Расстоя́ние Хе́ллингера, расстояние между вероятностными мерами, выраженное в терминах интеграла Хеллингера. Пусть на измеримом пространстве $(\mathfrak{X}, \mathscr{B})$ задано семейство вероятностных мер $\left\{\mathrm{P}_\theta\right\}$, $\theta \in \Theta$, абсолютно непрерывных относительно некоторой $\sigma$-конечной меры $\mu$ на $\mathscr{B}$.

Расстояние Хеллингера между мерами $\mathrm{P}_{\theta_1}$ и $\mathrm{P}_{\theta_2}\left(\theta_1, \theta_2 \in \Theta\right)$ определяется по формуле
$$r\left(\theta_1, \theta_2\right)=\left\{2\left[1-H\left(\theta_1, \theta_2\right)\right]\right\}^{1 / 2}= \left\{\int_{\mathfrak{X}}\left[\sqrt{\frac{d \mathrm{P}_{\theta_1}}{d \mu}}-\sqrt{\frac{d \mathrm{P}_{\theta_2}}{d \mu}}\right]^2 d \mu\right\}^{1 / 2},$$где

$$H\left(\theta_1, \theta_2\right)=\int_{\mathfrak{X}} \sqrt{\frac{d \mathrm{P}_{\theta_t}}{d \mu}} \sqrt{\frac{d \mathrm{P}_{\theta_2}}{d \mu}} d \mu$$– интеграл Хеллингера. Расстояние Хеллингера не зависит от выбора меры $\mu$ и обладает следующими свойствами:

1) $0 \leqslant r\left(\theta_1, \theta_2\right) \leqslant \sqrt{2}$;

2) $r\left(\theta_1, \theta_2\right)=\sqrt{2}$ тогда и только тогда, когда меры $\mathrm{P}_{\theta_1}$ и $\mathrm{P}_{\theta_2}$ сингулярны;

3) $r\left(\theta_1, \theta_2\right)=0$ тогда и только тогда, когда $\mathrm{P}_{\theta_1}=\mathrm{P}_{\theta_2}$.

Пусть

$$\left\|\mathrm{P}_{\theta_1}-\mathrm{P}_{\theta_2}\right\|=\sup _{B \in \mathscr{B}}\left|\mathrm{P}_{\theta_1}(B)-\mathrm{P}_{\theta_2}(B)\right|=\frac{1}{2} \int_{\mathfrak{X}}\left|\frac{d \mathrm{P}_{\theta_1}}{d \mu}-\frac{d \mathrm{P}_{\theta_2}}{d \mu}\right| d \mu$$– расстояние по вариации между мерами $\mathrm{P}_{\theta_1}$ и $\mathrm{P}_{\theta_2}$. Тогда

$$\frac{1}{2} r^2\left(\theta_1, \theta_2\right) \leqslant\left\|\mathrm{P}_{\theta_1}-\mathrm{P}_{\theta_2}\right\| \leqslant r\left(\theta_1, \theta_2\right) .$$