Преобразова́ние Пуассо́на, интегральное преобразование вида

$$f(x)=\frac1{\pi}\int_{-\infty}^\infty \frac1{1+(x-t)^2}\, d\alpha(t), \tag{$*$}$$где $\alpha(t)$ – функция ограниченного изменения в каждом конечном интервале, а также преобразование

$$f(x)=\frac1{\pi}\int_{-\infty}^\infty \frac{\varphi(t)}{1+(x-t)^2} \, dt,$$вытекающее из $(*)$, если $\alpha(t)$ – абсолютно непрерывная функция. Пусть

$$\hat{g}(x)=-\frac1{\pi}\int_0^\infty u^{-2} [g(x+u)-2g(x)+g(x-u)] du$$и

$$T_t g(x)=\sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{t^{2k}}{(2k)!} g^{(2k)}(x) +\sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{t^{2k+1}}{(2k+1)!} \hat{g}^{(2k)} (x).$$Имеют место следующие формулы обращения для преобразования Пуассона:

$$\frac{\alpha(x+0)+\alpha(x-0)}2-\frac{\alpha(+0)+\alpha(-0)}2= \\ =\lim_{t\to 1-0} \int_0^x T_t f(u) \, du$$при всех $x$ и

$$\varphi(x)=\lim_{t\to1-0} T_t f(x)$$для почти всех $x$.

Пусть $C$ – выпуклый открытый острый конус в $\R^n$ с вершиной в нуле и $C^*$ – сопряжённый конус, т. е.

$$C^*=\{\xi : \xi_1x_1+\ldots+\xi_nx_n\geqslant 0, \; \forall x\in C\}.$$Функция

$$\mathscr{K}_C(z)=\int_{C^*} e^{i(z_1\xi_1+\ldots+z_n\xi_n} \, d\xi$$называется ядром Коши трубчатой области $T^C=\{z=x+iy; \, x\in\R^n; \, y\in C\}$. Преобразованием Пуассона обобщённой функции $f$ называется свёртка

$$f*\mathscr{P}_C(x,y), \; (x,y)\in T^C,$$где

$$\mathscr{P}_C(x,y)=\frac{|K_C(x+iy)|^2}{(2\pi)^n K_C(iy)}$$– ядро Пуассона трубчатой области $T^C$ (Владимиров. 1979).