Фу́нкция Шва́рца (функция Римана – Шварца), аналитическая функция, реализующая конформное отображение треугольника, ограниченного дугами окружностей, на верхнюю полуплоскость (или на единичный круг) и при неограниченном аналитическом продолжении остающаяся однозначной. Функции Шварца являются автоморфными функциями, группа которых зависит от вида отображаемого треугольника. Требованию однозначности можно удовлетворить лишь в том случае, если углы треугольника равны $\pi/\nu_1$, $\pi/\nu_2$, $\pi/\nu_3$, где $\nu_1$, $\nu_2$, $\nu_3$ – некоторые специально подобранные натуральные числа.

Если $1/\nu_1+1/\nu_2+1/\nu_3=1$, то получаются прямолинейные треугольники, для которых возможны только случаи: $\nu_1=\nu_2=2$, $\nu_3=\infty$ (полуполюса); $\nu_1=2$, $\nu_2=3$, $\nu_3=6$; $\nu_1=2$, $\nu_2=\nu_3=4$; $\nu_1=\nu_2=\nu_3=3$. Во всех этих случаях функции Шварца выражаются через тригонометрические функции или через эллиптические функции Вейерштрасса и являются автоморфными функциями, группа которых есть группа движений евклидовой плоскости.

Если $1/\nu_1+1/\nu_2+1/\nu_3>1$, то возможны следующие случаи: $\nu_1=\nu_2=2$, $\nu_3$ – любое; $\nu_1=2$, $\nu_2=\nu_3=3$; $\nu_1=2$, $\nu_2=3$, $\nu_3=4$; $\nu_1=2$, $\nu_2=3$, $\nu_3=5$. Во всех этих случаях функции Шварца являются рациональными автоморфными функциями, группа которых есть конечная группа движений сферы. Вследствие связи этой группы с правильными многогранниками такие функции Шварца называются также полиэдральными функциями.

Наконец, если $1/\nu_1+1/\nu_2+1/\nu_3<1$, то возможно бесконечно много различных треугольников, т. к. числа $\nu_1$, $\nu_2$, $\nu_3$ можно неограниченно увеличивать. При этом функции Шварца суть автоморфные функции с непрерывной особой линией (окружностью или прямой). В частности, случаи $\nu_1=2$, $\nu_2=3$, $\nu_3=\infty$ и $\nu_1=\nu_2=\nu_3=\infty$ (круговой треугольник с нулевыми углами) приводят к модулярным функциям $J(z)$ и $\lambda(z)$ соответственно. Функции Шварца изучались Г. Шварцем (Schwarz. 1873).