Расстоя́ние Хе́ллингера, расстояние между вероятностными мерами, выраженное в терминах интеграла Хеллингера. Пусть на измеримом пространстве(X,B) задано семейство вероятностных мер {Pθ}, θ∈Θ, абсолютно непрерывных относительно некоторой σ-конечной меры μ на B.
Расстояние Хеллингера между мерами Pθ1 и Pθ2(θ1,θ2∈Θ) определяется по формуле r(θ1,θ2)={2[1−H(θ1,θ2)]}1/2=⎩⎨⎧∫X[dμdPθ1−dμdPθ2]2dμ⎭⎬⎫1/2,где
H(θ1,θ2)=∫XdμdPθtdμdPθ2dμ– интеграл Хеллингера. Расстояние Хеллингера не зависит от выбора меры μ и обладает следующими свойствами:
1) 0⩽r(θ1,θ2)⩽2;
2) r(θ1,θ2)=2 тогда и только тогда, когда меры Pθ1 и Pθ2 сингулярны;
3) r(θ1,θ2)=0 тогда и только тогда, когда Pθ1=Pθ2.
Пусть
∥Pθ1−Pθ2∥=B∈Bsup∣Pθ1(B)−Pθ2(B)∣=21∫XdμdPθ1−dμdPθ2dμ– расстояние по вариации между мерами Pθ1 и Pθ2. Тогда
21r2(θ1,θ2)⩽∥Pθ1−Pθ2∥⩽r(θ1,θ2).
Никулин Михаил Степанович. Первая публикация: Математическая энциклопедия под ред. И. М. Виноградова, 1985.
Опубликовано 18 января 2024 г. в 11:39 (GMT+3). Последнее обновление 18 января 2024 г. в 11:39 (GMT+3).