Уравне́ние Бе́ллмана, рекуррентное соотношение для решения задачи оптимального управления с аддитивной целевой функцией. Метод нахождения оптимального управления с помощью уравнения Беллмана получил название динамического программирования. Уравнение носит имя Р. Беллмана, сформулировавшего принципы динамического программирования в конце 1950-х гг.

Решением уравнения Беллмана являются оптимальные значения целевой функции и оптимального управления для всех возможных состояний системы на каждом шаге управления. Нахождение оптимального управления в многошаговой задаче с $n$ шагами начинается с последнего шага, для чего составляется и решается уравнение Беллмана в одношаговой задаче, затем с использованием решения первой задачи составляется и решается уравнение Беллмана с двумя шагами, и так до начального момента, на котором выбирается первый из $n$ шагов.

Например, в задаче распределения ресурсов однородный ресурс $X$ должен быть распределён между $N$ производственными процессами. Если для $k$-го процесса выделяется ресурс $x_k$, то получается доход $φ_k(x_k)$, $k=1,\ldots, N$. Требуется распределить ресурс $X$ по процессам таким образом, чтобы суммарный доход был максимальным. Другими словами, требуется найти максимум

$$f_N(X)=\max \sum^N_{k=1} φ_k (x_k)$$аддитивной целевой функции $\sum\limits^N_{k=1} φ_k (x_k)$ при условиях $x_k⩾0$, $k=1,\ldots N$, $x_1+\ldots+x_N=X$.

Для применения подхода динамического программирования к данной задаче рассматривается семейство задач с любым числом шагов $n⩽N$ и любым запасом ресурса $0⩽x⩽X$. Многошаговость принятия решения вводится искусственно, на 1-м шаге выделяется ресурс $x_n$ для $n$-го процесса, на 2-м шаге выделяется ресурс $x_{n–1}$ для $(n-1)$-го процесса и т. д. В силу аддитивности целевой функции справедливо рекуррентное соотношение $$f_n(x)=\max_{xn} (φ_n(x_n)+f_{n-1}(x-x_n)),\, n=2,\ldots, N,$$где $f_1(x)=φ_1(x)$. Это рекуррентное соотношение представляет собой уравнение Беллмана в этой задаче. Оно позволяет при всех допустимых значениях $x⩽X$ последовательно находить функции $f_1(x),\ldots,f_n(x)$, начиная с $f_1(x)$, и соответствующие оптимальные управления $x_1(x), \ldots, x_n(x)$, где $x_k(x)$ – оптимальный выбор ресурса для $k$-го процесса в задаче $k$ шагами, $k=1,\ldots, n$.

Оптимальный доход для исходной задачи равен $f_N(X)$. Тем самым решение исходной задачи максимизация функции от $N$ переменных сводится к решению $N$ задач, в каждой из которых максимизация проводится по одной переменной.

Наряду с задачами с конечным числом шагов рассматриваются задачи с бесконечным числом шагов, а также задачи с непрерывным временем. В задачах оптимального управления с непрерывным временем уравнения Беллмана представляют собой дифференциальные уравнения специального вида.