка их не ис­поль­зо­ва­ли. С от­ри­ца­тель­ны­ми чис­ла­ми свыка­лись по­сте­пен­но; это­му спо­соб­ст­во­ва­ли ком­мерч. вы­чис­ле­ния, в ко­то­рых от­ри­ца­тель­ные чис­ла име­ют на­гляд­ный смысл, напр. убыт­ка, не­дос­тат­ка, дол­га. Окон­ча­тель­но от­ри­ца­тель­ные чис­ла во­шли в упот­реб­ле­ние толь­ко в 17 в., по­сле то­го как Р. Де­карт пред­ло­жил их на­гляд­ное гео­мет­рич. пред­став­ле­ние.

При ре­ше­нии ал­геб­раи­че­ских урав­не­ний воз­ник­ла по­треб­ность рас­ши­ре­ния чи­сло­вой об­лас­ти. Так, при ре­ше­нии урав­не­ний 2-й сте­пе­ни по­яв­ля­ют­ся ир­ра­цио­наль­ные чис­ла (см. так­же Ал­геб­ра­и­че­ское чис­ло). С из­вле­че­ни­ем кор­ней стал­ки­ва­лись ещё др.-греч. и ср.-ази­ат. ма­те­ма­ти­ки, ко­то­рые пред­ло­жи­ли ост­ро­ум­ные спо­со­бы их при­бли­жён­но­го вы­чис­ле­ния. Взгляд на ир­ра­цио­наль­ность как на чис­ло ус­та­но­вил­ся зна­чи­тель­но поз­же. Вве­де­ние ком­плекс­ных чи­сел от­но­сит­ся к 18 в.

Лю­бое урав­не­ние $n$-й сте­пе­ни име­ет $n$ кор­ней, во­об­ще го­во­ря ком­плекс­ных, при­чём это вер­но и для урав­не­ний с ком­плекс­ны­ми ко­эф­фи­ци­ен­та­ми. Эта важ­ная тео­ре­ма, но­ся­щая на­зва­ние ос­нов­ной тео­ре­мы А., бы­ла впер­вые сфор­му­ли­ро­ва­на в 17 в., её до­ка­за­тель­ст­во бы­ло да­но в кон. 18 в. К. Га­ус­сом. Все из­вест­ные до­ка­за­тель­ст­ва долж­ны бы­ли в той или иной фор­ме ис­поль­зо­вать не­пре­рыв­ность; т. о., до­ка­за­тель­ст­во ос­нов­ной тео­ре­мы А. вы­хо­ди­ло за пре­де­лы А., де­мон­ст­ри­руя не­раз­рыв­ность ма­те­ма­ти­ки в це­лом.

Мно­гие тео­ре­тич. и прак­тич. во­про­сы при­во­дят не к од­но­му урав­не­нию, а к сис­те­мам урав­не­ний с неск. не­из­вест­ны­ми. Осо­бен­но ва­жен слу­чай сис­тем ли­ней­ных урав­не­ний. К этим про­стей­шим сис­те­мам сво­дят­ся сис­те­мы урав­не­ний, встре­чаю­щих­ся на прак­ти­ке. Ре­ше­ние сис­тем ли­ней­ных урав­не­ний со­став­ля­ет су­ще­ст­вен­ную часть при чис­лен­ном ре­ше­нии раз­но­об­раз­ных при­клад­ных за­дач. Г. Лейб­ниц (1693) об­ра­тил вни­ма­ние на то, что при изу­че­нии сис­тем ли­ней­ных урав­не­ний важ­ную роль иг­ра­ет мат­ри­ца, со­став­лен­ная из их ко­эф­фи­ци­ен­тов. Впо­след­ст­вии мат­ри­цы ста­ли пред­ме­том са­мо­сто­ят. изу­че­ния в А., т. к. их роль не ис­чер­пы­ва­ет­ся при­ло­же­ния­ми к тео­рии сис­тем ли­ней­ных урав­не­ний.

По­яв­ле­ние ана­ли­ти­че­ской гео­мет­рии тес­но свя­за­но с А. Ес­ли у древ­них гре­ков чис­то ал­геб­ра­ич. за­да­чи об­ле­ка­лись в гео­мет­рич. фор­му, то те­перь ал­геб­ра­ич. сред­ст­ва вы­ра­же­ния ока­за­лись на­столь­ко удоб­ны­ми и на­гляд­ны­ми, что гео­мет­рич. за­да­чи пе­ре­во­ди­лись на язык ал­геб­ра­ич. фор­мул.

