Разложе́ние Брюа́, представление связной алгебраической редуктивной группы $G$ в виде объединения двойных классов смежности по подгруппе Бореля, параметризуемых группой Bейля группы $G$. Точнее, пусть $B, B^{-}$ – противоположные подгруппы Бореля редуктивной группы $G$, $U, U^{-}$, соответственно унипотентные части $B, B^{-}$(см. Линейная алгебраическая группa), $W$ – группа Вейля группы $G$. Через $w$ ниже обозначается как элемент группы $W$, так и его представитель в нормализаторе тора $B \cap B^{-}$, поскольку приводимая конструкция не зависит от выбора представителя. Для каждого $w \in W$ рассматривается группа $U_w^{-}=U \cap_w U^{-} w^{-1}$. Тогда группа $G$ представима в виде объединения непересекающихся двойных смежных классов $B w B(w \in W)$, причём морфизм $U_w^{-} \times B \rightarrow B_w B((x, y) \rightarrow x w y)$ является изоморфизмом алгебраических многообразий. Дальнейшее уточнение разложения Брюа позволяет получить клеточное разбиение проективного многообразия $G / B$, а именно: если $x_0$ – неподвижная относительно левых сдвигов на элементы из $B$ точка многообразия $G / B$ (такая точка всегда существует; см. Теорема Бореля о неподвижной точке), то $G / B$ является объединением непересекающихся $U$-орбит вида $U\left(w\left(x_0\right)\right)$, $w \in W$ (см. Алгебраическая группа преобразований), причём морфизм $U_w^{-} \rightarrow U_{w\left(x_0\right)}\left(u \rightarrow u\left(w\left(x_0\right)\right)\right.$ есть изоморфизм алгебраических многообразий. Каждая из групп $U_w^{-}$ как многообразие изоморфна аффинному пространству; в случае когда основное поле есть поле комплексных чисел, каждая из указанных $U$-орбит является клеткой в смысле алгебраической топологии и это позволяет вычислить гомологии $G / B$. Существование разложения Брюа для ряда классических групп было установлено Ф. Брюа, в общем случае это доказал К. Шевалле (Сhеvаllеу. 1958). А. Борель и Ж. Tитс обобщили конструкцию разложения Брюа на группы $G_k$ $k$-точек $k$-определённой алгебраической группы (Борель. 1967). При этом роль борелевских подгрупп играют минимальные параболические $k$-подгруппы, роль групп $U$ – их унипотентные радикалы, а вместо $W$ рассматривается относительная $k$-группа Вейля $W_k$.