Псевдогру́пповая структу́ра на многообразии $M$, максимальный атлас $A$ гладких локальных диффеоморфизмов многообразия $M$ на фиксированное многообразие $V$, все функции перехода между которыми принадлежат данной псевдогруппе $\Gamma$ локальных преобразований многообразия $V$. Псевдогруппа $\Gamma$ называется определяющей псевдогpуппой, а многообразие $V$ – модельным пространством. Псевдогрупповая структура с определяющей псевдогруппой $\Gamma$ называется также $\Gamma$-структурой. Более подробно, множество $A$ $V$-значных карт многообразия $M$ (т. е. диффеоморфизмов $\varphi: U \rightarrow V$ открытых подмножеств $U \subset M$ на открытые подмножества $\varphi(U) \subset V$ ) называется псевдогрупповой структурой, если: а) любая точка $x \in M$ принадлежит области определения некоторой карты $\varphi$ из $A$; б) для любых карт $\varphi: U \rightarrow V$, $\psi: W \rightarrow V$ из $A$ функция перехода $\psi \circ \varphi^{-1}: \varphi(U \cap W) \rightarrow \psi(U \cap W)$ является локальным преобразованием данной псевдогруппы $\Gamma$; в) множество $A$ является максимальным множеством карт, удовлетворяющих условию 2).

Примеры псевдогрупповой структуры: 1. Псевдогруппа $\Gamma$ преобразований многообразия $V$ задаёт псевдогрупповую структуру $(V, \Gamma)$ на $V$, картами которой служат локальные преобразования из $\Gamma$. Она называется стандартной плоской $\Gamma$-структурой. 2. Пусть $V=K^n$ есть $n$-векторное пространство над $K=\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$ или левый модуль над телом кватернионов $K=\mathbb{H}$, а $\Gamma$ – псевдогруппа локальных преобразований $V$, главные линейные части которых принадлежат группе $G L(n, K)$. Соответствующая $\Gamma$-структура на многообразии $M$ есть структура гладкого многообразия при $K=R$, комплексного аналитического многообразия при $K=\mathbb{C}$ и специального кватернионного многообразия при $K=\mathbb{H}$. 3. Пусть $\Gamma$ – псевдогруппа локальных преобразований векторного пространства $V$, сохраняющих данный тензор $S$. Задание $\Gamma$-структуры равносильно заданию интегрируемого поля тензоров типа $S$ на многообразии $M$. Например, если $S$ – невырожденная кососимметрическая 2-форма, то $\Gamma$-структура есть симплектическая структура. 4. Пусть $\Gamma$ – псевдогруппа локальных преобразований пространства $\mathbb{R}^{2 n+1}$, сохраняющих с точностью до функционального множителя дифференциальную 1-форму$$d x^0+\sum_{i=1}^n x^{2 i-1} d x^{2i}.$$Тогда $\Gamma$-структура есть контактная структура. 5. Пусть $V=G / H$ – однородное пространство группы Ли $G$, а $\Gamma$ – псевдогруппа локальных преобразований $V$, продолжающихся до преобразований из группы $G$. Тогда $\Gamma$-структура называется псевдогрупповой структурой, определяемой однородным пространством $V$. Примерами таких структур являются структура пространства постоянной кривизны (в частности, локально евклидова пространства), плоские конформные и проективные структуры.