В кон. 17 – нач. 18 вв. был соз­дан и бы­ст­ро рас­про­стра­нил­ся ана­лиз бес­ко­неч­но ма­лых, сыг­рав­ший важ­ней­шую роль в раз­ви­тии ма­те­ма­ти­ки и её при­ло­же­ний, что во мно­гом бы­ло под­го­тов­ле­но раз­ви­ти­ем А. В ча­ст­но­сти, бу­к­вен­ные вы­ра­же­ния и дей­ст­вия над ни­ми спо­соб­ст­во­ва­ли за­ро­ж­де­нию ещё в 16–17 вв. взгля­да на ма­те­ма­тич. ве­ли­чи­ны как на пе­ре­мен­ные, что ха­рак­тер­но для ана­ли­за бес­ко­неч­но ма­лых, где не­пре­рыв­но­му из­ме­не­нию од­ной ве­ли­чи­ны обыч­но со­от­вет­ст­ву­ет не­пре­рыв­ное из­ме­не­ние дру­гой (функ­ции от этой пе­ре­мен­ной).

А. и ма­те­ма­тич. ана­лиз раз­ви­ва­лись в 17–18 вв. в тес­ной свя­зи. В А. про­ни­ка­ли по­ня­тия и ме­то­ды ана­ли­за, в этом на­прав­ле­нии её обо­га­тил И. Нью­тон. С др. сто­ро­ны, А. да­ла ана­ли­зу раз­ви­тый на­бор фор­мул и пре­об­ра­зо­ва­ний, сыг­рав­ших боль­шую роль в на­чаль­ный пе­ри­од раз­ви­тия ин­те­граль­но­го ис­чис­ле­ния и тео­рии диф­фе­рен­ци­аль­ных урав­не­ний. Круп­ным со­бы­ти­ем в А. это­го пе­рио­да бы­ло по­яв­ле­ние учеб­ни­ка Л. Эй­ле­ра. От­ли­чие А. от ана­ли­за в 18–19 вв. ха­рак­те­ри­зу­ет­ся тем, что А. име­ет сво­им осн. пред­ме­том дис­крет­ное, ко­неч­ное. Осн. опе­ра­ции, напр. сло­же­ние, про­из­во­дят­ся в А. ко­неч­ное чис­ло раз. Эту осо­бен­ность А. под­черк­нул в 1-й пол. 19 в. Н. И. Ло­ба­чев­ский, на­звав од­ну из сво­их книг «Ал­геб­ра, или Вы­чис­ле­ние ко­неч­ных» (1834).

К 18 в. А. сло­жи­лась при­мер­но в том объ­ё­ме, ко­то­рый до на­ших дней пре­пода­ёт­ся в сред­ней шко­ле. Эта А. ох­ва­ты­ва­ет дей­ст­вия сло­же­ния, ум­но­же­ния с об­рат­ны­ми им дей­ст­вия­ми вы­чи­та­ния и де­ле­ния, а так­же воз­ве­де­ние в сте­пень и об­рат­ное ему из­вле­че­ние кор­ня. Эти дей­ст­вия про­во­дят­ся над чис­ла­ми или бу­к­ва­ми, ко­то­рые мо­гут обо­зна­чать по­ло­жи­тель­ные или от­ри­ца­тель­ные, ра­цио­наль­ные или ир­ра­цио­наль­ные чис­ла. На рус. язы­ке из­ло­же­ние эле­мен­тар­ной А. в ви­де, сло­жив­шем­ся к нач. 18 в., бы­ло впер­вые да­но в «Ариф­ме­ти­ке…» Л. Ф. Маг­ниц­ко­го.

