Аналити́ческое круче́ние (кручение Рэя – Зингера), гладкого замкнутого многообразия $M$ и плоского расслоения $E$ на $M$, число

$$T(M,E)=\exp\left(\sum_k (-1)^k k\zeta'_k(0)/2\right), \tag{1}$$где $\zeta'_k(0)$ – значение в точке $s=0$ аналитического продолжения производной $\zeta$-функции оператора Лапласа на дифференциальных $k$-формах со значениями в $E$. Число (1) не зависит от выбора римановой метрики, определяющей операторы Лапласа, и определяет топологический инвариант гладкого многообразия и плоского расслоения. Аналитическое кручение было определено Рэем и Зингером как аналог кручения Райдемайстера, которое определяется в терминах гладкой триангуляции многообразия. Равенство аналитического кручения и кручения Райдемайстера было доказано независимо Чигером и Мюллером. Имеются многочисленные обобщения аналитического кручения. Например, аналитическое кручение определялось для многообразий с краем, многообразий с особенностями, многообразий с действиями групп; определялось аналитическое кручение для семейств многообразий как дифференциальная форма на пространстве параметров.