Функция Шварца
Фу́нкция Шва́рца (функция Римана – Шварца), аналитическая функция, реализующая конформное отображение треугольника, ограниченного дугами окружностей, на верхнюю полуплоскость (или на единичный круг) и при неограниченном аналитическом продолжении остающаяся однозначной. Функции Шварца являются автоморфными функциями, группа которых зависит от вида отображаемого треугольника. Требованию однозначности можно удовлетворить лишь в том случае, если углы треугольника равны , , , где , , – некоторые специально подобранные натуральные числа.
Если , то получаются прямолинейные треугольники, для которых возможны только случаи: , (полуполюса); , , ; , ; . Во всех этих случаях функции Шварца выражаются через тригонометрические функции или через эллиптические функции Вейерштрасса и являются автоморфными функциями, группа которых есть группа движений евклидовой плоскости.
Если , то возможны следующие случаи: , – любое; , ; , , ; , , . Во всех этих случаях функции Шварца являются рациональными автоморфными функциями, группа которых есть конечная группа движений сферы. Вследствие связи этой группы с правильными многогранниками такие функции Шварца называются также полиэдральными функциями.
Наконец, если , то возможно бесконечно много различных треугольников, т. к. числа , , можно неограниченно увеличивать. При этом функции Шварца суть автоморфные функции с непрерывной особой линией (окружностью или прямой). В частности, случаи , , и (круговой треугольник с нулевыми углами) приводят к модулярным функциям и соответственно. Функции Шварца изучались Г. Шварцем (Schwarz. 1873).