Пусть $\Gamma$ – транзитивная псевдогруппа Ли преобразований пространства $V=\mathbb{R}^n$ порядка $l$; $\Gamma$-структура $A$ на многообразии $M$ определяет главное подрасслоение $\pi_k: B^k \rightarrow M$ расслоения кореперов любого порядка $k$ на $M$, состоящее из $k$-струй карт из $A$:$$B^k=\left\{j_x^k \varphi \mid \varphi \in A, \varphi(x)=0\right\},\quad \pi_k\left(j_x^k \varphi\right)=x.$$Структурной группой расслоения $\pi_k$ является группа изотропии $k$-го порядка $G^k(\Gamma)$ псевдогруппы $\Gamma$, которая действует на $B^k$ по формуле$$f_0^k(a) j_x^k \varphi=j_x^k(a \circ \varphi) .$$Расслоение $\pi_k$ называется $k$-м структурным расслоением или $G^k(\Gamma)$-структурой, определяемой псевдогрупповой структурой $A$. Расслоение $\pi_l$, где $l$ – порядок псевдогруппы $\Gamma$, в свою очередь, однозначно определяет псевдогрупповую структуру $A$ как множество карт $\varphi: U \rightarrow V$, для которых$$j_x^l(a \circ \varphi) \in B^l, \quad \text{если }\,\, a \in \Gamma, \quad a \circ \varphi(x)=0.$$Геометрия расслоения $\pi_k$ характеризуется наличием канонической $G^k(\Gamma)$-эквивариантной горизонтальной относительно проекции $B^k \rightarrow B^{k-1}$ 1-формы $\theta^k: T B^k \rightarrow V+\mathrm{g}^k(\Gamma)$ со значением в пространстве $V+\mathrm{g}^k(\Gamma)$, где $\mathrm{g}^k(\Gamma)$ – алгебра Ли группы изотропии $G^k(\Gamma)$. Она задаётся формулой$$\theta_{b^k}^k\bigl(\dot b^k\bigr)=\frac{d}{d t} j_0^{k-1}\left(\varphi_t \circ \varphi_0^{-1}\right)\big|_{t=0},$$где$$b^k=j_{x_0}^k\left(\varphi_0\right), \dot{b}^k=\frac{d}{d t} j_{x_t}^k\left(\varphi_t\right),$$$$\varphi_t \in A, \quad \varphi_t\left(x_t\right)=0, \quad t \in[0, \varepsilon],$$и удовлетворяет некоторому структурному уравнению Maуpера – Картана. Алгебра Ли инфинитезимальных автоморфизмов $\Gamma$-структуры может быть охарактеризована как алгебра Ли векторных полей на $B^l$, сохраняющих каноническую 1-форму $\theta^l$.

Основной проблемой теории псевдогрупповой структуры является проблема описания псевдогрупповых структур на многообразии с определяющей псевдогруппой $\Gamma$ с точностью до эквивалентности. Две псевдогрупповые структуры на многообразии называются эквивалентными, если одна из них может быть переведена в другую диффеоморфизмом многообразия.

Пусть $\Gamma$ – глобализуемая транзитивная псевдогруппа преобразований односвязного многообразия $V$. Любое односвязное многообразие $M$ с $\Gamma$-структурой $A$ допускает отображение $\rho: M \rightarrow V$, называемое развёрткой Картана, которое локально является изоморфизмом $\Gamma$-структур. Если $\Gamma$-структура $A$ обладает некоторым условием полноты, в частности, если многообразие $M$ компактно, то отображение $\rho$ является изоморфизмом $\Gamma$-структур и все $\Gamma$-структуры рассматриваемого типа являются формами стандартной $\Gamma$-структуры $V$, т. е. получаются из $V$ факторизацией по свободно действующей дискретной группе автоморфизмов $(V, \Gamma)$. Так обстоит дело, например, с (псевдо)римановыми структурами постоянной кривизны и с конформно плоскими структурами на компактных многообразиях $M^n$, $n>2$. Важное место в теории псевдогрупповых структур занимает теория деформаций, первоначально развитая для комплексной структуры. В ней изучается вопрос об описании нетривиальных деформаций $\Gamma$-структуры $A$, т. е. семейств $A_t$ $\Gamma$-структур, содержащих данную $\Gamma$-структуру и гладко зависящих от параметров $t$ по модулю тривиальных деформаций. Пространство формальных инфинитезимальных нетривиальных деформаций данной $\Gamma$-структуры описывается как пространство $H^1(M, \Theta)$ одномерных когомологий многообразия $M$ с коэффициентами в пучке ростков $\Theta$ инфинитезимальных автоморфизмов $\Gamma$-структуры $A$. Тривиальность этого пространства влечёт жёсткость $\Gamma$-структуры. Тривиальность двумерных когомологий: $H^2(M, \Theta)=0$ позволяет при некоторых условиях доказать существование нетривиальных деформаций $\Gamma$-структуры, соответствующих данной инфинитезимальной деформации из $H^1(M, \Theta)$.