Распределе́ние степенны́х вы́четов и невы́четов, распределение среди чисел $1, 2, \dots, m-1$ тех значений $x$, для которых сравнение$$y^n = x\ (\operatorname{mod}\, m),$$$n > 1$ – целое, разрешимо (неразрешимо). В вопросах, связанных с распределением степенных вычетов и невычетов, наиболее полно изучен случай простого модуля $p$. Пусть $q = (n, p-1)$. Тогда сравнение $y^n = x(\operatorname{mod}\, p)$ разрешимо при $\frac{p-1}{q}$ значениях $x$ из множества $1, 2,\dots, p-1$ и неразрешимо при остальных $(q-1)\frac{p-1}{q}$ значениях $x$ (см. Двучленное сравнение). Однако сравнительно немного известно о том, как расположены эти значения среди чисел $1, 2, \dots, p-1$.

Первые результаты о распределении степенных вычетов были получены ещё К. Гауссом (С. Gauss, см. Гаусс. 1959) в 1796 г. С того времени и до работ И. М. Виноградова в вопросах о распределении степенных вычетов и невычетов были получены лишь отдельные частные результаты. В 1915 г. И. М. Виноградов (см. Виноградов. 1952) доказал ряд общих результатов о распределении степенных вычетов и невычетов, а также первообразных корней по модулю $p$ среди чисел $1,2,\dots, p$. В частности, им была получена оценка$$N_{\rm min}<p^{\frac{1}{2\sqrt{e}}} (\operatorname{ln} p)^2$$для наименьшего квадратичного невычета $N_{\rm min}$ и оценка$$N_{\rm min}^* \le 2^{2k} \sqrt{p} \operatorname{ln} p,$$где $k$ – число различных простых делителей $p-1$, для наименьшего первообразного корня $N_{\rm min}^*$ по простому модулю $p$. Кроме того, И. М. Виноградовым был высказан ряд гипотез о распределении квадратичных вычетов и невычетов (см. Гипотезы Виноградова), стимулировавших ряд исследований в этой области. Так, Ю. В. Линник (Ю. В. Линник, 1942) доказал, что при достаточно большом $N$ на отрезке $[N^\varepsilon, N]$ количество простых чисел $p$, для которых $N_{\rm min}>p^\varepsilon$, не превосходит некоторой константы $C(\varepsilon)$, зависящей лишь от $\varepsilon>0$. Таким образом, простые числа $p$, для которых $N_{\rm min}>p^\varepsilon$, если только они существуют, встречаются очень редко. Другим существенным шагом в исследовании гипотез Виноградова явилась теорема Д. Бёрджесса (Burgess. 1957): для любого фиксированного сколь угодно малого $\delta>0$ максимальное расстояние $d(p)$ между соседними квадратичными невычетами удовлетворяет неравенству $$d(p)\le A(\delta) p^{\frac{1}{4}+\delta}.$$Отсюда, в частности, следует оценка$$N_{\rm min} \le B(\delta) p^{\frac{1}{4\sqrt{e}}+\delta}.$$В этих неравенствах константы $A(\delta)$, $B(\delta)$ зависят только от $\delta$ и не зависят от $p$. Доказательство теоремы Бёрджесса, сложное само по себе, основывалось на теореме Хассе – Вейля о числе решений гиперэллиптического сравнения$$y^2\equiv f(x)\ (\operatorname{mod}\, p),$$доказательство которой требовало привлечения аппарата абстрактной алгебраической геометрии. Простой вывод теоремы Бёрджесса см. в Степанов. 1973, Карацуба. 1968.