Научные законы, утверждения, уравнения

Уравнение Бернулли (в математике)

Уравне́ние Берну́лли, 1-го порядка

a0(x)y+a1(x)y=f(x)yα,a_{0}(x) y^{\prime}+a_{1}(x) y=f(x) y^{\alpha},где α\alpha – действительное число, не равное нулю и единице. Это уравнение впервые было рассмотрено (1695). Подстановкой y1α=zy^{1-\alpha}=z уравнение Бернулли приводится к линейному неоднородному уравнению 1-го порядка (см. ). Если α>0\alpha>0, то уравнение Бернулли имеет решение y0y\equiv 0; при 0<α<10<\alpha<1 в точках этого решения нарушается единственность. Уравнение вида

[f(y)x+g(y)xα]y=h(y),α0,α1,\left[f(y) x+g(y) x^{\alpha}\right] y^{\prime}=h(y),\quad \alpha \neq 0,\quad \alpha \neq 1,также есть уравнение Бернулли, если рассматривать yy как независимую переменную, а xx – как неизвестную функцию от yy.

Первая публикация: Математическая энциклопедия под ред. И. М. Виноградова, 1978.
  • Явные решения и первые интегралы обыкновенных дифференциальных уравнений