Конгруэ́нц-пробле́ма, всякая ли подгруппа конечного индекса группы $G_O$, где $O$ – кольцо целых элементов поля алгебраических чисел $k$, а $G$ – связная линейная алгебраическая $k$-определённая группа, является конгруэнц-подгруппой? Это – классическая постановка конгруэнц-проблемы. Современный вариант конгруэнц-проблемы основывается на понятии конгруэнц-ядра, выражающего меру отклонения от её положительного решения. А именно, пусть $\widehat{G}_O$ и $G_O$ – пополнения группы $O$-точек $G_O$ в топологии, определяемой соответственно всеми подгруппами конечного индекса и конгруэнц-подгруппами группы $G_O$. Тогда существует сюръективный и непрерывный гомоморфизм $\pi: \widehat{G}_O \rightarrow \bar{G}_O$. Ядро $\operatorname{Ker} \pi$ называется конгруэнц-ядром и обозначается через $c(G)$. Положительное решение конгруэнц-проблемы в классической постановке эквивалентно $c(G)=1$. Конгруэнц-проблема в современной форме заключается в вычислении конгруэнц-ядра $c(G)$.

Для $G_O=S L(\pi, \mathbb{Z})$, где $\mathbb{Z}$ – кольцо целых чисел, ещё в конце 19 в. было известно, что при $n=2$ конгруэнц-проблема решается отрицательно. В 1965 г. было показано, что при $n>2$ всякая подгруппа конечного индекса группы $S L(n, \mathbb{Z})$ является конгруэнц-подгруппой (см. Басс. 1971). Вслед за этим было получено (Басс. 1971) решение конгруэнц-проблемы для $G_O=S L(n, O)$, $n>2$, или $S p(2 n, O)$, $n>1$, где $S p$ обозначает симплектическую группу. Для этих групп результат таков: $c(G) \neq 1$ только для вполне мнимого поля $k$, для которого конгруэнц-ядро $c(G)$ изоморфно циклической группе корней из единицы, содержащихся в $k$. Оказывается, точно такой же результат справедлив для всех односвязных групп Шевалле, кроме $S L (2)$ (см. Matsumoto. 1969). Условие односвязности является существенным, ибо из теоремы о сильной аппроксимации следует, что для неодносвязной полупростой группы $G$ конгруэнц-ядро $c(G)$ бесконечно. Для неполупростой группы $G$ всегда $c(G)=c(S)$, где $S$ – максимальная полупростая подгруппа в $G$; в частности, для разрешимой $G$ всегда $c(G)=1$.

Более общая форма конгруэнц-проблемы получается заменой кольца на кольцо

$$O_V=\{x \in k \mid v(x) \leqslant 1\,\, \text { при всех }\,\, v \notin V\},$$где $V$ – произвольное конечное множество неэквивалентных нормирований поля $k$, содержащее все архимедовы нормирования. В этой ситуации конгруэнц-ядро, обозначаемое $c(G, V)$, существенно зависит от $V$ (см. Платонов. 1974, Raghunathan. 1976).