Си́льная теоре́ма Ле́фшеца, теорема о существовании разложения Лефшеца когомологий комплексного кэлерова многообразия на примитивные составляющие.

Пусть $V$ – компактное кэлерово многообразие размерности $n$ с кэлеровой формой $\omega$ и пусть

$$\eta \in H^{1,1}(Y, \mathbb{C}) \subset H^2(V, \mathbb{C})$$– класс когомологий типа $(1,1)$, соответствующий форме $\omega$ при изоморфизме де Рама (если $V$ – проективное алгебраическое многообразие над $\mathbb{C}$ с естественной метрикой Ходжа, то $\eta$ – класс когомологий, двойственный классу гомологий гиперплоского сечения) и

$$L: H^i(V, \mathbb{C}) \longrightarrow H^{i+2}(V, \mathbb{C})$$– линейный оператор, определяемый умножением на $\eta$, т. е.

$$L z=z \cdot \eta,\quad z \in H^i(V, \mathbb{C}) .$$Имеет место изоморфизм (см. Lefschetz. 1924)

$$L^k: H^{n-k}(V, \mathbb{C}) \longrightarrow H^{n-k}(V, \mathbb{C})$$для любого $k=0,1, \ldots, n$. Ядро оператора

$$L^{k+1}: H^{n-k}(V, \mathbb{C}) \longrightarrow H^{n+k+2} (V, \mathbb{C})$$обозначается $H_0^{n-k}(V, \mathbb{C})$ и называется примитивной частью $(n-k)$-когомологий многообразия $V$. Элементы из $H_0^{n-k}(V, \mathbb{C})$ называются примитивными когомологиями, а соответствующие им циклы – примитивными циклами. Сильная теорема Лефшеца устанавливает следующее разложение когомологий в прямую сумму примитивных (называемое разложением Лефшеца):

$$H^m(V, \mathbb{C})=\bigoplus_{k=0}^{[m / 2]} L^k H_0^{m-2 k}(V, \mathbb{C})$$для всех $m=0,1,2, \ldots, 2 n$. Отображения

$$L^k: H_0^{m-2 k}(V, \mathbb{C}) \rightarrow H^m(V, \mathbb{C}),\quad k=0,1, \ldots,[m / 2],$$являются вложениями. Разложение Лефшеца коммутирует с разложением Ходжа

$$H^m(V, \mathbb{C})=\bigoplus_{p+q=m} H^{p, q}(V, \mathbb{C})$$(Вейль. 1961). В частности, определена примитивная часть $H_0^{p, q}(V, \mathbb{C})$ в $H^{p, q}(V, \mathbb{C})$ и

$$H_0^m(V, \mathbb{C})=\bigoplus_{p+q=m} H_0^{p, q}(V, \mathbb{C}) .$$Сильная теорема Лефшеца и разложение Лефшеца имеют аналоги в абстрактной алгебраической геометрии для $l$-адических и кристальных когомологий (Berthelot. 1974; Делинь. 1975).