А. 18–19 вв. есть пре­ж­де все­го А. мно­го­чле­нов. Пред­мет А., та­ким об­ра­зом, ока­зы­ва­ет­ся зна­чи­тель­но уже, чем пред­мет ана­ли­за. Вме­сте с тем А. и ма­те­ма­тич. ана­лиз про­дол­жа­ют иметь мно­го то­чек со­при­кос­но­ве­ния, и раз­гра­ни­че­ние ме­ж­ду ни­ми не яв­ля­ет­ся жё­ст­ким. Во мно­гих слу­ча­ях изу­че­ние мно­го­чле­нов как до­воль­но про­стых функ­ций по­мо­га­ло раз­ви­тию об­щей тео­рии функ­ций. Че­рез всю ис­то­рию ма­те­ма­ти­ки про­хо­дит тен­ден­ция све­де­ния изу­че­ния бо­лее слож­ных функ­ций к изу­че­нию мно­го­чле­нов или ря­дов. С др. сто­ро­ны, А. на­чи­на­ет всё боль­ше поль­зо­вать­ся идея­ми не­пре­рыв­но­сти и бес­ко­неч­но­сти, ха­рак­тер­ны­ми для ма­те­ма­тич. ана­ли­за.

Современное состояние алгебры

Для совр. А. ха­рак­тер­но то, что в цен­тре вни­ма­ния ока­зы­ва­ют­ся свой­ст­ва опе­ра­ций, а не объ­ек­тов, над ко­то­ры­ми про­из­во­дят­ся эти опе­ра­ции. Про­стой при­мер да­ёт воз­мож­ность про­сле­дить, как это про­ис­хо­дит. Из­вест­на фор­му­ла $(a+b)^2=a^2+ 2ab+b^2$. Её вы­во­дом яв­ля­ется це­поч­ка ра­венств: $$(a+b)^2= (a+b)(a+b)=\\=(a+b)a+(a+b)b=(a^2+ba)+(ab+b^2)=\\=a^2+(ba+ab)+b^2=a^2+ 2ab+b^2.$$Здесь два­ж­ды ис­поль­зо­ван за­кон ди­ст­ри­бу­тив­но­сти, за­кон ас­со­циа­тив­но­сти при сло­же­нии по­зво­ля­ет пе­ре­груп­пи­ро­вать сла­гае­мые, на­ко­нец, ис­поль­зу­ет­ся за­кон ком­му­та­тив­но­сти $ba=ab$. Что пред­став­ля­ют со­бой объ­ек­ты, обо­зна­чен­ные бу­к­ва­ми $a$ и $b$, не име­ет зна­че­ния; важ­но, что­бы они при­над­ле­жа­ли мно­же­ст­ву, в ко­то­ром оп­ре­де­ле­ны две опе­ра­ции, сло­же­ние и ум­но­же­ние, удов­ле­тво­ряю­щие пе­ре­чис­лен­ным тре­бо­ва­ни­ям, ка­саю­щим­ся свойств опе­ра­ций, а не объ­ек­тов. Фор­му­ла ос­та­нет­ся вер­ной, ес­ли $a$ и $b$ оз­на­ча­ют век­то­ры, в этом слу­чае сло­же­ние в ле­вой час­ти – это сло­же­ние век­то­ров, а в пра­вой час­ти фор­му­лы – сло­же­ние чи­сел; под ум­но­же­ни­ем по­ни­ма­ет­ся ска­ляр­ное ум­но­же­ние век­то­ров. В этой фор­му­ле вме­сто $a$ и $b$ мож­но под­ста­вить так­же ком­му­ти­рую­щие мат­ри­цы (т. е. та­кие, что $ab=ba$, что для мат­риц мо­жет не вы­пол­нять­ся), опе­ра­то­ры диф­фе­рен­ци­ро­ва­ния по двум не­за­ви­си­мым пе­ре­мен­ным и др.

От­вле­ка­ясь от при­ро­ды объ­ек­тов, но фик­си­руя оп­ре­де­лён­ные свой­ст­ва опе­ра­ций над ни­ми, при­хо­дят к по­ня­тию мно­же­ст­ва, на­де­лён­но­го ал­геб­ра­ич. опе­ра­ция­ми (см. Уни­вер­саль­ная ал­геб­ра). В хо­де раз­ви­тия ма­те­ма­ти­ки и её при­ло­же­ний пер­во­на­чаль­но вы­де­ли­лись срав­ни­тель­но не­мно­гие ти­пы ал­геб­ра­ич. струк­тур: груп­пы, по­ля, век­тор­ные про­стран­ст­ва, ас­со­циа­тив­ные коль­ца и ал­геб­ры, мо­ду­ли. В даль­ней­шем пред­метом изу­че­ния ста­ли так­же др. клас­сы: не­ас­со­циа­тив­ные коль­ца и ал­геб­ры (в т. ч. ал­геб­ры Ли, йор­да­но­вы ал­геб­ры), ре­шёт­ки, по­лу­груп­пы и др. (см. Групп тео­рия, Ко­лец тео­рия, Ли ал­гебр тео­рия, Ре­шё­ток тео­рия). Боль­шим раз­де­лом А., имею­щим мно­го­числ. при­ло­же­ния, как в са­мой ма­те­ма­ти­ке, так и в ес­те­ст­во­зна­нии, яв­ля­ет­ся тео­рия пред­став­ле­ний групп. А. име­ет тес­ные свя­зи и с ма­те­ма­тич. ло­ги­кой (см. Бу­ле­ва ал­геб­ра, Мо­де­лей тео­рия).

