Нера́венство Хи́нчина для независимых функций, оценка в $L_p$ суммы независимых функций. Пусть $f_k$ – система независимых функций и для некоторого $p>2$$$\sup _k\left\|f_k\right\|_{L_p}<\infty, \quad \int_0^1 f_k(t) d t=0.$$Тогда$$\left\|\sum_{k=0}^{\infty} c_k f_k\right\|_{L_p} \leqslant M\left(\sum_{k=1}^{\infty} c_k^2\right)^{1 / 2}.$$Если$$\sum_{k=1}^{\infty} c_k^2<\infty,\quad \text {а}\quad r_k=\operatorname{sign} \sin 2^k \pi t$$– функции Радемахера и$$f(t)=\sum_{k=1}^{\infty} c_k r_k(t),$$то для любого $p>0$$$\begin{gathered} A_p\left(\sum_{k=1}^{\infty} c_k^2\right)^{1 / 2} \leqslant\left(\int_0^1|f(t)|^p d t\right)^{1 / p} \leqslant B_p\left(\sum_{k=1}^{\infty} c_k^2\right)^{1 / 2}, \end{gathered}$$где $B_p=O(\sqrt{p})$ при $p \longrightarrow \infty$. Это неравенство было установлено А. Я. Хинчиным (Khintchine. 1923). Точное значение $A_1$ равно $1 / 2$.

Аналог неравенства Хинчина справедлив в банаховых пространствах (Кахан. 1973). Существует такая константа $C(p, q)$, $0<p$, $q<\infty$, что для любых элементов $x_k$ из банахова пространства $E$$$\|\| \sum_{k=1}^{\infty} x_k r_k(t)\|_E\|_{L_p} \leqslant C(p, q)\|\| \sum_{k=1}^{\infty} x_k r_k(t)\|_E\|_{L_q}.$$Одно из многочисленных приложений неравенства Хинчина: если$$\sum_{k=1}^{\infty} a_k^2+b_k^2<\infty,$$то для почти всех наборов $\pm 1$ функция$$\sum_{k=1}^{\infty} \pm\left(a_k \cos k t+b_k \sin k t\right)$$принадлежит всем $L_p$, $p<\infty$ (Зигмунд. 1965).