Скре́щенный гомоморфи́зм группы $G$ в операторную группу $\Gamma$ над $G$, отображение $\varphi: G \rightarrow \Gamma$, удовлетворяющее условию $\varphi(a b)=\varphi(a)(a \varphi(b))$. Если $G$ действует на $\Gamma$ тождественно, то скрещенный гомоморфизм – это обычный гомоморфизм. Скрещенные гомоморфизмы называются также 1-коциклами группы $G$ со значениями в $\Gamma$ (см. в статье Неабелевы когомологии). Каждый элемент $\gamma \in \Gamma$ определяет скрещенный гомоморфизм. $\varphi(a)=\gamma^{-1}(a \gamma)$ $(a \in G)$, называется главным скрещенным гомоморфизмом, или коциклом, когомологичным $e$. Отображение $\varphi: G \rightarrow \Gamma$ является скрещенным гомоморфизмом тогда и только тогда, когда отображение $\rho$ группы $G$ в голоморф группы $\Gamma$, заданное формулой $\rho(a)=(\varphi(a), \sigma(a))$, где $\sigma: \Gamma \rightarrow \operatorname{Aut} \Gamma$ – гомоморфизм, определяющий на $\Gamma$ структуру операторной группы, является гомоморфизмом. Например, если $\sigma$ – линейное представление группы $G$ в векторном пространстве $V$, то скрещенный гомоморфизм $\varphi: G \rightarrow \Gamma$ определяет представление $\rho$ группы $G$ аффинными преобразованиями пространства $V$. Ядром скрещенного гомоморфизма $\varphi$ называется множество $\varphi^{-1}(e) \subset G$; оно всегда является подгруппой в $G$.