Раз­ви­ва­ют­ся так­же раз­де­лы А., изу­чаю­щие ал­геб­ра­ич. опе­ра­ции в мно­же­ст­вах, снаб­жён­ных до­пол­ни­тель­ны­ми струк­ту­ра­ми. Та­ким об­ра­зом воз­ник­ли то­по­ло­ги­че­ская ал­геб­ра, тео­рия групп Ли (т. е. групп, яв­ляю­щих­ся глад­ки­ми мно­го­об­ра­зия­ми), тео­рии разл. упо­ря­до­чен­ных сис­тем. Тео­рия по­лей, воз­ник­шая из ал­геб­ра­ич. тео­рии чи­сел, и изу­че­ние ком­му­та­тив­ных ко­лец от­но­сят­ся к ком­му­та­тив­ной ал­геб­ре, ко­торая слу­жит ос­но­вой ал­геб­раи­че­ской гео­мет­рии. Под влия­ни­ем то­по­ло­гии поя­вил­ся но­вый раз­дел А. – го­мо­ло­ги­че­ская ал­гебра, ко­то­рая, в свою оче­редь, при­ве­ла к воз­ник­но­ве­нию ка­те­го­рий тео­рии, дав­шей но­вый уни­вер­саль­ный язык для опи­са­ния по­ня­тий не толь­ко А., но и прак­ти­че­ски всех об­лас­тей ма­те­ма­ти­ки.

На­ря­ду с фун­дам. ро­лью внут­ри ма­те­ма­ти­ки, А. име­ет боль­шое при­клад­ное зна­че­ние: она при­ме­ня­ет­ся в фи­зи­ке (сим­плек­тич. фор­мы в ме­ха­ни­ке, пред­став­ле­ния групп Ли в кван­то­вой тео­рии, су­пер­ал­геб­ры Ли в тео­рии по­ля, фё­до­ров­ские груп­пы в кри­стал­ло­гра­фии), в дис­крет­ной ма­те­ма­ти­ке (тео­рия ав­то­ма­тов, ал­геб­ра­ич. тео­рия ко­ди­ро­ва­ния), в ма­те­ма­тич. эко­но­ми­ке (ли­ней­ные не­ра­вен­ст­ва) и др.

Лит.: Бур­ба­ки Н. Ал­геб­ра. М., 1962–1966. Гл. 1–9; Ми­ши­на А. П., Про­ску­ря­ков И. В. Выс­шая ал­геб­ра. 2-е изд. М., 1965; Ленг С. Ал­геб­ра. М., 1968; Ис­то­рия ма­те­ма­ти­ки: В 3 т. М., 1970–1972; Ку­рош А. Г. Курс выс­шей алгеб­ры. М., 1975; Ма­те­ма­ти­ка XIX ве­ка. Ма­те­ма­ти­че­ская ло­ги­ка. Ал­геб­ра. Тео­рия чи­сел. Тео­рия ве­ро­ят­но­стей. М., 1978; Ван дер Вар­ден Б. Л. Ал­геб­ра. М., 1979; Ша­фа­ре­вич И. Р. Ос­нов­ные по­ня­тия ал­геб­ры // Со­вре­мен­ные про­бле­мы ма­те­ма­ти­ки. Фун­да­мен­таль­ные на­прав­ле­ния. Ал­геб­ра–1. М., 1986. Т. 11; Ко­ст­ри­кин А. И. Вве­де­ние в ал­геб­ру: В 3 ч. М., 2001; Вин­берг Э. Б. Курс ал­геб­ры. 3-е изд. М., 2002.

Вернуться к началу