Многочлены Кравчука

Многочле́ны Кравчука́, многочлены, ортогональные на конечной системе $N+1$ целочисленных точек при условии, что функция распределения $\sigma(x)$ есть ступенчатая функция со скачками

$$\sigma(x+0)-\sigma(x-0)=\left(\begin{array}{c} N \\ x \end{array}\right) p^x q^{N-x},\quad x=0,1,2, \ldots, N,$$где $\left(\begin{array}{c}N \\ x\end{array}\right)$ – биномиальный коэффициент, $p>0$, $q>0$ и $p+q=1$.

$$\begin{gathered} P_n(x)=\left[\left(\begin{array}{c} N \\ x \end{array}\right)\right]^{-1 / 2}(p q)^{-n / 2} \\ \sum_{k=0}^n(-1)^{n-k}\left(\begin{array}{c} N-x \\ n-k \end{array}\right) \times\left(\begin{array}{l} x \\ k \end{array}\right) p^{n-k} q^k . \end{gathered}$$Впервые рассмотрены М. Ф. Кравчуком (Krawtchouk. 1929).